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1、控制系统状态空间表达式,基本概念状态空间表达式的建立状态空间表达式求传递函数矩阵离散系统的数学模型线性变换组合系统的数学描述,基本概念,状态动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。,状态空间以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。,状态方程描述系统状态变量和输入量之间关系的方程。,输出方程描述系统输出量和状态变量之间关系的方程。,系统的状态方程和输出方程总合，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。,基本概念,例：如下图所示电路， 为输入量， 为输出量。,建立方程：,初始条件：,和 可以表征该电
2、路系统的行为，就是该系统的一组状态变量,前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：,基本概念,基本概念,设：,则可以写成状态空间表达式：,推广到一般形式：,A：系统矩阵B：输入（控制）矩阵C：输出矩阵D：直接传递矩阵,基本概念,基本概念,如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统。,基本概念,状态变量的选取,（1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定,（2）状态变量选取的非惟一性,（3）系统状态变量的数目是惟一的,在
3、前面的例子中，如果重新选择状态变量则其状态方程为,输出方程为：,状态空间表达式的建立,三种途径：由系统方块图建立 首先将系统方块图转换为相应模拟结构图，然后直接列写。由系统物理或电气特性出发进行推理由系统高阶微分方程或传递函数演化推理,状态空间表达式的建立,由系统物理或电气特性出发进行推理,例 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）,根据牛顿第二定律,即：,选择状态变量,则：,状态空间表达式的建立,机械系统的系统方程为,该系统的状态图如下,状态空间表达式的建立,例 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式,电枢回路的电压方程为,系统运动
4、方程式为,（式中， 为电动势常数； 为转矩常数； 为折合到电动机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）,可选择电枢电流 和角速度 为状态变量，电动机的电枢电压 为输入量，角速度 为输出量。,状态空间表达式,状态图如图：,状态空间表达式的建立,由系统高阶微分方程或传递函数演化推理,微分方程中不含有输入信号导数项,考察三阶系统，其微分方程为：,选取状态变量,则有,写成矩阵形式,状态空间表达式的建立,状态图如下：,状态空间表达式的建立,一般情况下，n 阶微分方程为：,选择状态变量如下：,状态空间表达式的建立,写成矩阵形式：,状态空间表达式的建立,系统的状态图如下：,状态空间表达式的建
5、立,微分方程中含有输入信号导数项,首先考察三阶系统，其微分方程为,（一）待定系数法,选择状态变量：,其中，待定系数为：,状态空间表达式的建立,于是,写成矩阵形式,状态空间表达式的建立,系统的状态图,状态空间表达式的建立,一般情况下，n 阶微分方程为：,选择 n 个状态变量为,状态空间表达式的建立,系统方程为,状态空间表达式的建立,系统状态图如下,状态空间表达式的建立,（二）辅助变量法,设 n 阶微分方程为：,Laplace变换，求传递函数,引入辅助变量 z,状态空间表达式的建立,返回到微分方程形式：,以及,状态空间表达式的建立,注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。,状态空间表
6、达式的建立,例 已知描述系统的微分方程为,试求系统的状态空间表达式。,解,（1）待定系数法,选择状态变量如下,其中,状态空间表达式的建立,于是系统的状态空间表达式为,状态空间表达式的建立,（2）辅助变量法,引入辅助变量z,选择状态变量,于是系统的状态空间表达式为,状态空间表达式求传递函数矩阵,在初始松弛时（即：初始条件为零） ，求Laplace变换，并且化简,状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数,输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）,状态空间表达式求传递函数矩阵,例 系统状态方程式为,求系统传递函数。,解：,状态空间表达式求传递函数矩阵,多输入-多输出系统状态空间表达式为
7、,进行拉普拉斯变换,如果 存在，则,如果 ，则,状态变量对输入向量(输入到状态)的传递函数矩阵：,状态空间表达式求传递函数矩阵,而,输出对输入向量(输入到输出)的传递函数矩阵：,其结构为,式中， 表示只有第 j 个输入作用时，第 i 个输出量 对第 j 个输入量 的传递函数。,状态空间表达式求传递函数矩阵,例 线性定常系统状态空间表达式为,求系统的传递函数矩阵。,解,传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较：,1）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述，非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。,2）传递函数仅适用于线性定
8、常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用。,3）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。,4）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入多出系统的描述。,5）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。,综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。,离散系统的数学模型,选取状态变量,写成矩阵形式,离散系统的数学模型,可以表示为,其中,输出方程,离散系统的数学模型,推广到n阶线性定常差分方程所描述
9、的系统,选取状态变量 ， ， ，,系统状态方程,输出方程,线性变换,状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达式也不相同。 由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。,求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便于求解状态方程。,线性变换,线性定常系统,（1）,为n 维状态向量； 为r 维输入向量； 为m维输出向量； 、 、 、 为相应维数的矩阵。,其中,线性变换,于是，系统状态方程变为,（2）,方程（1）与方程（2）互为等价方程,线性变换,线性变换的基本性质,1. 线性变换不改变系统的特征值,线性定常系统,系统的
10、特征方程为,等价系统的特征方程为,可见线性变换不改变系统的特征值,线性变换,2. 线性变换不改变系统的传递函数矩阵,时的传递函数矩阵,可见，经过线性变换，系统的传递函数矩阵不改变,线性变换,化系数矩阵 A 为标准形,即：对角形、约当形、模态形,线性变换,例 将矩阵 化为对角阵,解,解出,变换矩阵,线性变换,如果矩阵 A 具有这样形式,范德蒙特矩阵,变换矩阵,线性变换,2. 化矩阵 A 为约当形,如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,这时不能化为对角阵，只能化为约当形。,线性变换,确定变换矩阵,可以得到：,变换矩阵为,线性变换,例 化矩阵 为标准形矩阵,解,得出,求二重特征根对应的特征向量,线性变换,得到,而由,得到,线性变换,求特征值 对应的特征向量,得到,因此,组合系统的数学描述,工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的。这样的系统称为组合系统。 组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和反馈等3种连接方式构成的。 下面以两个子系统 和 构成的组合系统进行介绍。,组合系统的数学描述,的系统方程为,传递函数矩阵为,的系统方程为,传递函数矩阵为,组合系统的数学描述,传递函数矩阵,组合系统的数学描述,2 串联连接,组合系统的数学描述,串连组合后系统方程,组合系统的数学描述,3 反馈连接,组合后系统方程为,传递函数矩阵为,或,
