立体几何截图和作图ppt课件.pptx

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1、立体几何专题,(1)多面体的截面,多面体的截面在课本P59例3、P63B1处体现。,一、定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点二、作多面体截面1方法(交线法)该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面2作截线与截点的主要根据有：(1)确定平面的条件(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条

2、直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行,三、作图题型,1截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上，且其中有两点在同一个面的棱上,作图题1如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别在AB、BC、DD1上，求作过E、F、G三点的截面,作法：(1)在底面AC内，过E、F作直线EF分别与DA、DC的延长线交于L、M(2)在侧面A1D内，连结LG交AA1于K(3)在侧面D1C内，连结GM交CC1于H(4)连结KE、FH则五边形EFHFK即为所求的截面,作图题2P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和DD1上

3、，试画出过P、Q、R三点的截面,作法：(1)连接QP、QR并延长，分别交CB、CD的延长线于E、F.(2)连接EF交AB于，交AD于S(3)连接RS、TP。则多边形PQRST即为所求截面。,作图题3已知P、Q、R分别是四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求作过这三点的截面。,作法：(1)连接QP并延长交DA延长线于点I。(2)在平面ABCD内连接PI交AB于点M。(3)连接QP、RM。则四边形PQRM即为所求。,作图题4如图，五棱锥PABCDE中，三条侧棱上各有一已知点F、G、H，求作过F、G、H的截面,作法：(1)将侧面PAB、PBC、PDE伸展

4、得到三棱锥PBST(2)在侧面PBS内，连结并延长GF，交PS于K(3)在侧面PBT内，连结并延长GH交PT于L(4)在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N(5)连结FN、MH则五边形FGHMN即为所求的截面,2截面经过的三个已知点至少有一点在多面体的面上，其余点在棱上,作图题5如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F在两条棱上，G在底面A1C1内，求过E、F、G的截面,作法：(1)过E、F作辅助面。在面BC1内，过F作FF1BB1，交B1C1于点F1，则面AFF1A1为所作的辅助面(2)在面AFF1A1内，延长F1A1交FE的延长线于P(3)在面A1B1C1D1内，连接PG交

5、A1B1于M并延长交B1C1于M。(4)连结ME并延长与BA延长线交于Q，连接QF交AD于H(5)连结EH，FN则五边形EHFNM为所求的截面,作图题6已知直四棱柱AC1，P在面D1DCC1内，Q在面A1ADD1内，R在棱BB1上，画出过P、Q、R三点的截面。,作法：(1)过P作PPCD于点P，过Q作Q QAD于Q。(2)在底面ABCD内连接AP、BQ，并交于H。(3)由平行线QQ、RB作平面QQBR，连接QR。(4)在平面QQBR内过H作KH面ABCD交QR于K。(5)由平行线PP、AA1作平面PPAA1，则K必落在面PPAA1内。(6)在面PPAA1内，连接PK，并延长交AA1于M。(7)

6、在面A1ADD1内，连接MQ，并延长交DD1于S。(8)在面D1DCC1内，连接SP，并延长交CC1于T。(9)连接RT、RM。则多边形SMRT即为所求。,3截面经过的三个已知点中，有两个点在同一棱上，第三点在多面体内,作图题7试画出过正三棱柱ABCA1B1C1的底边BC及两底中心连线OO1中点的截面。,作法：(1)过A1A和OO1作平面AOO1A1，交BC于D，交B1C1于D1，则D、D1分别为BC、B1C1的中点。(2)在平面A1AM内，作直线DM交上底面A1B1C1于点G。(3)在平面A1B1C1内，过G作EFB1C1交A1B1于E，交A1C1于F。(4)连接BE，CF。则多边形BCFE

7、为所求。,作图题8在侧棱和高的夹角为的正四棱锥中，求作一个过底面顶点且与这点所对侧棱垂直的截面(45)。,作法：(1)在平面SAC中，作AESC于点E。(2)在底面ABCD内过A作aBD。(3)延长CB、CD分别交a于点M、N。(4)连接EM、EN，分别交SB、SD于点G、H。(5)连接AG、AH。则多边形AGEH即为所求。,4截面经过的三个已知点两两不在同一面内的棱上,作图题9P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB上，试画出过P、Q、R三点的截面,作法：(1)先过R、P两点作辅助平面。过点R作R1RBB1交A1B1于R1，则面CRR1C1为所作的辅助平面。(2)在面CR

8、R1C1内延长R1C1，交RP的延长线于M。(3)在面A1B1C1D1内，连接MQ，交C1D1于点S，延长MQ交B1A1的延长线于点T。(4)连接TR，交AA1于点N，延长TR交B1B于点K，再连接KP交BC于点L。(5)连接RL、PS、QN。则多边形QNRLPS为所求。,注：若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质

9、，可得截面与平面的交线。若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。,立体几何专题,(2) 空间图形的作图,空间图形的作图在课本P51A1、P62A4、 P78A1&2处体现。,一、空间几何作图的规则：1通过不共线的三点作一平面2求两个可作相交平面的交线3在一个可作平面内，支持用直尺和圆规按照平面几何解决一切作图题4任意取一点，在或不在已知直线上，在或不在已知平面上；任意取一直线，通过或不通过一已知点，在或不在已知平面内；任意取一平面，通过或不通过一已知点，通过或不通过一已知直线5求已知球心

10、及半径的球面二、解作图问题的步骤：1分析：假设求作的图形已经作出了研究已知条件和未知条件间有何可以沟通的关系或中间条件，从而发现如何从已知条件通过中间条件的媒介达到未知条件2作法：从分析的结果，写(说)出每一个作图过程3证明：证明所作图形确实满足所设条件4讨论：研究在怎样的条件下，解答存在或不存在，以及当解答存在时解的个数有多少,三、简单作图题,作图题1求作一平面使其满足下列条件之一：1通过一已知直线及其外一已知点；2通过两已知相交直线；3通过两已知平行直线作图题2求已知直线和已知平面的交点作图题3求三已知平面的交点作图题4通过已知直线外一已知点，求作一直线使与该直线平行.,作图题5(P624

11、)给定两条异面直线，求作一平面通过其中一线而平行于另一线,命题：过两异面直线中一个有且只有一平面与另一直线平行。,证明：证明存在性。设直线a、b异面。在a上任选取一点A，过A作bb。相交直线a和b确定一平面，则b。证明唯一性。设点A和直线b确定平面，则b，Ab。假设过a还存在平面b，则必有与相交。设b，则bb，Ab。bb与Ab且Ab相矛盾。故是唯一的。作图题5解答唯一存在。,作法：在直线a 上任取一点A，过直线b与线外一点A作平面M，在平面M内作直线cb，过相交直线a与c作平面N则平面N即为所求,作图题6给定两条异面直线，过其一直线各作一平面使两平面互相平行,命题(P632)：a、b是异面直线

12、，a，a，b，b存在唯一一对、使。,证明：a、b异面，a，b，由作图题5的命题知，这样的面有且只有一个。要确定它，只需在a上任取一点A作直线bb，则a和b就确定了。同理，满足条件的也有且只有一个。要确定它，只需在b上任取一点B作直线aa，则b和a就确定了。综上知、存在且唯一。又aa，bb，a、b，b、a，。作图题6解答唯一存在。,作图题7过给定平面外一点求作一平面，使平行于该平面,命题：过平面外一点，有且只有一个平面与该平面平行。,证明：设A是面外一点。在内任取两相交直线a、b，过A作aa，bb，两相交直线a、b确定面。存在性证明了。假设过A还存在，则a，b。设过A和a的平面为，则与必相交。设

13、a，则aa，aa，这与Aa且Aa矛盾。故是唯一的。唯一性也证明了。作图题7解答唯一存在。,作图题8给定两直线a、b及一点A，求作一平面使通过A并平行于a和b,解：1若a、b异面，且A不在通过其中过一线而平行于另一线的平面内，则问题有唯一解答。2若a、b相交，且A不在a、b所确定的平面内，则问题有唯一解答。3若a、b平行，且A既不在a上又不在b上，则问题不定，即有无穷多个解答。4其它情形下，问题无解。,作法：在a和A确定的平面内过A作aa，在b和A确定的平面内过A作bb。由a和b确定的平面即为所求。,作图题9求作一直线l使与两直线a、b相交，并通过此两直线以外的一已知点M,解：若a、b共面于1当

14、M时，有无穷多个解答2当M且a、b相交时，有唯一解答。3当M且ab时，没有解答。若a、b异面1当M在过a而平行于b的平面内或在过b而平行于a的平面内时，没有解答。2当M既不在过a而平行于b的平面内又不在过b而平行于a的平面内时，有唯一解答。,作图题10给定两条异面直线a和b，求作一直线l使与a、b相交，并与第三直线c平行,解：若c、a相交且确定平面1当b时，无解。2当与b相交时，有一解。解为过b与的交点A作c的平行线。若c、a异面。设过a且平行于c的平面为。1当b时，无解。2当与b相交时，有一解。解为过b与的交点B作c的平行线。综上知，当a、b、c平行于同一平面时，无解；其它情况下，只有一解。

15、,作图题11给定一平面及一斜线，求作在平面上通过斜足作一直线，使与斜线成已知锐角,作图题12通过一定直线求作一平面，使与平面成定角,作图题13给定两条异面直线，求作一直线和它们垂直相交。,解：过b任意一点M作aa，作过b和a的平面。过a作面交于a0，则a0与b必相交(反证法)。设a0bB。在内过B作BAa0交a于A。故直线AB即为所求。,立体几何专题,求空间角的基本方法,1异面直线上两点间的距离公式已知夹角为的两异面直线a、b的公垂线段为AA( Aa，Ab)，E、F分别为a、b上的点，且|AA|d，|AE|m，|AF|n，则_ ,几个常用公式,解：设经过b与a平行的平面为，经过a和AA的平面为

16、，c，则ca因而b、c所成角等于，且AAc又AAb，AA又AA，在内作EGc于G，则EGAA，EG连接FG，则EGFG,注：还可用向量法,应用示例,选A,变式：将题中“正方形沿对角线BD折成直二面角ABDC”改为“正方形沿对角线BD折成60二面角ABDC”，其它不变，又如何？,2三余弦公式已知AO是平面的斜线，为斜足，OB于B，则AB是AO在内的射影设AC是内的任一条直线，且BCAC于C设AO与AB所成角为1，AB与AC所成角为2，AO与AC所成角为 则_ ,coscos1cos2,应用示例,选C,3射影面积公式已知二面角l的面内的平面图形的面积为S，在面内的射影图形的面积为S，二面角l的大小

17、为，则_。,下面以进行说明。,一、基本方法,1直接法：先作出平面角，再求其大小,2间接法(公式法)：,异面直线上两点间的距离公式已知夹角为的两异面直线a、b的公垂线段为AA( Aa，Ab)，E、F分别为a、b上的点，且|AA|d，|AE|m，|AF|n，则_ ,射影面积法已知二面角l的面内的平面图形的面积为S，在面内的射影图形的面积为S，二面角l的大小为，则_。,向量法,求二面角的基本方法,示例如图，在三棱锥ABCD中，AB面BCD，BDCD。(1)求证：面ABD面ACD；(2)若ABBC2BD，求二面角BACD的正切值。,(1)证明：AB面BCD，ABCD。又BDCD，ABBDD，CD面AB

18、D。又CD面ACD，面ABD面ACD。,二面角的平面角作法二：作DEBC于E，DFAC于F，连接EFAB面BCD，面ABC面BCD，DE面ABCDEACAC面EFACEF则DFE是二面角BACD的平面角。,说明：若在讨论二面角大小时，存在与二面角的一个面垂直而与二面角的另一个面相交的平面，常先该平面内作出两垂面交线的垂线，然后构造出二面角的平面角。,射影作法二：作DEBC于E，连接AEAB面BCD，面ABC面BCD，DE面ABCADC在面ABC内的射影为AEC,二、作(找)二面角的平面角的基本方法,1定义法2三垂线法3垂面法4转化法,1定义法,示例1 在60的二面角a的两个面内，分别有A和B两

19、点已知A和B到棱的距离分别为2和4，且线段AB10，试求：(1)直线AB与棱a所构成的角的正弦值；(2)直线AB与平面所构成的角的正弦值,解析：在平面内作ADa；在平面内作BEa，CD EB，连结BC、AC则BC DE，CDa，ABC是AB与a所成角，则由二面角的平面角的定义，可知ADC为二面角a的平面角，即ADC60,示例2如图，四棱锥ABCED中，DB和EC与面ABC垂直，ABC为正三角形(1)若BCECBD时，求面ADE与面ABC的夹角；(2)若BCEC2BD时，求面ADE 与面ABC的夹角,分析：如图，面ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面ADE与面ABC与面DC相交如果三个平面两两

20、相交，它们可能有三种情况：(1)交线为一点；(2)一条交线；(3)三条交线互相平行在图1中，两条交线BC与DE互相平行，所以肯定有过A且平行于DE的一条交线如图2，DE与BC不平行且相交根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点,解：CE面ABC，BD面ABC，CEBD。(1)CEBD，BC DE。过A作AMDE，平面ADE与平面ABC的交线即为AM过A作ANDE于N，过A作AFBC于FANAM，AFAM，则NAF为面ADE与面ABC的夹角的平面角,(2)EC2BD，延长ED、CB相交于G点，连结AGAG即为平面ADE与平面ABC的交线，点B为GC的中点。在AGC中，ABAC

21、BCBG，ACAG。又CE面ABC，CEAC，CEAG，即证CAE为平面ADE与平面ABC的夹角的平面角,在RtANF中，ACCE，CAE45。,示例3如图，空间四边形ABCD中，ABAD3，BCCD4，BD2，AC5试求ABDC二面角的余弦值,说明：利用正和等腰中的三线合一找垂直关系。,示例4.如图，已知空间四边形ABCD，ABBC6， ADCD4，BD8，AC5试求ABDC的余弦值,说明：利用全等找垂直关系。,2三垂线法作(找)出二面角的平面角,示例1如图，在平面内有一条直线AC与平面成30，AC与棱BD成45，求平面与平面的二面角的大小,解：过A作AFBD于F，AE平面于E，连结CE、E

22、F，则ACE是AC与所成角，AEBD，BD面AEF，BDEF，则AFE为二面角的平面角,说明：(1)如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角(2)在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”,示例2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱AD的中点，求平面B1C1CB和平面BC1M所构成的锐二面角的正切,解析：平面AC与二面角MBC1C的一个面B1C垂直，与另一个平面 MBC1相交，过M点作MPBC于P，面AC面B1C，MP面B1C，MPBC

23、1，过P作PNBC1于N，连结MN，BC1面MNP，MNBC1，则MNP为二面角MBC1C 的平面角,说明：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角,3垂面法作(找)出二面角的平面角：作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角。,示例如图，已知P为CD内的一点，PA于A点，PB于B点，如果APBn，试求二面角CD的平面角大小,解：设过PA、PB的平面与CD交于点E，连接EA、EB，又PAPACD，PBPACD，CD平面PAB，CD

24、EA，CDEB，AEB为 CD的平面角，在四边形PAEB中，AEB180n二面角CD的平面角大小180n,4平移平面转化法：根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角,示例如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1的中点，H为CC1上的点，且CHC1H12设正方体的棱长为a，求平面D1EH与底面A1B1C1D1 构成的锐二面角的正切,解析：取D1D中点M，连接EM，则EMA1D1，在面D1C中，过M点作MNDD1交 D1H于N，则MNC1D1连接EN，可证平面EMN平面A1B1C1D1这

25、样，求平面D1EH与平面 A1B1C1D1的二面角的平面角就转化为求平面D1EH与平面EMN的二面角的平面角,过点M作MFEN于F，连结D1F。D1M面EMN，D1MEN，EN面D1MF，D1FEN则D1FM为寻找的二面角的平面角,法二：EA1面A1C1，HC1面A1C1，D1EH在面A1C1内的射影为D1A1C1。,解：过棱AC上一点A作棱AC的垂面，交CP的延长线于H，交CB的延长线于K，则HAK就是二面角的平面角或描述成：在平面ACP上作AHAC交CP的延长线于H，在平面BCP上作HKCH交CB的延长线于K，连结AK，则HAK就是二面角的平面角由AC面AHK知，ACAK，ACHK在面ACH上作ADCH，由面ACP面BCP知，AD面CHK，ADHK故HK面ACH，HKCH，HKAH,