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1、2.2.1 条件概率,浙江省富阳市新登中学高二数学备课组 2013-3-17,事件概率加法公式：,注:1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 (或 );,3.若 为不可能事件,则说事件A与B互斥.,复习引入：,若事件A与B互斥，则.,2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,记为 (或 );,三张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两位小？,探究：,解：记“最后一名同学中奖”为事件B, 为所有结果组成的全体,一般地，我们用W来表示所有基本事件的集合，叫做基本事件空间（或样本空间）,一般地，n(B)表示事件B包含的
2、基本事件的个数,如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？,思考1：,“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A）,P(B)以试验下为条件,样本空间是,二、内涵理解:,P(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为A,P(B |A)相当于把看作新的样本空间求AB发生的概率,样本空间不一样,为什么上述例中P(B|A) P(B)？,一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，则,称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般把P(B|A)读作A发
3、生的条件下B的概率。,注意：（1）条件概率的取值在0和1之间，即0P(B|A) 1（2）如果B和C是互斥事件，则 P(BC |A)= P(B|A)+ P(C|A),条件概率的定义：,(通常适用古典概率模型),(适用于一般的概率模型),一般地,设，为两个事件, 且（A）， 称,为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率,1、定义,条件概率 Conditional Probability,一般把 P（BA）读作 A 发生的条件下 B 的概率。,2.条件概率计算公式:,P(B |A)相当于把看作新的基本事件空间求发生的概率,反思,求解条件概率的一般步骤：（1）用字母表示有关事件（2）求P(AB），
4、P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求,3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系,基本概念,例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；,解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.,（1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为,例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；,解：设第1次抽到理科题为事件A，
5、第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.,例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；,（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率。,法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题 的条件下，第二次抽到理科题的概率为,法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以,法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为1/2,例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密
6、码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。,练习：设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率,解,设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则,（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，,（2）方法1：,方法2：,因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以,反思,求解条件概率的一般步骤：（1）用字母表示有关事件（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用
7、条件概率公式求,在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？,B=出现的点数是奇数 ，,设A=出现的点数不超过3，,只需求事件 A 发生的条件下，事件 B 的概率即（BA）,解法一（减缩样本空间法）,例题2,解1：,例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.（1）若已知（2）若已知 （假定生男生女为等可能）,例 3 设P(A|B)=P(B|A)= ,P(A)= ,求P(B).,某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概
8、率,某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩的概率；,在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？,B=出现的点数是奇数 ，,设A=出现的点数不超过3，,只需求事件 A 发生的条件下，事件 B 的概率即（BA）,例题2,解2：,由条件概率定义得：,解法二（条件概率定义法）,已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？,引例:掷红、蓝两颗骰子,设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”事件B=“两颗骰子点数之和大于
9、8”求(1)P(A)，P(B)，P(AB) (2)在“事件A已发生”的附加条件下事件发生的概率？ (3)比较(2)中结果与P(AB)的大小及三者概率之间关系,P(B)=10/36=5/18,P(A)=12/36=1/3,P(AB)=5/36,P(B |A)相当于把看作新的基本事件空间求发生的概率,思 考,对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概率有什么关系呢？,1.条件概率 对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).,基本概念,2.条件概率计算公式:,3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系,基本概念,例1在5道题中
10、有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题（1）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.,例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题（1）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.,练习、1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回的取两次，求：（1）第一次取到新球的概率；（2）第二次取到新球的概率；（3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。,3/5,3/5,1/2,2、盒中有25个球，其
11、中白球若干个，黄球5个，黑球10个，从盒中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率。,条件概率计算中注意的问题,1、条件概率的判断： （1）当题目中出现“在前提（条件）下”等字眼，一般为条件概率。 （2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率。,2、相应事件的判断：首先用相应的字母A、B表示出相应的事件，然后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件的概率。,例 2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶
12、数，不超过2次就按对的概率。,例 3 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：（1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？,解：设A=“甲地为雨天”， B=“乙地为雨天”，则P（A）=0.20，P（B）=0.18，P（AB）=0.12,练一练,1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解 设A表示“活到20岁”(即20)，B表示“活到25岁” (即25),则,所求概率为,0.56
13、,0.7,5,2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数,B=出现的点数是奇数，,A=出现的点数不超过3，,若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率,解：即事件 A 已发生，求事件 B 的概率也就是求：（BA）,A B 都发生，但样本空间缩小到只包含A的样本点,3. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率,解,设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则,（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，,（2）方法1：,方法2：,因为95 件合格品中有 70 件一等品，
14、所以,4、一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率,设表示取到的产品是一等品，表示取出的产品是合格品， 则,于是,解,解,5、一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求 (1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率,设表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球, 则,（2）,（3）,（1）,6、全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人； 来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示
15、）40人中，有32名男生，8名女生。求,7、甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。,解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”,则,课堂小结,1. 条件概率的定义.2. 条件概率的计算. 公式:,乘法法则,一、离散型随机变量的条件分布,二、连续型随机变量的条件分布,四、条件数学期望,3.5 条件分布与条件期望,三、连续型场合的全概率和贝叶斯公式,43,在第一章中，我们介绍了条件概率
16、的概念 .,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个随机变量X,Y ， 在给定Y取某个值的条件下，求X的概率分布这个分布就是条件分布.,例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.,现在若限制 Y=1.7(米), 在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高为1.7米的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.,容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 .,定义3.5.1,一、离散型随机变量的条件
17、分布,定义3.5.2,例1,解,由上述分布列的表格可得,注意：这个例子告诉我们在直接求Y 的分布有困难时，有时借助条件分布即可克服困难.,定义3.5.3,二、连续型随机变量的条件分布,我们来解释一下定义的含义：,答,请同学们思考,为什么不能用条件概率的定义来直接定义条件分布函数F( x | y )？,说明,联合分布、边际分布、条件分布的关系如下,由连续型随机变量条件密度函数定义可得：,联合分布,求 PX1|Y=y.,例3 设(X,Y)的概率密度是,解,为此, 需求出,由于,于是对 y0,故对y 0,PX1|Y=y,解,例4,已知条件概率密度,又知边际概率密度为,65,三、连续型场合的全概率和贝叶斯公式,66,解,例5,四、条件数学期望,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,
