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1、普通物理专题研究,电磁学部分,普通物理专题研究电磁学部分,一、静电场电势零点的选择 众所周知，根据库仑定律和叠加原理可以证明,静电场力作功与路径无关，静电场是保守力场，可以引入电势概念。场强和电势都是位置的函数,场强是矢量，电势是标量，因此采用电势来描述静电场常常会带来许多方便。 在教学中围绕静电场电势零点的选择，往往有不少疑问。例如，为什么电势零点选择具有任意性，是否有所限制？为什么通常选无穷远为电势零点，这样选的好处是什么？是否也有限制？V=0与V地=0是否相容？选取不同电势零点得出的电势是否能够相加，如何相加？等等。,一、静电场电势零点的选择,1.静电场电势零点选择的任意性静电场电势零点
2、的选择，从原则上说，是任意的。 从物理上看，静电场力作功表明有能量交换，静电场力作功与路径无关表明存在着一种与静电场力有关的，只取决于相对位置的能量电势能，即,1.静电场电势零点选择的任意性,为了确定静电场中各点的电势值，即确定单位正电荷在各点所蕴含的电势能，需要选定参考点及其电势值，一经选定，静电场中各点电势值就唯一确定。,为了确定静电场中各点的电势值，即确定单位正电荷在各点所蕴含,选择不同参考点，静电场中各点电势有所不同(只差一个常数)，但两点之差不变。描述的仍是同一个静电场，这就是静电场中电势零点可任意选择的物理原因。,比较(1)(3) 只差一个常数项，令Vb=0，Vc=0,其常数项为,
3、选择不同参考点，静电场中各点电势有所不同(只差一个,从数学上看，电势是描述静电场的标量位置函数，静电场中的电势曲线或等势面，描述了电势的空间分布，选取不同的电势零点，只是使电势曲线或等势面所标数值有所改变而已，电势曲线的形状，曲线上各点的斜率并不改变，等势面的形状、间隔、等势面法线方向的空间变化率（电势梯度）也都并不改变，即场强的空间分布并不改变，描述的仍然是同一个静电场。这些就是静电场电势零点从原则上说可以任意选定的数学原因。,从数学上看，电势是描述静电场的标量位置函数，静电场中的电势,但是，电势零点的选择似乎也有一些限制。例如，选点电荷所在处为电势零点就有不便之处。因为，点电荷在空间电场强
4、度为：,由此可见，对点电荷的电场，选取点电荷所在处为电势零点，空间各点电势均为无穷大，无从区分和比较，使电势失去了描述电场的功能。,但是，电势零点的选择似乎也有一些限制。 由此可见，对点电荷,应该指出，不能因上述结果从原则上否定电势零点选择的任意性。选取点电荷所在处为电势零点不妥的原因是什么？（讨论）点电荷是理想模型，它把有限的电量集中在无穷小的空间范围（一点）之内，必然导致点电荷所在处的电荷密度为无穷大，场强为无穷大，电势为无限增长。任何实际的电荷分布不会出现这种情况。问题在于，当无限接近实际的点电荷时，点电荷的理想模型已经失效。如果坚持点电荷的理想模型，就不能选点电荷所在处为电势零点。实际
5、上，可以选无限远为电势零点，就可以克服上述困难。,应该指出，不能因上述结果从原则上否定电势零点选择的任意性。,2.为什么选择无穷远点为电势零点（V=0）？ 在几乎一切的静电场中，尽管带电体系的电量不同，分布各异，但电量总是有限的，分布范围也总是有限的。 一般来讲，带电体系附近的场强比较强，电势变化剧烈，距离带电体系较远处的场比较弱，电势变化和缓。 足够远处物理上可称之为无穷远的广大空间场强为零，电势恒定。 对于几乎一切的实际静电场问题，都存在具有上述特点的无穷远点，这就是一般的电磁学教材所说的，对于分布在有限区域的带电体，通常取无穷远为电势零点。这里无穷远点并非一个点，而是距离电荷足够远的广大
6、区域，其中任何一点都是。,2.为什么选择无穷远点为电势零点（V=0）？,然而在一些理想化的问题中，选取V=0有时会引起矛盾。例如：无限大带电平面、无限长均匀带电直线或圆柱产生的静电场，选择V=0就有问题。 无限大带电平面产生的静电场是均匀场。,然而在一些理想化的问题中，选取V=0有时会引起矛盾。,得出：各点电势无法区分和比较又都不确定的结论，但在电场中取两点，其电势差是确定的。 上述矛盾说明，如果坚持带电面是无限大，就不能选择V=0，因为已经不存在比带电面伸展范围更遥远得多的场强为零，电势恒定被称为无穷远点的广大空间了。 解决问题的办法是，选取带电面上某一点为电势零点。反之，如果选V=0，则不
7、能同时采用无限大带电平面的理想模型。任何实际的带电平面都不会无限大，它所产生的场也不是均匀的场（边缘效应）。,得出：各点电势无法区分和比较又都不确定的结论，但在电,同理，对无限长带电线、圆柱体产生的静电场也不能选无限远为电势零点。,同理，对无限长带电线、圆柱体产生的静电场也不能选无限远为电,3.为什么选择V地=0,它和V=0是否相容？ 在实际的问题中往往把电器外壳接地，并选取地球的电势为零，即V地=0，这样选的根据是什么？ V地=0与V=0是否相容？ 为了简单起见，假设地球是一个不带电的导体球，不产生电场。 首先，如果空腔导体（不接地）内没有带电体，则不论导体壳是否带电，还是放在外电场中，静电
8、平衡时，导体壳内没有电场，导体壳保护了它所包围的区域不受外表面电荷或外部电荷产生的电场的影响，起到了内屏蔽的作用。,3.为什么选择V地=0,它和V=0是否相容？,其次，为了使带电体不影响外界，可以把它放到接地的空腔导体壳内，由于地球是导体，接地后，使导体壳外表面上感应电荷流入大地，消除了导体壳内带电体对外界的影响，接地导体壳起到了对外屏蔽作用。 实际上，接地的空腔导体不仅可以屏蔽电场的内外互相影响，还可以使内外电势互不影响。当然，这里隐含着一个重要前提，即不论流入地球的电荷是多少，地球的电势始终稳定，可取为零，且V地=0与V=0应该相容。,其次，为了使带电体不影响外界，可以把它放到接地的空腔导
9、,为了论证这一前提，考虑如图所示情景： 设A是带电体，B是不带电的接地导体。 B与地球联成一个大导体，B和它附近地面称近端，地球另一侧称为远端。 B靠近A端有感应电荷，同时地球远端有等量异号电荷。由于地球的线度和曲率半径远比A、B大，地球远端相对A、B而言可以看做是极大平面，其感应电荷面密度与 A、B相比是极小的，所以地球远端电场强度（E=/0）远小于A、B表面外附近场强。,为了论证这一前提，考虑如图所示情景：,从地球远端表面外一直伸展到无穷远的电场分布与A、B表面外伸展到无穷远的电场强度相比是极小的。 因此尽管地球与无穷远之间有电势差，但这个电势差与A、B之间电势差相比是极小的。 所以，在研
10、究A、B附近电场电势分布时，忽略 V地与V的差别，近似地取V地=0是合理的。,从地球远端表面外一直伸展到无穷远的电场分布与A、B,如果带电体A电量增大，则B感应电荷增多，流入地球远端等量异号电荷相应地增多，地球电势（与V=0相比）增大，但同时A、B附近电场电势也增大。上述分析仍适用。 如果B是空腔导体，其中有带电体C，同时带电体A仍在B附近，达到静电平衡，B内表面有感应电荷，进入地球的感应电荷有所变化，含C感应在外表面的电荷，但不影响上述讨论的结果。,如果带电体A电量增大，则B感应电荷增多，流入地球远端等,总之，当接地导体内、外都有带电体，在讨论接地导体与带电体附近静电场的电势分布时，可以忽略
11、地球与无穷远之间的电势差，认为地球电势分布十分稳定，这正是电器接地的目的，也是取V地V=0的根据。 当然，如果研究地球带电多少？受到静电感应或不受静电感应的电势，或研究与地球大小相比同数量级的空间范围内的电势分布，则破坏了上述条件， V(=0) V地。,总之，当接地导体内、外都有带电体，在讨论接地导体与带电,实际上，地球物理研究表明，地球电荷为负，地球上空电离层带正电，可以把地球和电离层看成是一个球形电容器，电场分布基本上是法向，垂直球表面。 实际测定，在晴朗的天气里，在平坦的旷野上，从地面向上每米增加电势约为100V(120?)，即地球表面附近大气中存在着竖直向下约为100V/m(120?)
12、的电场强度，且场强随高度增加逐渐减弱（因大气电导率不均匀）。,实际上，地球物理研究表明，地球电荷为负，地球上空电离,思考：由地球表面大气场强估算地球相对无穷远的电势 V是多少？（ ）,思考：由地球表面大气场强估算地球相对无穷远的电势 V是多少,4.零点不同的电势如何叠加？如果同时存在几个静电场，且各个静电场对电势零点的选取有不同的限制，则合电场的电势应如何表达？电势零点应如何选择？表达式中常数项的含义是什么？这些都是在教学中令人困惑和容易误解的问题。下面以两个具体问题为例来说明。（1）如图所示，在均匀电场E0中放入一个点电荷q，空间的电场是E0和点电荷q产生的电场之和。试问合场强的电势应如何表
13、达？,4.零点不同的电势如何叠加？,将坐标原点O取在q所在处，均匀电场的电势用V1表示，因均匀电场不能取无穷远为电势零点，可以选O点为电势零点，于是任一点P的电势为点电荷q产生电场的电势用V2表示，可选无穷远为电势零点，于是P点电势为合电场的电势为 V=V1+V2+V0， V0是待定常数。式中V1是取O点为电势零点，V2是取无穷远为电势零点，两个零点不同的电势可否这样相加？含义如何？,将坐标原点O取在q所在处，均匀电场的电势用V1表示，因均匀,对任何静电场，不论电势零点如何选择，电势表达式中变数项形式总是一致，选取不同的电势零点将给出不同的电势值，但其间只差一常数，即只会影响电势表达式中的常数
14、项。如：,对任何静电场，不论电势零点如何选择，电势表达式中变数项形式,前例中，点电荷的电势随空间变化规律为均匀电场的电势随空间变化规律为合电场的电势随空间变化规律必定是两者之和 因此将两式相加是合理的，含义也是清楚的。现在需要确定叠加后合电场的电势零点如何选取，即说明 V0的取值和含义。显然，对于合电势既不能选取r=0处也不能选取r=处为电势零点，否则场中任意点的电势都将为无穷大。除了上述限制，合电场中任意点都可选为电势零点。电势零点一旦选定，V0的取值和含义就都确定了。如：选r=r0，=0的A点为电势零点，则：,前例中，点电荷的电势随空间变化规律为,（2）如图所示，在均匀电场 E0中放入半径
15、为R0带电量为Q 的导体球。,取球心为坐标原点，若无均匀电场E0，只有带电导体球，则电荷均匀分布在球表面上，加均匀电场E0后，在E0作用下导体表面将出现感应电荷，达到静电平衡后，感应电荷在球外的电场等效于一个中心在球心的电偶极子的电场。,感应电荷在球内的电场应与E0等值反向，以使导体内部的合场为零。因此合电场由三部分组成（E0、Q 的场，感应电荷的场）,（2）如图所示，在均匀电场 E0中放入半径为R0带电量为Q,其电势是相应的三个电势叠加（在P点电势）：,其电势是相应的三个电势叠加（在P点电势）：,下面选取合电场的电势零点，并确定V0的取值和含义。取r=r0R0，=0的A点为电势零点，即VA=
16、0由上页式子得：使V0=0，解上式r0的三次代数方程，求V0=0的位置。,下面选取合电场的电势零点，并确定V0的取值和含义。,总之，如果同时存在几个静电场，且各个静电场选取了不同的电势零点（其原因往往是因为同时采用各种理想模型，使各场电势零点的选取存在不同的限制），则合电场的电势表达式中的变数项仍为各电场电势表达式中的变数项之和。 令合电场电势表达式中的待定常数项V0为零，由V0=0即可确定合电场电势零点的位置。 当然，也可选取其他不受限制的位置作为合电场的电势零点。,总之，如果同时存在几个静电场，且各个静电场选取了不同的,例题1半径为R1的导体球带有电荷q，球外有一个内、外半径分别为R2、R
17、3的同心导体球壳，球壳上带有电荷Q。求：(1)两球的电势V1和V2；(2)两球的电势差；(3)用导线把球和壳连接在一起后， V1、V2、V是多少？(4)在情形(1)(2)中，若外球接地， V1、V2、V各是多少？(5)设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？,例题1,(5)接地电势与无穷远电势为零并存，且二者等价。当内球接地，电荷并不为零。接地后其上电荷入地,壳内表面电荷消失,外壳带电Q 要在内、外表面重新分布,且在内球与大地组成的导体中产生感应电荷,其中有一部分分布在内球上,由于壳上总电荷为Q,内球感应的电荷必为负,设为-Q,壳内表面为+Q,壳外表面带电Q-Q,电场分布内外皆为球对称。三层同
18、心球面在内球产生的电势为(在球心上),(5)接地电势与无穷远电势为零并存，且二者等价。当内球接地,（5）方法：由于接地电势与无穷远电势为零并存，二者等价。设内球Q,外球内表面-Q,外表面Q+Q,（5）方法：由于接地电势与无穷远电势为零并存，二者等价。,二、平行板导体组电荷分布问题 平行板导体组上电荷分布问题是静电场中导体的常见问题,也属于疑难问题,导体版上面电荷分布取决于各板上带的电量及导体板是否接地。,二、平行板导体组电荷分布问题,解决此问题一般方法如下：利用静电场平衡条件及电荷守恒定律，由高斯定理及场叠加原理。(1)在导体内取点，求各表面产生的场（应用高斯定理求场）的叠加，列方程（每个导体
19、板列一个方程）。(2)求各导体总电荷与面密度关系(1+2)S=q(3)若一板接地，该板电荷方程不能用(q=0？)，但接地侧=0（补充所少的电荷方程）(4)若研究三块板，外侧两板用导线连在一起，可以列电势差为零方程及两导体总电荷方程。(5)利用静电感应，两板之间内侧总是带等量异号电荷。,解决此问题一般方法如下：,例题1 两块平行板，分别带电荷qA、qB，求各板面的电荷面密度。,例题1 两块平行板，分别带电荷qA、qB，求各板面的电荷面,例题2 在上例两板间插入一块中性金属板C（三板长、宽相同），求各板面密度。,结论：中性板插入不改变原来两板电荷分布，而中性板两侧出现等量异号电荷。（与板间距是否有
20、关？）,例题2 在上例两板间插入一块中性金属板C（三板长、宽相同）,例题3 当一个导体板接地，电荷如何分布？,讨论 此结论与两个导体板带电量是否等量，是否同号有无关系？（无关）,结论 当B板接地，qB=0，电荷分布与qA有关，qA分布在内侧，且感应B板内侧。,例题3 当一个导体板接地，电荷如何分布？讨论 此结论与两个,(2)若三块平板，A板带电qA，B板带电qB，C不带电。,(2)若三块平板，A板带电qA，B板带电qB，C不带电。,讨论：为什么B板接地，A板外侧无电荷？ 因电场线指向电势降低处，B板的电势VB=0,AB,VA-VB=VA, 而VA-VVA, V0，因为对无限大平板， 无限远电势
21、不等于零。只有A板外侧Q=0,外侧无电场，才能V=0,讨论：为什么B板接地，A板外侧无电荷？,例题4 三块平行导体板，若外两侧接地。设B板带电荷q，A、C不带电，求电荷分布。,例题4 三块平行导体板，若外两侧接地。设B板带电荷q，A、,练习题三个平行板A、B、C组成一平行板导体组，如图所示。已知qA=10c, qB=-4c,qC=0,平行板的面积均为S=1m2.求：六个面上的电荷面密度；用导线连接C、B两板，待达到静电平衡后又撤去连线，再求六个面上的电荷面密度；在的基础上再用导线连接A、B两板，再求六个面上的电荷面密度，忽略边缘效应。,练习题,（3）静电平衡后，撤掉C、B连线，电荷分布不变，再
22、将A、B用导线连接有下列方程：,（3）静电平衡后，撤掉C、B连线，电荷分布不变，,三、电场线的应用 研究静电场中的导体问题，根据静电平衡条件，再加上电场线的概念，避免了可能出现的复杂数学问题，并且可以获得令人满意的定性分析结果。 下面应用电场线性质及作图规定定性解释静电感应现象。,三、电场线的应用,1、感生电荷的绝对值 与施感电荷的绝对值 具有证明（分析）（1）封闭导体壳内空间有点电荷q存在时导体壳内外感应电荷分别为-q,+q导体达到静电平衡时，壳内E=0,因为q为正，发出的电场线不能穿过壳层终止于无穷远，只能终止于内表面的感生电荷-q,电场线在无电荷处不中断，则q大小必然与q等量（据电荷守恒
23、），即,1、感生电荷的绝对值 与施感电荷的绝对值 具有,（2）电量为q的带电体A附近，有一中性导体B，感生电荷为-q和+q,则由于B是等势体， q发出的电场线不可能终止于另一侧的-q,(否则B不是等势体)，只能终止于无穷远，所以VBV。另外，不能有电场线由无穷远发出终止于-q，否则VBVBV=0可见，A的电荷q发出的电场线一部分终止于B，一部分终止于无穷远，所以有据高斯定理，电场线条数与电荷电量成正比，+q发出的电场线多于 q接收的电场线，q q。因VAV, A上的电场线必有一部分。,（2）电量为q的带电体A附近，有一中性导体B，感生电荷为,2.一导体带电，附近有一中性导体，静电感应时，两导体
24、不能同时感应异号电荷。如图所示：A导体带正电+q,B为中性导体，在A附近处感应-q,远端处感应q (qVA,而与VAVBV(已讨论过)产生矛盾，可见此电场线不存在。(2)由无穷远发出电场线终止于-q上，有VVA，与VAV矛盾，此电场线也不存在，所以，只有一种可能， A只有正电荷。,2.一导体带电，附近有一中性导体，静电感应时，两导体不能同,3.一导体B，附近有体积很小带正电荷q的电荷A，B的感应电荷-q和+q。若B接地，则+q必消失。证明：有前面讨论可知，自A+q发出的电场线一部分终止于B上感应的-q, -q的存在应满足电场线性质和VAVB=0.若B上仍存在+q,它的电场线假设有下列几种可能：
25、(1)终止于-q, 则B不是等势体，所以不可能；(2)终止于无穷远，则有VBV=0,与VB=0(接地)矛盾。(3)终止于地，则VBV地，与VB=V地矛盾。唯一合理的结论是，+q消失，即感应电荷中与施感电荷同号者由于接地而消失。,3.一导体B，附近有体积很小带正电荷q的电荷A，B的感应电,利用电场线的概念讨论与电容器有关的一些问题。4.电容器极板间的电势差是否受外电场影响？严格地说，有的要受影响，有的不受影响。(1)球形电容器的极板之间的电势差不受外电场影响。设一个未充电的球形电容器，在外电场E的作用下，球形电容器外表面将有感生电荷 分布。能否在内球和外球内壳上出现如图所示的 呢？,利用电场线的
26、概念讨论与电容器有关的一些问题。,由静电平衡原理可知，B、A两极板间的电场并不存在（未充电），这可由电场线证明：若B内表面有+qB,其发出的电场线不能穿过B壳，也不能终止于B内表面上的-qB,(因B是等势体)，只能终止于A的-qA,有VBVA；同理A上+qA发出的电场线只能终止于B内表面的-qB上，有VAVB，出现了VBVA和VAVB的矛盾，故球形电容器的两极板间的电势差不受外电场的影响。（这也可用来说明为什么导体壳可以屏蔽外电场）,由静电平衡原理可知，B、A两极板间的电场并不存在（未充电）,此结论对充电电容器（球形）也适用。充电以后的球形电容器，若A极板带正电荷，B极板内表面必带等量负电荷，
27、这两种电荷一定，A、B间的电场分布也一定，如图所示。在任意外电场E的作用下，不会在A、B间出现附加的电场线，不会改变A、B间的电场线分布，即不会改变A、B间的电势差。（外部电荷分布变化）,此结论对充电电容器（球形）也适用。充电以后的球形电容器，,(2)平行板电容器极板间的电势差，要受外电场影响。有的教材从静电屏蔽出发，认为：一对平面导体 A、B的面积很大，而且靠的很近，电荷将集中在两导体相对的表面上，电场线集中在两表面之间狭小的空间内，外电场对两者之间的电势差VA-VB的影响可忽略不计。这种说法是欠妥的。平行板电容器在外电场作用下，无论一极板接地或不接地，一般来说，两极板电场分布都要发生变化，
28、从而电势差要改变，但由于极板内表面上电荷成比例改变，电容不变。下面就平行板电容器接地和不接地两种情况来讨论。,(2)平行板电容器极板间的电势差，要受外电场影响。,a)不接地。把一块原来不带电的金属板 B，移近另一块带电q的金属平面板 A，这样便组成一个平行板电容器。设每个面电荷面密度为1、2、3、4，由高斯定理及叠加原理、静电平衡条件可得：由高斯定理知，每个面产生电场 E=/20由场叠加原理与静电平衡条件知，1-2-3-4=0， 1+2+3-4=0由电荷守恒知，(1+2)S=q,(3+4)S=0因此可得到： 1=2=-3=4=q/2S电场线分布如图所示，两平行板把空间分成三个区域，每个区域的场
29、强E=1/20+2/20-3/20 +4/20=21/20=q/20SE=1/20+2/20+3/20 -4/20=21/20=q/20SE=1/20+2/20-3/20 +4/20=21/20=q/20S两极板间的电势差为： VAB=Ed=qd/20S各区域电场线是平行等距直线，它表示为均匀场，这里E= q/20S不能选无限远处电势为零。,a)不接地。把一块原来不带电的金属板 B，移近另一块带电q,b)一板接地。令上图中B板接地，由前面讨论可知1=4=0，2=-3=q/S,且分布在内侧。两极板间电势差为VAB=Ed=dq/0S电势差比不接地时增大一倍，但极板上电量也增大一倍，故电容不变C=0
30、S/d现在讨论平行板电容器在外电场作用下，考虑电容器接地情况。,b)一板接地。令上图中B板接地，,说明：由上图可以看出，在这种均匀电场条件下，不能同时选接地电势和选无限远处电势为零。,说明：由上图可以看出，在这种均匀电场条件下，不能同时选接地,5.一个球形电容器，一次把它的外球与地连接，另一次把内球与地连接，在两种情况下，电容器的电容是否相同？一般认为电容器（真空中）的电容只取决于电容器的几何因素，如球形电容器的只要内、外球半径RA、RB一定，C就一定。在问题中， RA、RB均未变化，好像C不应变化，但答案是否定的。,5.一个球形电容器，一次把它的外球与地连接，另一次把内球与,下面应用电场线来
31、分析。（1）外球壳接地。如图(a)所示，若内球带正电，外球壳接地，电场线只能分布在内球与外球壳内表面之间，充电电压为电源电压。讨论：外球壳接地前后，电容是否变化？（不变）,下面应用电场线来分析。,(2)内球接地。如图(b)所示，球壳外表面与电源正极相接而带正电，它们的电场线大部分终止于地，少数终止于无限远。对于球形电容器，接地和无穷远可以同时选为零电势。由于内球与电源负极相接，内球表面上带负电，球壳内表面带正电，球壳外表面感应的负电荷被电源提供的正电荷相抵消。结果，球壳内表面与内球之间有电场线分布。,(2)内球接地。如图(b)所示，球壳外表面与电源正极相接而,由上图(b)可以看出，相当于球壳外
32、表面与地（和无穷远）形成的电容器和球壳内表面与内球形成的电容器并联于电源的两端。并联后的总电容大于其中一个电容器的电容。所以，球形电容器接地时的电容，外球接地和内球接地是不一样的，内球接地时电容比外球接地时电容要大。由此可见。导体系统中的导体如何接地对系统的物理性质是有影响的。,由上图(b)可以看出，相当于球壳外表面与地（和无穷远）形成,练习1：两个完全相同的导体球，皆带等量的正电荷Q，现使两球互相接近到一定程度，则（ ）(A)二球表面都将有正负两种电荷分布；(B)二球中至少有一个表面上有正负两种电荷分布；(C)无论接近到什么程度二球表面都不能有负电荷；(D)无法确定。 （C）反证法：设都带异
33、号电荷，A上正电荷电场线终止于B上，VAVBV若A上有负电荷，B上电场线终止于A上， VBVA矛盾，所以A上无负电荷。由于两导体一样，同法证明B上也无负电荷。,练习1：两个完全相同的导体球，皆带等量的正电荷Q，现使两球,另一种可能，无限远电场线终止于A的负电荷， VAVA与VAVB矛盾；无限远正电荷，VVA与VAVBV矛盾。练习2：带正电荷导体A附近有一个中性导体B，当A离B越近，A的电势越高还是越低？,另一种可能，无限远电场线终止于A的负电荷， VAV,则,四、真空中静电场作用于导体上的力 把静电能理解为电荷的相互作用能（电势能），用电荷（或电荷密度）和电势来计算。这意味着静电能的携带者是电
34、荷。而静电能又可以用电场强度来表示，这又意味着静电能是定域于电场中的。 在静电场中，两种观点等价，后者的表达式可以根据前者的表达式经过一些数学变换得到，二者只是数学形式上的差异而已。因此，在不同场合，我们可以根据需要，采用不同观点讨论与静电场有关的各种问题。,四、真空中静电场作用于导体上的力,1、从静电能的变化求力讨论在真空中的平行板电容器极板所受的静电力。设一平行板电容器极板上电荷分别为+Q,-Q，两极板之间相互作用力为吸引力。应用虚功原理。如图所示， A、B两极板相距x，当A极板离开B极板发生虚位移x，外力克服静电力Fx所作的功为-Fxx。根据能量守恒，此机械功转化为电容器储存的静电能W。
35、,1、从静电能的变化求力,忽略边缘效应，于是：（静电力作负功等于电势能增加，静电力作正功等于电势能减少）,忽略边缘效应，于是：（静电力作负功等于电势能增加，静电力作,例：两个无限大均匀带电的平行平面，面电荷密度分别为1和2，在两板之间导体A的ds处，电荷密度为，则ds面所受电场力有下列两个关系式，请选择其中正确的一个：,例：两个无限大均匀带电的平行平面，面电荷密度分别为1和,习题：在半径为R的均匀带电球面上，任取面积元S , 则此面积元上电荷所受的电场力为多少？,习题：在半径为R的均匀带电球面上，任取面积元S , 则,五、电介质中的力与有介质时的库仑定律 真空中的库仑定律反映了点电荷相互作用力
36、的基本规律，是研究静电场的基础。 但有介质存在时，用库仑定律表示介质中的点电荷的相互作用力是有条件的（即在均匀无限充满场不为零的介质中才成立），而且作用在介质中电荷上的力，除了电场力之外还有其他的力，只有在这些其他力可以忽略的情况下，才能用有介质时的库仑定律表示点电荷的相互作用力。,五、电介质中的力与有介质时的库仑定律,1、电介质中的力 在静电场中的导体，电场线垂直于表面，导体上电荷所受的力，也垂直于表面。如图所示，平行板电容器内有1、2两种电介质，若考虑边缘效应，电场线（或电位移线）可以不垂直与表面，因此，作用于介质表面极化电荷的力，除有垂直于表面的力，还有平行于介质表面的切向力。,1、电介
37、质中的力,为简单起见，我们只考虑场强垂直于电介质表面的情形。如上图所示，若12 ，则介质界面上的力垂直向下。（1）定性分析。为清楚一些，将电容器与介质之间的空隙夸大，如图所示：,为简单起见，我们只考虑场强垂直于电介质表面的情形。如上图所,（2）定量计算设1和2两层介质厚度分别为y1和y2，两极板之间距离为y1+y2。假想两介质的分界面向下作一极小虚位移y,则厚度y1增加y,厚度y2减少y，这时电场力所作的功为Fy，根据能量守恒定律，此功应等于静电能的减小，即Fy= -W (1),（2）定量计算,由于虚位移而引起的能量变化为,由于虚位移而引起的能量变化为,（3）推论 从上述结论中可推得，在均匀介
38、质中，把物体放在介电常数与其不同的电介质中，当物体的介电常数大于电介质的介电常数时，它的表面将有指向周围电介质的力，即物体受到张力作用；反之，当物体介电常数小于周围电介质的介电常数时，它的表面将受到指向表面的力，即物体受到压力作用。（在均匀场中，物体受力静止，合力为0）,（3）推论,在不均匀的电场中，物体的介电常数大于周围介质的介电常数，物体受力是否静止，向什么方向运动？物体表面有指向周围电介质的力，但由于处在非均匀场中，各方向ds受力大小不同，场强大处受力大，所以合力指向场强较强区域，物体向电场强的区域运动。反之，物体的介电常数小于周围电介质的介电常数，它将被推向电场强度较弱的区域。,在不均
39、匀的电场中，物体的介电常数大于周围介质的介电常数，物,（4）处在均匀无限充满电介质中的带电导体表面受到的力,（4）处在均匀无限充满电介质中的带电导体表面受到的力,2.介质中的库仑定律根据前面的讨论可知，物体（电介质）处在介质常数不同的电介质中，受力将发生整体运动，除此之外，由于物体表面受到力，其形状和大小也将产生微笑的改变，这种现象称为电致伸缩。由此可见，电介质中力的问题是比较复杂的。电介质中的带电体除受到介质平均场强E的作用外，还受到由于介质表面的机械张力而得的压力，以及由于介质的电致伸缩而传递给其表面的张力或压力。一般说来，根据作用于带电体上的力不能确定电介质中的场强E；反之，由介质场中的
40、E，一般也不能确定作用于带电体上的力。,2.介质中的库仑定律,一种测定介质中的E和D的理想实验，在介质中挖扁柱形和细长柱形空腔，将试探电荷q置于空腔中部对细长柱形空腔，忽略两底S上的极化电荷对q的作用，有对扁柱形空腔,一种测定介质中的E和D的理想实验，在介质中挖扁柱形和细长柱,介质中的库仑定律处在均匀无限电介质内带电量为q0的金属球，在球外距球心r处的场强为此式表明E与球半径R无关，当球半径R与r相比可忽略时，此带电球可以看作点电荷。由于测定场的试探电荷必须满足点电荷的条件，所以由上述结果得知，在均匀无限介质中，相距为r的两个点电荷q和q的相互作用力为与真空相比，为1/r倍。综上所述，介质中库
41、仑定律只代表介质场强对点电荷的作用力，作用在介质中电荷上还有其他的力。这与真空中库仑定律有区别，不能用上式及叠加原理来计算电介质中任意两个有限的带电体之间的相互作用力。,介质中的库仑定律,六、E和B同时存在时带电粒子的运动 我们知道，只有电场时，带电粒子在电场力F=qE作用下一般做抛物线运动，特殊情况下作匀加速直线运动（v0E）；只有磁场时，带电粒子在洛伦兹力F=qvB作用下，一般作螺距相等的圆柱螺旋运动，特殊情况下作圆周运动或匀速直线运动。,六、E和B同时存在时带电粒子的运动,在电场和磁场同时存在时,带电粒子的轨迹如何呢?一种容易发生的误解是: 往往认为应当是上述两种情形的叠加。一般说来是不
42、正确的。 因为没有电场时，洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，由于速度不变，洛伦兹力大小也不变；有电场时，速度改变，洛伦兹力大小要变，一般并非简单的叠加，粒子的轨迹方程应当通过求解运动方程得到。,在电场和磁场同时存在时,带电粒子的轨迹如何呢?,考虑到E和B的关系，总可以分解成两种情形：EB和EB下面分别讨论两种情况下带电粒子的运动，详细求解较繁琐，只重点分析物理过程和运动特征。1、电场E和磁场B互相平行设E和B都沿x轴正方向，带电粒子q从坐标原点出发，初速度为v0与x轴夹角为在x方向，没有洛伦兹力，只有电场力的作用，粒子以初速度v0cos作匀加速直线运动，加速度为qE/m有,考虑到E和B的
43、关系，总可以分解成两种情形：,x方向速度的变化并不影响洛伦兹力，因B也在 x方向，洛伦兹力qvB只与垂直x方向的速度v0sin有关，在这个力作用下，带电粒子在y-z平面内作匀速(v0sin)圆周运动。圆周运动的半径R=mv0sin/qB，周期T=2m/qB。因为两个运动互不影响，合运动是它们的简单叠加，结果带电粒子作圆柱螺旋运动。讨论：与没有电场时相比较,螺旋线有什么区别?,x方向速度的变化并不影响洛伦兹力，因B也在 x方向，洛伦,没有电场时，螺旋线是等螺距h=v0cosT有电场了，vx是变化的，螺旋线是变螺距h=vxT思考：螺距按怎样的规律变化？按奇数规律增加。因为螺距是每经过一个周期，粒子
44、在x方向前进的距离，而匀加速运动中粒子在相邻相同时间间隔内走过的距离之比等于1:3:5奇数比。若E与B方向相反，则按奇数规律减小。,没有电场时，螺旋线是等螺距h=v0cosT,2、电场E和磁场B互相垂直（均匀场）如图所示，设电场E沿y方向磁场B沿z方向。带电粒子的速度可以沿任意方向，我们只讨论速度v在垂直于B的xy平面上的情况（如果速度还有z分量，由于在z方向不受电场力，也不受洛伦兹力，将作独立的匀速直线运动，不影响我们的讨论结果）。,2、电场E和磁场B互相垂直（均匀场）,一个容易发生的误解是:带电粒子受电场力和洛伦兹力的作用，应当：在平行于电场方向作匀加速运动；同时在垂直于磁场方向作匀速圆周
45、运动。下面的分析告诉我们，实际上电场力的效果要受到磁场力的影响，带电粒子应当：在垂直于电场方向作匀速运动，同时在垂直于磁场平面上作匀速圆周运动。,一个容易发生的误解是:,将速度v分解成 v1和v2两部分，使v1沿 x方向，其大小v1=E/B（令），（不是正交分解，对任意都可使v1=E/B,v2和v1满足平行四边形法则）v2则由平行四边形法则确定。,将速度v分解成 v1和v2两部分，使v1沿 x方向，其大小,E和v1带来的效果，电场力和洛伦兹力互相抵消q将以v1沿x方向作匀速运动。另一方向，考虑v2带来的效果，它使电荷受到的洛伦兹力f2=qv2B在垂直于磁场的平面内，其结果是以v2作半径R=mv
46、2/qB的匀速圆周运动。（fe与f1已互相抵消，对运动不产生影响）,E和v1带来的效果，电场力和洛伦兹力互相抵消q将以v1沿x,可见，在互相垂直的电磁场中，带电粒子的运动是两部分叠加：一部分是:在x方向，以速度v1=(E/B)i 作匀速直线运动；另一部分是:在xy平面上，以速度 开始的匀速圆周运动。,可见，在互相垂直的电磁场中，带电粒子的运动是两部分叠加：,这两部分叠加的结果，其轨迹应是旋轮线(相当一个圆轮沿x轴方向作无滑动滚动，圆周上一点所描成的轨迹)，即当轴心沿x方向以速度v1滚动时，给定的半径上的某一点一方面以v1作匀速直线运动，另一方面又以某一速度v2作匀速圆周运动。,这两部分叠加的结
47、果，其轨迹应是旋轮线(相当一个圆轮,一种特殊情况，v2=0,即v=v1=(E/B)i,带电粒子不做圆周运动，只剩下x方向的匀速直线运动。这正是速度选择器的原理。当粒子受到合力为零时 qE=qvBv=E/B的粒子从小孔s2通过（无偏转）通过改变E和B的数值来取得所需速度的粒子。,一种特殊情况，v2=0,即v=v1=(E/B)i,带电粒子,七、涡旋电场中的电势差当磁场变化dB/dt0，才有涡旋电场E涡。涡旋电场对任意闭合回路的环流不为零。涡旋电场移动电荷作功与路径有关，在涡旋电场中不可引入电势和电势差的概念，否则路径不同，两点间的电势差也不同，这就没有确切的物理意义了。因此，一定要明确涡旋电场是无
48、势场，讨论涡旋电场的电势和电势差是没有意义的。,七、涡旋电场中的电势差,但是，在电磁场中也常常遇到一些在涡旋电场中比较两点电势高低和计算两点电势差的问题，凡属这种情况，一定是涡旋电场中置入了导体，导体中的自由电子在涡旋电场的作用下重新分布，出现电荷堆积，建立了库仑场(静电场),所以比较的电势差总是与库仑场直接联系在一起。下面分两种情况讨论涡旋电场中电势差的计算。,但是，在电磁场中也常常遇到一些在涡旋电场中比较两点,1、导体不构成闭合回路 如图所示，长直螺线管中的磁场逐渐增强，dB/dt一定，我们在管内某一横截面上按如下三种情况放置导体： 在直径上， 在弧上， 在弦上，分别讨论两点电势的高低和电
49、势差的大小。,1、导体不构成闭合回路,以上情况的特点是导体中无电流，A、B两点电势差UAB=-AB,因平衡时导体中各点 E涡=-E库根据对称性，螺线管内的涡旋电场线是一些垂直于轴线的同心圆，由可得负号表示当B增强时，E涡沿逆时针方向与B成左旋。,以上情况的特点是导体中无电流，A、B两点电势差,（1）当导体位于直径上涡旋电场处处与导体垂直电荷在AB方向不受力，不会在该方向有电荷重新分布，AB方向库仑电场为零，因此AB之间没有电势差，或,（1）当导体位于直径上,当导体位于弧上时涡旋电场处处与导体平行，自由电子受力沿CD方向，C端出现正电荷，D端出现负电荷，C端电势高于D端。平衡时,当导体位于弧上时
50、,（3）当导体位于弦上时，涡旋电场沿着EF 方向为 E涡cos，在此分量作用下，F 端堆积正电荷,E 端堆积负电荷，VFVE,平衡时，由几何图形：cos=h/r,（3）当导体位于弦上时，,讨论：上面结果适用于管内截面上的任意一根直线段，两端不一定在圆周上。上面计算的(1)和(2)可以称为(3)的特例。当导体沿直径放时，h=0，UAB=0；当导体呈弧形置于圆周上，弧可以看作很多弦组成，L=L=CD，h=r，结果与上式(2)一致。,讨论：,2、导体构成闭合回路如图所示，在有变化磁场的螺线管内某一截面上，我们按如下三种情况放置闭合导体：导体是一个中心在轴线上的圆环，两侧电阻不同；导体是一个中心在轴线
