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1、第一章 绪论,1.1 数学与数学的应用1.2 数学建模1.3 创造性思维方法1.4 数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 数学建模示例,1.1 数学与数学的应用,近半个世纪以来，数学的形象发生了很大的变化，数学不在仅仅是数学家和少数物理学家、天文学家、力学家等少数人手中的神秘武器，它渐渐为越来越多的人们所了解和关注。,21世纪以高科技为核心的的知识经济占主导地位，社会的信息化、数字化、及计算机的应用也就日益广泛。,信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争 钱学森 在经济竞争中数学科学是必不可少的，数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术 钱学森 现代数学在理论上更抽象，在方
2、法上更综合，在应用上更广泛，新的数学分支层出不穷，相互交叉，相互渗透。,学习数学很重要的一个方面在于数学知识和数学方法的应用，数学可以为组织和构造知识提供方法，用于技术时就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的、可以传播的知识。,1.2 数学建模,是指所研究客观事物有关属性的模拟，它具有事物中我们感兴趣的主要性质。,模型,数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验
3、等）,数学模型,数学建模,数学建模的重要意义,数学建模的创新作用,数学建模的综合作用,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。,数学模型的桥梁地位,数学模型(E.A.Bendar 定义)： 关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。,重要的科学思维方式之一是创新思维，创新思维是创新能力的核心与灵魂。,1.3 创造性思维方法,现实世界,数学世界,建立数学模型,推理演绎求解,翻译为实际解答,实际解答：如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。,始于现实世界并终于现实世界,数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，,* 数学建模没有普遍适用的方法与技巧.,*
4、有一些普遍适用的思想方法与思维方式.,整个数学建模过程由若干个有明显差别的阶段性工作组成,怎样构架这座桥梁？,求解数学模型,实际问题分析,建立数学模型,提交论文与报告,模型与模型解的分析及检验,数学建模的各阶段工作,此流程 具有指导意义 ，应注意,* 流程应用是弹性的，切不能生搬硬套.,本章基本上按照此流程来介绍数学建模的方法。,* 建模过程往往是一个反复循环的过程.,数学建模过程是一种创新过程，在思考方法和思维方式上与学习其他课程有很大差别。,数学创新思维,.等等.,类比思维,归纳思维,逆向思维,发散思维,猜测思维,掌握几类方法：问题解决法、思想表达法、创造发明法.,方法的共同特点： 不轻易
5、否定别人的意见， 怀疑一般常识， 努力发现别人尚未察觉的事物等,以下介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法,对于创造能力的培养不可或缺,一、打开思路的方法,面对新问题，应尽量打开自己的思路：,发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分,1. 不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论.,2. 尽量多一些想法，多一些猜测。,思考、思考、再思考.,帮助展开思路的方法：,关键词联想法,提问题法,1.提问题法,面临难题, 束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案.,如：,(l) 这个问题和什么问题相类似？,(2) 假如变动问题的某些条件将会怎样？,借助于一系列问题来展开思路.,(
6、4) 重新组合又会怎样？,(3) 将问题分解成若干部分再考虑会怎样？,为进一步打开思路可提以下问题：,(5) 我们还可以做什么工作？,(6)有无需要进一步完善的内容？,(7) 可否换一种数学工具来解决此问题？,针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开。,例1 穿越公路问题,一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲”过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”,让行人可穿越公路,并且还要保证行人的平均等待时间不超过15秒.,增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？,1. 考虑问题的立场, 司机或行人的
7、哪方面的 利益更为重要？,公路情况: 是否有弯道？车道间是否设 有安全隔离带？,3. 车流情况：车流的密度大小？,4. 行人情况: 穿越公路的速度大小？穿越公 路的人群密度？穿越公路者的性质？,一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等.他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商家便于安排进货.,例2 电饭煲销售问题,怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产.,想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似？,分析 Logistic人口模型，t 时刻的人口数为,t0,改写为,数学分析,1
8、. 若 r0，则S0，随着 ,则,2. 若 r0，讨论Logistic曲线特征,N(t) 是单调上升函数.,K是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，可理解为该地区能容纳的人口上限.,人口不会无限增长，存在一个转折时间点t0 ，过此点以后增长速度会减缓。,(1) 一般每户只需用12只电饭煲就足够,一个地区的需求量是有限的；,电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可利用类比方法建立模型.,Logistic模型特点：初期高速增长，过一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.,对原问题的分析：,(2) 初期在广告之类推销作用下销售速度较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓.,记x(t)为t 时刻已售
9、出的电饭煲总数,市场的饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模型,来描述电饭煲的销售速度变化情况.,实际情况与Logistic销售曲线十分吻合,思考 请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述？,现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人员伤亡和财产损失. 大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行疏散撤离.,例3 “9.11”事件的反思,一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散人员的演习.,问题分析 演习之前需要考虑许多方面,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设
10、计、撤离的步骤等等，这是一个较庞大的系统工程,应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如,* 一个房间内人员的撤离；,* 一个通道的撤离；,* 一层楼人员的撤离；,最后，将各个子问题重新组合起来.,2.关键词联想法,主要步骤如下：,(1) 抓住问题或方案的关键词,不受任何约束地进行联想；,(2) 把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步想出新的主意；,(3) 再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题的初步思路与步骤.,一种有效的发散思维方式.,在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数
11、据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应,例4 飞行管理问题,请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度).要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.记录数据为： 试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.,计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：,* 对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.,* 抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语.,* 联系解决问题的
12、方案,不加约束继续联想，再将关键词搭配起来.,问题的初步理解和想法:,飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性.,思考题：尝试读题与分析,MCM1999A题：强烈的碰撞,美国国家航空和航天局(NASA)从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。,假如小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA
13、希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产区域造成的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。,强烈的碰撞读题分析,相关因素：,小行星形状、成分与密度,撞击角度、速度、位置（运行轨迹）,太阳、地球、月亮轨道,能量来源,引力、动能,南极冰盖的成分（深度、密度、温度）,冰融的估算,以及冰盖下的成分,大气环流,粉尘的传送,温室效应,相关理论：,Newton引力模型,轨迹,碰撞的动力学,冰的热力学（冰融、汽化）、热传导,生态系统（磷虾.krill）,水温,后期工作：,预测与预警,二、整体把握问题的方法,有两种把握住问题
14、的全貌的有效方法：,(1) 层次结构法,(2) 问题分解法,问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法.,将问题分解为“三要素”的三个部分.,问题分解三要素,初态,目标态,过程,觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等).,觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等).,能在“初态”和“目标态”之间发生作用的行动(能做什么).,例5 常见数学题目模式,已知,求（证）,解题,初态,目标态,过程,教师的主要教学目标,* 解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难.,* 未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态”之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不清、目标不明.,尽量拓展思路的基础
15、上, 再进行充分分析得到的问题分解结果：,例6飞行管理问题,初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件,过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法.,目标态：实时调整，避免碰撞。,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数,1.4 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,实际问题分析,建立数学模型,求解数学
16、模型,模型及模型解的分析与检验,提交论文或报告,一、问题分析,问题的前期分析 包括：明确问题、分析条件、分析数据等。,为什么问题前期分析至关重要？,数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:,* 提出问题的人未能清楚地表述问题 .,* 不同领域的人交流出现故障.,*各领域的应用者提出问题时,未给出恰当的条件.,对问题进行充分的前期分析以前,过早着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱,或者偏离解决问题的方向.,一. 明确问题,例3.3.1 一家大商业印刷公司的经理就关于应 该雇多少推销员的问题征询你的意见.,“究竟需要做什么？”,遇到一个新问题时,首先应问自己,* 未能准确理解问题.,着眼点是对
17、各类推销队伍的工作效果进行分析。,原问题“推销员人数问题” 明确为：,(1) 不同规模的销售队伍会有什么影响；,(2) 怎样从他们的销售工作中获取最大的收益.,明确了工作的目标, 即设置好问题的目标态.,为明确问题 ,可向有关人员询问如下问题：,1. 公司的规模有多大？,2. 该公司的推销员的工作方式？,推销员人数,获取较大的投入产出比。,顾客,地域,分析确定出各有关因素,画出问题的层次结构图,顾客容量,市场份额,现有,定货量,潜在,转移 概率,转变 概率,现有,潜在,二. 条件及数据分析,设置好问题的目标态, 着手工作还需要做以下工作：,1. 收集必要的资料和数据。,2. 分析现有的数据和条
18、件,使问题进一步 明确化.,我国淡水资源有限.节约用水人人有责,洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣,例3.3.2 节水洗衣机问题,机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水加水漂洗脱水(称“加水漂洗脱水”为运行一轮).请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少.选用合理的数据进行运算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果出评价.,*衣服的洗净效果指标(包括污物和残留洗涤剂)；,*不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量C；,* 洗衣机的最高水位H、最低水位L
19、；,* 各类污物(泥土、油腻等)和洗涤剂在水中的溶解特性。,怎样收集数据和资料？,分析：题目中没有一个数据,但问题却需要比 较多的数据及条件,如,可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、通过试验来得到。,收集数据应列入工作计划，并注意：,1. 向有关人员调查情况应事先设计好问题；,2. 事先确定所需资料清单、资料来源、收集方式。,有条理的收集计划可以为后期的工作创造良好的条件,条件和数据分析,必要性：对方所给的数据和条件并不是恰到好处的,方式：实验、公共资料和相应的企业名录,数据处理：明确数据和数据所提供的信息，确定数据来源是否可靠，条件的意义，那些条件是本质的，那些条件是可变动的。,二、建立数
20、学模型,处于不同的目的建立的数学模型可能会有很大的差异。所以建立一个好的数学模型必须弄清建模目的是什么？既要解决什么问题？我们的目的可能是为了描述或解释现实世界的现象；预报我们感兴趣的事件是否会发生，或发展趋势如何；优化管理或者决策控制。围绕建模目的，简述建模过程的几点：,1）模型的整体设计,2）合理的假设,3）建立现实问题的数学表达式,1）模型的整体设计,一个完整的 数学模型应该同时描述出有关因素间的数量关系和结构关系,例：考虑一个简化的城镇供水系统，水是由水库经由管道流入水箱，在由水箱向各用户供水。问题是怎样才能有效地保证各用户的正常用水。,降雨,蒸发,渗透,供水系统,为了保障用户正常用水
21、？,现成的供水系统：水箱内总有水，调节水箱的进水量,系统正在设计中：水箱的大小和管道的最大流量,为了能够有效的处理更一般的问题，采用参数化的方法。参量：对同一套系统不便，不同的系统发生改变的量；常量：对所有系统都不发生改变的量；变量：确定的系统中可以发生改变的量。,各个实体之间的作用关系,水库与管道：水库的水深,管道与水箱：管道的水流量,水箱与用户：出水口的水流量,用户：总需水量,参数说明：,现在用数学语言描述所要解决的问题：,现在考虑对G（t）的描述。站在不同的角度可以给出不同的描述。比如可以要求操作时间最短，操作次数最少，流量尽可能的平稳等。前两种指标站在操作人员的角度来考虑问题，而后一种
22、指标是为了减少开、关对系统的冲击损坏。如果是设计新的供水系统，还需要考虑建造费用、占地面积等方面对方案进行评价。,建立模型的整体结构总结：,另外需要注意的是：对于建模过程中所遇到的各种数量，从建模的角度对这些量进行区分，有助于我们掌握各个量在模型中的地位和作用。,1）找出与问题有关的各个实体,2）列出与每个实体有关的因素（或属性）,3）对照模型目的描述出各实体之间的关系，略去影响不大的实体,4）将实体之间的关系用数学语言表述出来,5）对于满足条件的解如果有多个，则需要用不同的评价标准,2）作出合理的假设,对于上一个例子，为了简化问题我们忽略了水库及其相关因素，,而以一条假设“水库能保证管道所需
23、水量”来代替它们。,还有以下假设：1）管道的供水量G(t)可人工调节；2）用户的用水量有规律可寻；3）系统能满足用户的需求。,作出合理假设的必要性：,定义：根据对象的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要的因素，作出必要合理的简化。,作出合理假设的必要性：,模型的成功与否在很大程度上取决于假设是否恰当。假设做的不合理或过分简单，会导致模型失败或部分失败；假设做的过于详细，试图把复杂对象的各个方面因素都考虑进去，可能会使工作无法继续进行下去，也可能以为工程过于庞大而失去了建立数学模型解决实际问题的意义。,对于一个实际问题可以考虑从如下的方面入手,1）关于是否包含某些因素的假设；2）关于条件相
24、对强弱及各因素影响相对大小的假设；3）关于变量间相对关系的假设；4）关于模型的适用范围的假设。,建立现实问题的数学表达式,建立变量间的数学关系是建立数学模型的一项关键性工作,例：突然下了20min的雨，收集到1/2in（1cm=0.3937in）的雨量，现在我们要建立一个函数R(t),用来描述雨量随时间变化的规律。,（1）雨连续稳定的下落。,雨下降的过程中保持恒定的速度，即：,（2）降雨开始较慢，中间逐渐加快，达到最大速度后又减小,1）降雨速度先线性增长后又线性减小：,2）考虑另一个模型：,该模型中用两个代定参数来描述降雨情况，并且在t=a/b处达到最大值,注意：用语言描述数学现象往往是不明确
25、的,一类比较常见的增长模型：,用这些典型的函数或其他简单的函数可以组合成丰富多彩，满足我们要求的函数形式，但是要用这些函数解决具体的实际问题，还必须给出个参数的值。实际，许多参数值经常对应实际问题的不同特征。,三、求解数学模型,当我们建立一个数学模型后，往往招手求解数学模型是一个重要而又困难的工作，因为它不同于求解纯数学问题：,1）不同数学模型求解一般涉及不同的数学分支的专门知识,2）现实世界中的许多问题，仅靠部分 数学知识或单一的学科知识都是没有办法解决的。,解决方法：,1）尽可能的利用自己熟悉的数学分支的知识，具备学习新知识的能力。,2）借助计算机求出问题的解析解。现代计算机科学的飞速发展
26、为我们提供了强有力的工具（数学计算的软件包）,经验：一个数学模型通常包含许多的变量，如果一些变量对最终结果的影响会大于其他变量的影响，所以在达到要求精度的前提下，没有必要引入更多的变量。,对于模型求解的一般要求：,1）一般情况下，对于比较简单的数学模型应力求使解的范围应尽可能的广，从而是模型具有更大的普遍性。,2）对于比较复杂的问题应考虑用任何特殊的方法把它解出来，然后在考虑模型的推广。,四、模型解的分析和检验,必要性：在于数学建模工作应使于现实世界，终于现实世界，最终要得到现实问题的解答。因此，求出模型的数学解以后，必须对解的意义进行分析、讨论，即这个解说明了什么问题？是否达到了建模的目的？
27、模型的适用范围怎样？,思考题：格列佛游记中，格列佛作客小人国。小人国的人们发现格列佛的身高是他们的12倍，他们由身体的相似性断定：格列佛的身体的体积是小人的12的立方倍，即1728倍，所以他的食量也是小人们的1728倍。该断言是否合理，根据实际经验给予回答。,五、提交论文,1.4 数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态 ,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计 ,表现特性,描述、优化、预报、决策 ,建模目的,了解程度,白箱
28、,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,数学模型与数学,研究内容：数学：对象的共性和一般规律 数学模型：对象的个性和特殊规律研究方法：数学：演绎推理 数学模型：归纳加演绎研究结果：数学：结果一旦证明就是正确的 数学模型：结果接受实际检验,1.5 怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,建模练习,人文科学模型：,这是一名律师为其当事人辩护需要而建立的数学模型。他的当事人被控嫌疑谋杀，人们怀疑他曾为了逃避追捕从一个
29、很高的窗户上跳下来。辩护律师力图申辩的是：人的腿是虚弱的，如果他从那扇窗户上跳下来，就可能受伤。,问题分析：,建立数学模型是为了估计他着地时的速度，从而判断他能否当即站起来并逃跑。,问题表述：,如果一个人从30ft的高度下落，他触地时的速度是多少？,针对人体下落的情况对一些问题作出判断,（1）人体的下落是自由下落，还是需要考虑空气的阻力；（2）身体的尺寸对下落有影响么？（3）如果空气阻力是重要的因素，在我们的模型中应该如何对其进行评述。,建立数学模型,下面对模型中的空气阻力进行分析找到合理的数学语言进行描述,经验： 在人们的运动体验中，不论是跑步、骑车、还是走路普遍都感觉到空气阻力的影响，凭借
30、直觉阻力不依赖与距离、时间，但却依赖于速度，,经验： （1）对于小而坚实的物体，比如一块小石头，空气阻力直接和速度成正比；（2）对与一些较为庞大的物体，如人体，空气阻力一般和速度的平方成正比。,该模型中的k可以通过力学中的“极限速度”的概念加以解决，即人体在介质中的下落的极限速度为120mile/h,距离速度关系图表,人从高处安全落地速度相当于该人从12ft高的地方往下跳，从表中查到其触地的速度为19ft/h。,那么对于上述我们得到的结果：如果你从30ft的高处下跳，你撞击地面的速度大约是30mile/h，相当于一辆汽车以每小时30mile 的时速撞击你，无疑你极有可能会受伤。,因此，辩护律师称自己的当事人从30ft的高处下跳，他触地的速度是安全触地速度的1.5倍。坠地时必然会受伤，不可能逃避追捕,思考：辩护律师辩护的合情合理，但是当事人真的无罪么？,谢谢,
