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1、第四章 随机变量的数字特征,数学期望方差协方差及相关系数矩、协方差矩阵,1 数学期望,设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2,一、数学期望的定义,EX,则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即,定义 若XPX=xk=pk, k=1,2, 且 ， 则称,为随机变量X的数学期望。,数学期望描述随机变量取值的平均特征,例 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,解：,定义 若Xf(x), -x,为X的数学期望。,则称,例 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为,试求E(X)。,解：,1、0-1
2、分布B(1, p),EX=1p+0(1-p)=p；,2、二项分布B(n, p),二、几个重要的随机变量的数学期望,3、泊松分布(),4、均匀分布U(a, b),5、指数分布e(),6、正态分布N(, 2),设随机变量X的分布律为,解: Y的分布律为,求随机变量Y=X2的数学期望。,X,Pk,-1 0 1,Y,Pk,1 0,三、随机变量函数的期望,EX,定理 若XPX=xk=pk, k=1,2, 则Y=g(X)的期望,定理 若(X, Y) PX=xi ,Y=yj,= pij, i, j=1, 2, , 则Z= g(X，Y)的期望,若Xf(x), -x, 则Y=g(X)的期望,若(X, Y) f
3、(x, y), -x, -y, 则Z=g(X, Y)的期望,例 设随机变量(X,Y)的概率密度,求数学期望 。,例 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)。,解:,1、E(C)=C, C为常数;,四、数学期望的性质,2、E(cX)=cE(X), c为常数；,3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)；,证明:以连续型随机变量为例，设(X,Y)f(x,y)，则,4、若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).,证明: 同样，以连续型随机变量为例，设 (X,Y)f(x,y)，则,例 设随机变量,均服从,求随机变量,的数学期望,解:,分布，,例 若XB(n,p),求E(X),解:设,则,因此,设
4、某种疾病的发病率为 p，在 N 个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每k个人一组，把从 k 个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。假设每个人的化验反应相互独立。(1) 试说明：当 p 较小时，相比一个个地验血，选取适当的 k 可以减少化验次数；(2) 求k的最佳值。,五、数学期望的应用,EX,1、在医疗化验方面,某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致元n的损失。再者,他们预测销售量Y（件）服从参数为0的指数分布，其概率密度为：问若要获得利润的数学期望
5、最大，应生产多少件产品（m, n,均已知）？,EX,2、市场策略方面,方差是衡量随机变量取值波动 程度的一个数字特征。,？,如何定义？,一、方差的定义,2 方差,定义 若E(X),E(X2)存在，则称 EX-E(X)2, 为随机变量X的方差，记为D(X), 或Var(X)。,称 为随机变量X的标准差。,可见,推论 D(X)=E(X2)-E(X)2,证明: D(X)=EX-E(X)2,例 设随机变量X的概率密度为,(1)求D(X), (2)求D(X2)。,解：,1、D(C)=0；,2、D(aX)=a2D(X), a为常数；,证明:,二、方差的性质,3、,特别地，若 X，Y 独立，则 D(X+Y)
6、=D(X)+D(Y);,1、二项分布B(n, p),三、几个重要的随机变量的方差,设,则,且,2、泊松分布(),而,两边对求导得,3、均匀分布U(a, b),4、指数分布e(),5、正态分布N(, 2),例 设活塞的直径 XN(22.40,0.032), 气缸直径YN(22.50,0.042), X与Y 相互独立。任取一只活塞和一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。,例 已知随机变量X1, X2, , Xn 相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+Xn ，求E(Y2)。,四、切比雪夫不等式,定理 若随机变量X的期望和方差存在，则对任意0，有,这就是著名的切比雪夫(Cheb
7、yshev)不等式。,已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解: 由切比雪夫不等式,它有等价形式,一、协方差,定义 若随机变量X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)为X与Y的协方差。,特别地，当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。,？,“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？,3 协方差及相关系数,易见 Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)。,设(X, Y)在D=(X, Y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。,(1) Co
8、v(X,Y)=Cov(Y, X);(2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,c)=0(3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为常数；(4) Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);(5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2Cov(X, Y).,EX,协方差的性质,设随机变量XB(12,0.5), YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差。,EX,解：由XB(12,0.5), YN(0,1)知,D(X)=np(1-p)=120.5(1-0.5)=3, D(Y)=1,因此,D(V)=D
9、(4X+3Y+1)= D(4X+3Y),= D(4X) +D(3Y)+2Cov(4X,3Y),= 16D(X) +9D(Y)+24 Cov(X,Y) =33,D(W)=D(-2X+4Y),= 4D(X) +16D(Y)-12Cov(X,Y) =40,Cov(V,W)=Cov(4X+3Y,-2X+4Y),=Cov(4X,-2X)+Cov(4X,4Y)+Cov(3Y,-2X)+ Cov(3Y,4Y),=-8Cov(X,X)+10Cov(X,Y)+12Cov(Y,Y)=-22,定义 若随机变量X, Y的方差和协方差均存在,且DX0, DY0, 则称,注：称 为X的标准化。,易知EX*=0，DX*=1
10、。且,二、相关系数,为X与Y的相关系数。,相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a, b使PY= aX+b=1；(3)X与Y不相关 XY =0 。,设(X,Y)服从区域D: 0 x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数。,EX1,D,1,x=y,解:,(1,1),0,x,y,因此,以上结果说明了什么？,EX2,解: (1) 由题意，计算可得,(2),？,可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,EX3,但由前可知，对一般的二维随机变量(X,Y)，,如果X与Y 独立, 则X与Y一定不相关；,如果X与Y 不相关, 则X与Y不一定独立。,
11、4、k+l阶混合中心矩 EXE(X)kYE(Y)l, k, l=0, 1, 2, 。,4 矩、协方差矩阵,可见，数学期望E(X)即为X的1阶原点矩；方差D(X)=E(X-E(X)2即为X的2阶中心矩；协方差Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)即为X和Y的1+1阶混合中心矩。,1、k阶原点矩 Ak=E(Xk), k=1, 2, ；,2、k阶中心矩 Bk=EX-E(X)k, k=1, 2, ；,3、k+l阶混合原点矩 E(XkYl), k, l=0, 1, 2, ；,定义 设X1, , Xn为n个随机变量, 记cij=cov(Xi, Xj), i, j=1, 2, , n,则称由cij组成的n阶方阵为随机变量 X1, , Xn 的协方差矩阵C。即,六种常用随机变量的期望与方差,本章小结,
