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1、第二章 机械系统设计,2.1 机械系统数学模型建立,拉氏变换的主要运算定理,2、比例定理,3、微分定理,1、线性定理,预备知识,4、积分定理,5、位移定理,预备知识,方框图及其运算,预备知识,2.1机械系统数学模型的建立,“系统”由一些元件或零部件按照一定方式相互连接成的集合体。机电一体化系统中，机械系统和电系统连接往往通过传感器或换能器，将被测物理量（位移、速度、加速度、声波、液压等）转化为变化的电流和电压，系统在给定条件下（如一定的信号形式）完成某种功能。,2.1机械系统数学模型的建立,机械系统,机械转动系统,机械移动系统,2.1机械系统数学模型的建立,质 量,弹 簧,阻 尼,机械移动系统
2、,表示摩擦或衰减效应,表示系统刚性,表示系统惯性,不一定需要真正的弹簧、阻尼器和质量块，只要具有刚性、阻力及惯性这些性能，在输入力作用下，系统能产生一定相应输出，如位移输出。,1.机械移动系统,2.1机械系统数学模型的建立,图2.1 机械平移系统基本元件(a)质量；(b)弹簧；(c)阻尼,(a)质量； (b)弹簧； (c)阻尼,k,c,2.1机械系统数学模型的建立,有三种阻止运动的力：惯性力、弹簧力和阻尼力。,（2）弹簧力：对于线性弹簧来说，弹簧被拉伸或压缩时，弹簧的变形量与所受的力成正比，数学模型为,（1）惯性力：根据牛顿第二定律，惯性力等于质量乘以加速度，数学模型为,（3）阻尼力：当力较大
3、质量块获得较大速度时，不能忽略空气阻尼力的影响。在粘性摩擦系统中，阻尼力与速度v成正比，数学模型为,2.1机械系统数学模型的建立,2.1机械系统数学模型的建立,2.机械旋转系统三个相应的基本元件：转动惯量、扭簧和黏滞阻尼器。对应于这三个基本元件的三种阻止运动的力为外力矩M(t)、阻力矩Mc(t)和扭簧力矩Mk(t),图2.2 机械旋转系统基本元件(a)转动惯量；(b)阻尼；(c)扭簧,2.1机械系统数学模型的建立,（2）阻尼力矩Mc(t)；c为黏滞阻尼系数，1(t)和2(t)分别为输入与输出旋转角度。,（1）外力矩M(t)，也称扭矩；(t)为旋转角度；J为转动惯量；为角加速度。,（3）扭簧力矩
4、Mk；k为扭簧刚度。,2.1机械系统数学模型的建立,2.1机械系统数学模型的建立,3.机械系统建模,例2.1 如图所示的机械振动系统。在外力F的作用下，根据牛顿第二定律，系统微分方程可以写成为,2.1机械系统数学模型的建立,例2.2 设弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统如图所示，列出以F为输入，以质量的位移y为输出的运动方程式。,根据牛顿第二定律可得:,则系统的方程为:,上式经整理，可得系统的微分方程为:,传递函数:,2.1机械系统数学模型的建立,2.1机械系统数学模型的建立,例2.3 对于如图所示的车辆振动系统，求X1、X2随F变化的关系。,2.1机械系统数学模型的建立,2.1机械系统
5、数学模型的建立,例2.4简单扭摆的工作原理如图所示，图中J为摆锤的转动惯量；c为摆锤与空气间的粘性阻尼系数；k为扭簧的扭转刚度；T(t)为加在摆锤上的扭矩；(t)为摆锤转角。则系统的运动方程为：,对应于这三个基本元件的三种阻止运动的力为外力矩M(t)、阻力矩Mc(t)和扭簧力矩Mk(t),电路系统建模（拓展知识点）,电路系统建模（拓展知识点）,例2.5 设有一个以电阻R、电感L和电容C组成的R-L-C电路如图所示。试列写以ui为输入，uo为输出的微分方程式。,解：根据基尔霍夫定律写出电路方程,消去中间变量i 得输入-输出的运动方程式,其中,亦即,传递函数：,电路系统建模（拓展知识点）,电路系统
6、建模（拓展知识点）,机电系统的相似性,电路系统建模（拓展知识点）,机电系统的相似性,不同的系统，其数学模型均为二阶微分方程，即相似的数学模型。亦即是说各物理系统的特性参数间也存在着一定的运动相似性。,2.1机械系统数学模型的建立,三、基本物理量的折算,在建立机械系统数学模型的过程中，经常会遇到基本物理量的折算问题，在此结合数控机床进给系统，介绍建模中的基本物理量的折算问题。数控机床进给系统如图2-3所示。电动机通过两级减速齿轮z1、z2、z3、z4及丝杠螺母机构驱动工作台做直线运动。,2.1机械系统数学模型的建立,图2-3 数控机床进给系统,图2-3中，J1为轴I部件和电动机转子构成的转动惯量
7、；J2、 J3为分别为轴II、III部件的转动惯量；k1、k2、k3分别为轴I、II、III的扭转刚度系数；k为丝杠螺母副的轴向刚度系数；m为工作台质量；c为工作台导轨粘性阻尼系数；T1、T2、T3分别为轴的输入转矩。,2.1机械系统数学模型的建立,将轴I、II、III上的转动惯量和工作台的转动惯量都折算到轴I上，作为系统总转动惯量。设T1、T2、T3 分别为轴I、II、III的负载转矩，1、2、3分别为轴I、II、III的角速度，v为工作台的运动速度。,2.1机械系统数学模型的建立,轴I、II、III转动惯量的折算 根据动力平衡原理，,1. 转动惯量的折算,对于轴I有：,对于轴II有：,由于
8、轴II的输入转矩是从轴I上的负载转矩获得的，且与他们的转速成反比，所以有,2.1机械系统数学模型的建立,又由传动关系知,将上三式联立得：,2.1机械系统数学模型的建立,对于轴III有,根据力学原理和传动关系，整理得 ：,2.1机械系统数学模型的建立,(2)工作台质量的折算 根据动力平衡关系：丝杠转动一周所做的功等于工作台前进一个导程时其惯性力所做的功，对于工作台和丝杠有，式中 L丝杠导程。,根据传动关系有：,将上两式联立得：,2.1机械系统数学模型的建立,(3)折算到轴I上的总转动惯量,2.1机械系统数学模型的建立,式中J系统折算到轴I上的总转动惯量。,其中，第二项为轴II转动惯量折算到轴I上
9、的当量转动惯量；第三项为轴III转动惯量折算到轴I上的当量转动惯量；第四项为工作台质量折算到轴I上的当量转动惯量。,当工作台匀速转动时，轴的驱动转矩T3完全用来克服粘滞阻尼力的消耗。考虑到其他各环节的摩擦损失比工作台导轨的摩擦损失小得多，故只计工作台导轨的粘性阻尼系数C，其它忽略。,2.1机械系统数学模型的建立,2. 粘性阻尼系数的折算,2.1机械系统数学模型的建立,即丝杠旋转一周T3所做的功，等于工作台前进一个导程时其阻尼力所做的功。根据力学原理和传动关系有,将以上三式联立，并整理得,根据工作台与丝杠之间的动力平衡关系有:,式中c工作台导轨折算到轴I上的粘性阻尼系数,2.1机械系统数学模型的
10、建立,机械系统中各元件在工作时受到力和/或力矩的作用，将产生伸长（或压缩）和/或扭转等弹性变形，这些变形将影响整个系统的精度和动态性能。在机械系统的数学建模中，需要将其折算成相应的当量扭转刚度系数和/或线性刚度系数。 在本例中，首先将各轴的扭转角折算到轴I上，丝杠与工作台之间的轴向弹性变形会使轴III产生一个附加扭转角，所以也要折算到轴I上，然后求出折算到轴I上的系统的当量刚度系数。,2.1机械系统数学模型的建立,3. 刚度系数的折算,（1）轴向刚度系数的折算 当系统受到载荷作用时，丝杠螺母副和螺母座都会产生轴向弹性变形，其示意图如图2-10所示。设丝杠的输入转矩为T3，丝杠和工作台之间的弹性
11、变形为，相应的丝杠附加转角为3。,2.1机械系统数学模型的建立,3. 刚度系数的折算,图2-10 弹性变形等效示意图,即,式中k附加扭转刚度系数,所以：,2.1机械系统数学模型的建立,根据动力平衡和传动关系，对于丝杠轴III有,（2）扭转刚度系数的折算 设1、2、3分别为轴I、II、III在输入转矩T1、T2、T3作用下产生的扭转角，根据动力平衡和传动关系有,2.1机械系统数学模型的建立,因为丝杠和工作台之间的轴向弹性变形，使得轴III产生了一个附加扭转角3，所以轴III上的实际扭转角III为：,2.1机械系统数学模型的建立,III=3+3,将各轴的扭转角折算到轴I上，得到系统的当量扭转角,2
12、.1机械系统数学模型的建立,式中k折算到轴I上的当量扭转刚度系数,2.1机械系统数学模型的建立,2.1机械系统数学模型的建立,将基本物理量折算到某一部件后，即可按单一部件对系统进行建模。在本例中，设输入量为轴I的转角xi，输出量为工作台的线位移xo，则可以得到数控机床进给系统的数学模型,4. 系统的数学模型,对上式取拉氏变换，得,2.1机械系统数学模型的建立,式中 n系统的固有频率，,系统的阻尼比，,n和是二阶系统的两个特征参数，对于不同的系统可由不同的物理量确定，对于机械系统而言，它们是由质量、阻尼系数和刚度系数等结构参数决定的。,2.1机械系统数学模型的建立,通过以上的分析可知,机械传动系
13、统的性能与系统本身的阻尼比、固有频率n有关。n 、又与机械系统的结构参数密切相关。因此,机械系统的结构参数对伺服系统的性能有很大影响。一般的机械系统均可简化为二阶系统,系统中阻尼的影响可以由二阶系统单位阶跃响应曲线来说明。阻尼比不同的系统,其时间响应特性也不同。,2.1机械系统数学模型的建立,（1）当阻尼比0时,系统处于等幅持续振荡状态,因此系统不能无阻尼。（2）当1时,系统为临界阻尼或过阻尼系统。此时,过渡过程无振荡,但响应时间较长。（3）当01时,系统为欠阻尼系统。此时,系统在过渡过程中处于减幅振荡状态,其幅值衰减的快慢,取决于衰减系数n。在n确定以后, 愈小,其振荡愈剧烈,过渡过程越长。相反,越大,则振荡越小,过渡过程越平稳,系统稳定性越好,但响应时间较长,系统灵敏度降低。 ,2.1机械系统数学模型的建立,二阶系统单位阶跃响应曲线,
