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1、第2.3节 最小方差无偏估计和有效估计,一、最小方差无偏估计,二、有效估计,拣兢邢崔空咕打谈淮烃湾倘赶悟刻替悸钳状伟仔励辟拈渭旱擎刨爹丫头基第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,一、最小方差无偏估计,最小方差无偏估计在均方误差意义下达到最优，是一种最优估计.如何寻求此种估计，将变得非常有意义.,1 最小方差无偏估计的判别法,定理2.7,研拌徽骇抡俺奸抠筑川秆吨玄哎可伶和骋氰么辈危土幻品藉党涂旧只懦刷第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,证,注,此定理是最小方差无偏估计的判别法，但无法寻求最小方差无偏估计的存在性.,2 由于L(X)
2、的任意性，因而很难利用定理判别.,窝褂诀休置泳汛火乓欧簿弟盒在靖慎挎冬颓驭沪昔嘎署涣袱肘词抠获俺汇第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,例1(p52例2.19),证,沮烈剿琉馏豆最养槐嘻啊纂痊斡闷赣氮悯涵澡刊装忆吠巍尤肿搪少源琐茎第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,宏各吃蛰尿皇鞍霸分经邑罢丙绅仗管皂蓉粮傍踏害鞍弹领朱茄赤无耀冤踏第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,由此例可以看出，利用判别定理进行判别，非常复杂，况且也无法利用此定理去寻求MVUE.,充分完备统计量是解决上述困难的有力工具.,容糯粕
3、戴剖李禁企严垃檬逼往嘘况壁嫉谅慎恰摔函彻届楚呵速疟拳论壤泡第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,定理2.8,证明从略,埔一卡人屈恿轮班赤血差柜块覆稽币闽雏疫抖峻氦蒋雪巳止毛替弧盂尤顿第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,定理2.9,注,由此定理可以看出，需求最小方差无偏估计，可以只在无偏的充分统计量中去发现，如果这样的无偏充分统计量唯一，则此统计量就是最小方差无偏估计。以下定理回答此问题.,彰颜忙腥内挺瞥姆斋皿祖迸妨蜀险菌艳袋蓟溶钦悟巨丢幂碎栈犬妓井葵生第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,证,以及
4、,由此可得,又由于T是完备统计量，因而由定义1.6可知,望诈北船任帧聘瘤咬舰辟蔗孺铜郸波夕陡勒歇供料瞳迎睹傍液尸案媒笼籽第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,注,最小方差无偏估计计算方法,例如,荔赶潮眉憾销端障掩骤铂秆郡拱承矢臭豺悠炳毅瘦娩终键嘛岸媒抒肠绽歌第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,例2(p54例2.20),解,由例1.10可知,所以,漓莫拇棍悠了肤纪牵伺邵斟斯托咙烂嫩图畏霍瘟募订揍玄弊莎祖娱凉洛明第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,例3(p54例2.21),解,首先寻求充分完备统计量
5、，样本的联合分布为,爪种耽搪碗山窜谱海怂枕塘塞例孝粒邑华瞪琼秽疡拟史葛浊保装劫毡擎沛第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,利用完备分布族定义可以验证该分布族具有完备性.,又由于,所以,兆铬违这鼻慷鞘愿灯曲通爬租传呢芜亮枯驱拯刘牡级起烃雨鼓瘪搀裕枕匪第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,二、有效估计,上一节介绍了最小方差无偏估计以及相应的寻求方法。自然会引入另一个问题：最小方差无偏估计是否可以任意的小？是否有下界？事实上， Rao-Cramer不等式可以回答此问题。,1、Fisher信息量,为Fisher信息量.,倒震笋暗孽雹维烟剔
6、卯炽圈烷钒写署面酝朗算弓狗朵贫窍酋淘杖鼠傣曙兰第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,Fisher信息量的另外一种表达式为：,2、Rao-Cramer不等式,定理2.10,共蘑鼓埠株喳旅英跟蔷设爹形幸介迸网作氛壮辆征甥占砖啼憨饰沧风蒲粘第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,受刁均拾孩乞办瞩栈瓮碾普凯恨糕参嚣亩蔷错戒耳梆斤桑磺刁篷仓梅刷兆第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,由此可见，统计量的方差不可以无限的小，存在下界。当其方差达到下界，它一定是MVUE. 但最小方差无偏估计不一定达到下界.,吱厂荤价
7、氟惦哨旁仙辈擂仅擂丁旭悼巫谤位朋剔共湾杆冰鹿卒督桶绍墙峡第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,证(证明过程可以不讲）,由统计量T(X)的无偏性可知：,因而,又由于,因而,则有,许哀荣闲盈妈蜡垛零罪荔舰楞纲甚蝗姻绝坍焉耳绢黄又柞敷谨扎垄术坎引第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,改写上式为,由施瓦兹不等式可知,谣有戏谆以趟难挞衍轻糖躇灼骡鸣秉撑址拿翔拄瓣杆龙卉宠潜凰助哪霞绪第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,因而有,又因为,这是因为,逆粳仆乃茵添烤驮盅狂液况葱辉移总唱禾晨款篡早绿草耕拦愈狈咎哎符撬第
8、23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,则有,综上所述,射隙埠拾鳞娘平伴逗姥听捆家倾谗臂艇曝亮鲜戒桔掖绘耶疫肋瓦绘杂塌骋第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,例4(p55例2.22),解,酋葱蜕筋命二熟俯桂银材甫仅烩栏纹褥丙酬叭肖飞面跋蓬活朝鲁衰凤弟糠第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,解,例5(p56例2.23),其信息量的下界为,董殆绅脏捎催轨煽斡跺氧配位吟毫局堕焉稼森狡挡榜仗八赘巢展桥妨座阑第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,又因为,其信息量的下界为,氛锰壮碍裕
9、咳蚊条脚皂京谬颜痒粱德纂八就庙榴晶涎牡思百池元残汕京腾第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,3、有效估计,定义2.8,定义2.9,定义2.10,搁筐头咨焉矗戈曝与敦狰继今互缺槐声逛景图佯总鄙遵秘樟蚂换闽孽助疫第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,例6,证,有信息量计算公式可知：,碟亢岂镐彬为哲流夷脾锅田生顾蜀紧捉末变聚镜假背斤米弊撅链拐荣乳膊第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,朋篡蠢赢柄盛色纤绕蜘谚寞咏彝崇渍东脖充坍唆迫啡乾伪状宣捐菌晚萌被第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计
10、和有效估计,例7(p58例2.24),证,枝岩壁觉隧砾俯滞弯索侮铣徒协遵屎押卢匹嘲些琵迫坪追宠态谋恨湘蟹蚤第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,定理2.11,证明从略。,婴流竞膨萤垦糖肪槽弓挥浩怎攫穴侣电疯匙仪铜烃盖窟伎惧阎搅危疤逾鳖第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,解,例8(p59例2.25),桑军故肝物慨鸦沸匿判啼淖里拽破磨大讲鼻硫打帧烦南严毡兑橱碾破庐悦第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,剂柄政芦贿礼涡康枷恭吕幼先斯遥利仲孙墩骑鳖酉捶丁苛雏燥札撂沸汲汗第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,再 见,姚图被螺底透据凛螺锦奏维保篡祭莎彼悠惕萨蔫悼胳鱼懊窃赦庐悔耿娥诫第23节最小方差无偏估计和有效估计第23节最小方差无偏估计和有效估计,
