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1、作者:黄孟生,第十三章,压 杆 稳 定,13-1 压杆稳定性的概念,桁架中的压杆,高压输电线路保持相间距离的受压构件,某杆,材料b=130MPa;截面A=230mm2, 长l=300mm, 按强度条件，Fb=130230=7.8kN.但实际上只有几牛顿的力杆就折断了，为什么？,与截面形状有关，(如果Iy=Iz,且I 越大，承载力就不同了）,与杆发生弯曲关,与杆的长度有关,实际压杆与弯曲有关的因素还有：,荷载不可避免地有一定的偏心；,杆轴线有一定初曲率；,材料本身的不均匀性。,什么是压杆的稳定性呢？,（1）当FFcr时，撤去横向干扰力后，压杆仍能恢复原有的直线平衡状态。,原有的直线平衡状态是稳定
2、的。,（2）当FFcr时，在干扰力除去后，杆件不能恢复到原直线位置，在曲线状态下保持平衡。,原有的直线平衡状态是不稳定的。,这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳.,Fcr压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力，即临界压力（临界荷载）。,丧失原有平衡形式的现象称为失稳,失稳也是一种失效形式,理想中心受压细长压杆的临界力,13-2 细长压杆的临界力,1.两端铰支的临界压力,M（x）=Fcrw （a）,E I w= -M（x）（b）,得 E I w= - Fcrw,令 k2=Fcr / EI,得 w+ k2 w= 0 （c）,w = Asinkx +Bcoskx （d）,一Euler公式,
3、k2=Fcr / EI,w = Asinkx +Bcoskx,两个边界条件:,（1）x = 0，w =0 得： B=0 : w = Asinkx,（2）x = l， w=0 得：A sinkl=0,n = 1 时：,w = w0sinx / l,wx=l/2 = A = w0,w =A sinx / l,-欧拉公式,2、杆端约束对临界压力的影响,w = w0sinx / l 正弦曲线,x = 0，x=l : w =0 , M=0,w=0,x = l/2: w=w0=wmax, 且w=0,=1,=2,=0.5,=0.7,Fcr 统一形式：,长度系数， l相当长度,-欧拉公式,1)、一端固定，另一
4、端自由：,2)、两端固定：,3)、一端固定，另一端铰支：,二欧拉公式应用中的几个问题,（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；,（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是通过长度系数来实现的。要根据实际情况选择适当的 。,（3）当压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束情况相同时，则失稳一定发生在最小刚度平面，即I 最小的纵向平面。,（4）若压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束不相同时，该杆的临界力应按两个方向的(I/ l)min值计算。,（5）假设压杆是均质的直杆，且只有在压杆的微弯曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的;实际压杆的临界力均
5、小于理论值。,问题的提出：, 能不能应用欧拉公式计算每根压杆的临界力？,每根压杆是不是都会发生失稳？,几根材料和直径相同，但是长度不同、约束不同的压杆:,13-3 欧拉公式的适用范围与压杆的非弹性失稳,一、压杆的临界应力与柔度,= l / i 柔度，细长比。,越大，压杆越细长，cr 越小， Fcr 越小，越不稳定。,P 材料的比例极限,细长杆（大柔度杆）,二、欧拉公式的适用范围,适用条件：,三、非弹性失稳的临界力,当P 时，压杆为中、小柔度杆。其失稳时的临界应力cr P 。压杆失稳非弹性失稳。,采用经验公式：,a、b为与材料有关的常数，单位：MPa。,适用范围：,P cr u,或 P u,当
6、u时，压杆为小柔度杆或短粗杆。短粗杆的破坏是强度破坏。,直线公式,令 cr = u得：,显然， u是中柔度杆与短粗杆的分界值。,四、临界应力总图,（3）0u，小柔度杆， cr = u ；,（2） u P，中柔度杆， cr = a- b ；,（1） P，大柔度杆，,（1） h=120mm, b=90mm的矩形；,（2） h=b=104mm的正方形（同面积）,试比较二者的临界力。,解：,（1）矩形：, 该杆为细长杆。,（2）正方形, 该杆为中长杆。,cr = 10.3MPa,Fcr = 111.5 kN,例2. 一压杆长l =2m，截面为10号工字钢，材料为Q 235钢，s=235MPa，E =2
7、06GPa， p =200MPa。压杆两端为柱形铰，试求压杆的Fcr。,解：xy面内，两端视作铰支， = 1，iz = 4.14 cm,xz面内，两端视作固定端， = 0.5，查表iy= 1.52cm,压杆将在xz平面内失稳,显然,-中长杆,13-4 压杆的稳定计算,一、压杆的稳定条件,nst-稳定安全因素,其中:,Fst-稳定容许压力,F-压杆的工作压力,st-稳定容许应力,安全因素的选取：除考虑选取强度安全因素的那些因素外，还要考虑初曲率、材料不均匀性和荷载偏心等因素。,二、压杆的稳定计算,1、安全因数法（nst),稳定较核；,截面设计；,求容许荷载。,或,2、折减因数法,与材料有关，不同
8、的材料 不同,-折减因数,例3 千斤顶，Q235钢，l=800mm, d=40mm,E=210GPa, 稳定安全因素nst=3.0。试求F。,解：,例4：厂房钢柱长7m，由两根16b号Q235槽钢组成。截面为b类。截面上有四个直径为30mm的螺栓孔。=1.3，F=270kN，=170MPa。（1）求两槽钢间距h；（2）校核钢柱的稳定性和强度。,解（1）求 h,钢柱各方向的约束均相同。,合理的设计应使 Iy = Iz。,查单根16b号槽钢，得：,A = 25.15cm2， Iz0 = 934.5cm4。Iy0 = 83.4cm4,z0=1.75cm， = 10mm,由平行移轴公式 Iy=2Iy0
9、+A(z0+h/2)2=2Iz0,h = 8.23cm,(2) 校核钢柱的稳定性和强度.,= F / Amin = 70.5 MPa ,故满足强度条件.,=F/A=53.7MPa,查13-1表, =0.311, =52.9MPa, 虽大于 , 但不超过5%,故满足稳定性要求.,例5： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号工字钢，BC杆为 d20mm的圆杆。已知： F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。,AB杆：,CD杆：,如果CD杆为矩形截面，应如何计算？,13-5
10、 提高压杆稳定性的措施,一、选择合理的截面形式,1、当y、z方向约束相同,使 Iy =Iz，得：y = z,2、当Iy =Iz时，尽可能在面积一定的情况下，增大惯性矩I 。,3、当y、z方向约束不同，y = z使 得： Iy Iz，,4、使每个分支和整体具有相同的稳定性。 分支 = 整体,二、减少相当长度和增强杆端约束,1、增强约束；,2、设置中间支撑。,三、合理选用材料,选用弹性模量较大的材料，可提高杆的稳定性。,13-6 纵横弯曲问题,当梁的弯曲刚度EI很大时，,压弯组合,当梁的弯曲刚度EI很小时，必须考虑轴向力在横向变形上产生的附加弯矩纵横弯曲问题,令,x=l/2:,u=/2,Secu级
11、数展开,当,可见:只要轴向力趋于临界力时,无论横向力多小,杆将发生失稳破坏,13-7 大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩,EI很大偏心压缩。EI很小叠加原理不成立。,M（x）=F (e+w ) （a）,E I w= -M（x）（b）,得 E I w= - F(e+w ),令 k2=F / EI,得 w+ k2 w= -k2e （c）,w = Asinkx +Bcoskx-e （d）,k2=F/ EI,w = Asinkx +Bcoskx-e,三个边界条件:,（1）x = 0，w =0 得： B=e: w = Asinkx +e(coskx-1),（3）x = l / 2，w =w0 得：,（2）x = l， w=0 得： A=e(1-coskl)/sinkl=etankl/2,w = e(tankl/2.sinkx +coskx-1),(1),(2),(3),由以上三式可见，w0、Mmax和max与F不成线性关系，叠加原理不成立。,不同偏心距对压力F的影响：,由（1）式可算出不同偏心距下的Fw0值，可作出一系列Fw0曲线，如图。,
