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1、3.2.1立体几何中的向量方法方向向量与法向量,1,ppt课件,A,P,直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量,一、方向向量与法向量,2,ppt课件,2、平面的法向量,l,平面 的向量式方程,换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量,3,ppt课件,例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),4,ppt课件,5,ppt课件,6,ppt课件,练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面A
2、BCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.,A,B,C,D,P,E,解：如图所示建立空间直角坐标系.,设平面EDB的法向量为,7,ppt课件,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.,用向量方法解决几何问题,8,ppt课件,二、立体几何中的向量方法平行关系,9,ppt课件,m,l,一.平行关系：,10,ppt课件,11,ppt课件,12,ppt课件,例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,已知 直线l与m相交,13,p
3、pt课件,例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证：如图所示,建立空间直角坐标系.,/,AE与FG不共线,几何法呢？,14,ppt课件,例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1 立体几何法,15,ppt课件,A,B,C,D,P,E,解2：如图所示建立空间
4、直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG,16,ppt课件,A,B,C,D,P,E,解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,设平面EDB的法向量为,17,ppt课件,A,B,C,D,P,E,解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,解得 x,18,ppt课件,几何法呢？,19,ppt课件,三、立体几何中的向量方法垂直关系,20,ppt课件,二、垂直关系：,l,m,21,ppt课件,l,A,B,C,22,ppt课件,23,ppt课件,例1 四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD
5、的中点分别是M、N,求证MNAB,MNCD.,证1 立几法,24,ppt课件,例1 四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB,MNCD.,证2,MNAB,同理 MNCD.,25,ppt课件,例1 四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB,MNCD.,证3 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.,x,y,Z,x,y,26,ppt课件,练习 棱长为a 的正方体 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：,Z,x,y,解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.,27,ppt课件,A,B,C,D,P,E,F,证1
6、：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.,28,ppt课件,A,B,C,D,P,E,F,证2：,29,ppt课件,证明：设正方体棱长为1，为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，,所以,30,ppt课件,证明2：,31,ppt课件,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,证明：,E,求证：平面EBD,设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,平面C1BD.,平面EBD,32,ppt课件,证明2：,E,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,求证：平面EBD,33,
7、ppt课件,A,B,C,D,P,G,34,ppt课件,3.2.4立体几何中的向量方法夹角问题,35,ppt课件,夹角问题：,l,m,l,m,36,ppt课件,夹角问题：,l,l,37,ppt课件,夹角问题：,38,ppt课件,夹角问题：,39,ppt课件,解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以 与 所成角的余弦值为,40,ppt课件,解2,41,ppt课件,练习 空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB与CD成600角，求AD与BC所成的角大小.,42,ppt课件,例：,的棱长为 1.,解1 建立直角坐标系.,43,ppt课件,例：,的棱长为
8、 1.,解2,44,ppt课件,例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,45,ppt课件,A,B,C,D,P,E,F,(3)解 建立空间直角坐标系，设DC=1.,46,ppt课件,47,ppt课件,例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,平面PBC的一个法向量为,解2 如图所示建立空间直
9、角坐标系，设DC=1.,平面PBD的一个法向量为,G,48,ppt课件,例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,解3 设DC=1.,49,ppt课件,练习,的棱长为 1.,解1 建立直角坐标系.,平面PBD1的一个法向量为,平面CBD1的一个法向量为,50,ppt课件,的棱长为 1.,解2,51,ppt课件,3.2.4立体几何中的向量方法距离问题,52,ppt课件,距离问题：,(1)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则,53,
10、ppt课件,距离问题：,(2)点P与直线l的距离为d,则,54,ppt课件,距离问题：,(3)点P与平面的距离为d,则,d,55,ppt课件,距离问题：,(4)平面与的距离为d,则,56,ppt课件,例1 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,解：如图1，,所以,答:这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 倍。,57,ppt课件,例1 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长
11、与棱长有什么关系？,解2：如图1，,58,ppt课件,练习.(P107.2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB4,AC6，BD8，求CD的长.,解1,59,ppt课件,练习.(P107.2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB4,AC6，BD8，求CD的长.,解2,60,ppt课件,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.,点E到直线A1B的距离为,61,ppt课件,例 如图，在正方体ABC
12、D-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.,解2,62,ppt课件,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.,63,ppt课件,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.,等体积法,解2,64,ppt课件,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.,解1:D1C面A1BE D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离.,仿上例求得D1C到 面A1BE的距离为,65
13、,ppt课件,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.,等体积法,解2,66,ppt课件,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,解1:面D1CB1面A1BD D1到面A1BD的距离即 为面D1CB1到面A1BD的距离,67,ppt课件,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,等体积法,解2,68,ppt课件,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,解3,69,ppt课
14、件,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离.,70,ppt课件,作 业P111 2 P112 5,A1,E,71,ppt课件,作 业,1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离.,72,ppt课件,例 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，PF=FG=GC.求证：面AEF/面BDG.,A,B,C,D,P,G,F,E,作业,73,ppt课件,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点求证:BC1面AB1D.,选做题,74,ppt课件,练习,设 分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,75,ppt课件,
