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1、第一章模糊集合的基本概念,一、模糊集合论的起源,1预备知识,现实世界中遇到的对象分多是这种模糊的、不确定性的类型， 模糊集合正反映了这类“亦此亦彼”的模糊性. 模糊数学是研究模糊现象的定量处理方法.,二、诞生时间、标志,L. A. Zadeh1965Information and ControlFuzzy Sets,为了与模糊集合相区别，将我们所熟悉的普通的集合称之为普通集合、经典集合、分明集合.,思考：如何将集合的定义，由普通集合推广到模糊集合.,普通集合,元素对集合的属于程度最小是零，此时隶属度为0. 元素对集合的属于程度最大是百分之百，此时隶属度为1.,普通集合,3模糊子集定义及运算,一
2、、模糊子集的概念,以人的年龄作为论域X,模糊集 表示“年老”, 表示“年轻” ，不妨设 X = 0,150. Zadeh 给出它们的隶属函数分别如下：,例1,Oldyoung,old,young,Zadeh 记法2. 序对表示法3.向量表示法,二、模糊集合的表示方法,三、模糊子集之间的关系与运算,记X上的模糊子集的全体为 , 称 为X的模糊幂集.,四、模糊集合与普通集合之间的关系,五、模糊集合间的运算规律,模糊集合间的并、交、补（余）运算具有如下的性质.,1)幂等律2)交换律3)结合律4)吸收律,5）分配律,6)零-壹律,7)复原律,8)对偶律,注： 模糊集的补运算不满足互补律，即,不一定成立
3、.,4分解定理与表现定理,一、 截集与强截集,1. 定义,2.性质,性质1,性质1,性质2,性质3,性质4,性质 5,例1,解,性质6,定义2,性质7,当 时, 称 为正规模糊集.,下面将要介绍的分解定理就是反映这一事实的.,先来学习数积概念与性质.,从前面介绍的性质可以看出当 从1逐渐下降趋于0，而不达到0时， 是从 的核Ker 逐渐扩展为 的支集Supp . 因此，我们可以将模糊集 看作是其边界在Ker 和Supp 之间游移,即将模糊集 看作是普通集合族 的总体.,1. 数积的概念与性质,其隶属函数为,二、分解定理,定义,定理1 （分解定理I）,证明,2. 分解定理,定理2 （分解定理II）,定理3（分解定理III）,三、 表现定理,定义1,则称 H 为X上的集合套.,X上的全体集合套记作 U(X).,例1,由分解定理III，可知,定义2 在U(X)中定义并、交、补运算如下,设,定理4（表现定理）,5表现定理的证明,例1,定义1,例2,定义2,
