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1、第一篇 数学建模方法论基础 第二讲 建立数学模型,建立数学模型,1. 什么是数学模型2. 研究数学模型的意义3. 数学建模示例4. 数学建模的方法和步骤5. 数学模型的特点和分类6. 数学建模的能力及其培养,（2）模型: 模型是为了一定目的，对客观事物 的某一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来 的原型的替代物.,模型的特点集中反映了原型中人们需要的那一部分特征,构造模型具有目的性.,1. 什么是数学模型,（1）原型：,人们在社会活动和生产实践中所关心和研究的实际对象称为原型.在科技领域中常常用系统和过程等术语., 物理模型, 直观模型, 符号模型,玩具、照片、飞机、火箭模型 ,水箱中的舰艇、风洞
2、中的飞机 ,地图、电路图、分子结构图 ,我们常见的模型举例：,模型的作用在于加深人们对原型的认识，进而改造原型。,模型的分类可以按代替原形的不同方式来进行 ：,物质模型（形象模型）,理想模型（抽象模型）,直观模型、物理模型,思维模型、符号模型数学模型,（3）数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling), 数学模型：,万有引力定律,牛顿第二定律,两个传统、经典的数学模型,对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数
3、学模型的解答,建立数学模型的主要过程,求解(演绎),表述(归纳),解释,检验,现, 数学建模：,建立数学模型的全过程（ 包括表述、求解、解释、检验经过四个阶段，完成一个循环）,2. 研究数学模型的意义,数学模型是用数学解决实际问题的桥梁。一般地说，当实际问题需要我们对所研究的实际对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用,而这种应用就是靠建立数学模型来实现的。数学模型作用： 解释说明事物发生甚至发展变化的原因 判断判断原来知识、认识的可靠性； 预见预测未来客观事物的发 ，为人们的行为提供指导。,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,
4、数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一，越来越受到人们的重视。数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。,数学模型在其它科学中的应用；,传统领域：物理、力学,新兴领域：化学、生物、医学、经济、社会科学 、 军事等。,下面从几个侧面进一步说明数学模型的应用：,数学模型和数学技术 ：,在国民经济中的数学模型：, 产品的设计与制造 系统的控制与优化 质量控制 资源环境 预报与决策 其它：气象预报等,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具数学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术。高技术本质上是一种数学技术。,3. 数学建模示例,示例1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析：,模型假设：,通常 三只
5、脚着地,放稳 四只脚着地。,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线 呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,建立模型：,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少
6、一个为0,数学问题：,已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因为f() g()=0, 所以f(0)
7、= g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(), g()的确定,三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约， 在河的任一岸， 一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是乘船渡河的方案由商人决定。,示例2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏)：,商人们怎样才能安全过河?, 3名商人 3名随从,问题分析：,这是一个多步决策过程,决策： 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的商人及随从数.,要求： 在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,建立模型,xk第k次渡河前此岸的商人数,
8、yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk)过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0、1、2、3; x=y=1、2,S允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=1, 2允许决策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机（
9、留作练习）,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ，d11给出安全渡河方案,允许状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,评注：,规格化方法,可以用计算机求解，易于推广。适当的设置状态和决策，并确定状态转移律，是有效解决很广泛的一类问题的建模方法。,考虑4名商人各带一随从的情况。,模型解释：,思考练习题：,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,问题：研究人口变化规律，较准确地预报人口的增长,预测人口结构的变化,制定合理的控制策略?,示例3 如何
10、预报人口的增长,问题分析： 人口数量虽然是离散的，但当考虑一个国家或一个地区的数量很大时，由于突然增加或减少的数量只是少数的个体，与全体数量相比这种变化是微小的。所以，我们可以近似地作出如下假设：基本假设： （1）、人群数量是随时间连续变化； ( 2）、出生率和死亡率用对总数而言的平 均出生率和死亡率来代替； （3）、不考虑其它随机因素对人口数量影响。 这样就可以建立确定性连续模型。,常用的计算公式简单算术方法,设今年人口 ，年增长率为 r，则,k年后人口为,显然，这个公式的基本前提是年增长率r保持不变，这个条件在什么情况下才成立？如果不成立又该怎么办？历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题
11、。下面介绍两个著名的人口模型。,1、指数增长模型马尔萨斯模型 (1798),x(t) 时刻t的人口,则,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,即单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比.,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,求解得,当 时，将t以年为单位离散化得,即,令 得,（Thomas Robert Multhus 17661834）,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据表明:,算术方法给出的预
12、报公式不过是指数增长模型离散形式的近似表示.,下面表格列出了美国19世纪、20世纪人口统计数据与这个模型的比较结果。美国的实际人口与按数学模型计算的人口比较,1.44.26.29.410.310.823.830.542.461.282.1115.3,7.310.013.718.725.635.047.865.589.6122.5167.6229.3,综上所述，可以看出为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。为此有下面的模型：,2、阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增
13、长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,建立模型,初始条件为,模型求解,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r、 xm.,可以利用人口统计数据拟合出人口增长 率的线性函数后，用最小二乘法求出。,例：美国人口数据（单位百万）,模型检验,可以拟合算出,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型的用途很广，在生物数
14、学中、经济等领域中(如耐用消费品的售量)都有广泛的应用,1随科技进步，社会发展，人们认识能力的改变对模型中参数 及 均会产生重要影响。 2用该模型作人口预测，对不同社会发展时期，参数 及 也应有所调整，一般来说不易准确得到，这也是该模型的缺点之一。 3该模型在1837年之后的许多领域中有广泛应用。用在人口预测中由于仅考虑人口总数和总的增长率，不涉及年龄结构，也是上面两种模型的共同缺陷。,实际上，在人口预测中人口按年龄分布状况是十分重要的。因为不同年龄的人的生育率和死亡率有着很大差别。若考虑人口按年龄分布的模型，除了时间变量外，年龄是另一个自变量，可建立用偏微分方程描述的模型人口发展方程，其特点
15、便于理论分析，为预测人口结构变化，制定合理控制策略提供依据。,评注：,复利计算问题： 某顾客向银行存入本金 元， 年后他在银行的存款额是本金与利息之和，其中银行规定年利率 。 1）：若银行按年结算，该顾客 年后的最终存款额是多少？ 2）若银行连续不断地向顾客付息，即连续复利方法存款，试计算这种情况下该顾客 年后的最终存款额是多少？ 3）求按连续复利结算方式， 年后的存款额 满足的微分方程，并对此微分方程作出实际解释。,3、人口发展方程偏微分方程模型,（略） 参见数学建模导论,应用：制定我国人口控制政策和措施。,练习思考题,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反
16、映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析法。,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数,4 数学建模的方法与步骤,仿真方法,在计算机上 模仿实际系统的运行过程,数学建模的一般步骤,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个比较清晰的问题,模型准备 (形成问题)：,模型假设：,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,注意:在合理与简化之间作出折中,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,
17、尽量采用简单的数学工具,模型建立：,模型的检验、分析与评价：,如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析,与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性,模型的求解：,用各种数学方法、软件和计算机技术对建立的数学结构进行推导和分析,得到定量或定性的关系.,模型的改进：,现实对象,形成问题,模型应用,模型建立,分析与评价,模型求解,模型检验、,模型假设,模型应用,建立数学模型的主要步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答
18、,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,5.数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性, 数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域：,人口、交通、经济、生态 ,数学方法：,初等数学、微分方程、规划、统计 ,表现特性：,描述、优化、预报、决策 ,建模目的：,了解程度：,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,6. 数学建模的能力及其培养,数学建模的能力,数学建模能力的培养,数学建模与其说是一门技术，不如说是一
19、门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，参加课题实践。,练习思考题,为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外还常常需要从反面或侧面思考，试尽可能快地回答下面的问题： （ 1）、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店，某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，这可能吗？为什么？ （2）、甲乙两站之间有电车相通，每隔10min甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻内到达丙站，并搭乘最先经过丙站的
20、哪趟车，结果发现天中约有天到达甲站，仅约天到达乙站问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？,（）、某人家住市在它乡工作，每天下班后乘火车于时抵达市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭乘早一斑火车于时半抵市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了min，问他步行了多长时间？（）、一男孩和一女孩分别在离家km和km且方向相反的两所学校上学，每天放学后分别以km/h和km/h的速度步行回家，一小狗以每小时km/h的速度由男孩处奔向女孩子，又从女孩子处奔向男孩子处，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路？ 如果男孩子和女孩子上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？,
