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1、电路分析基础,第五章 电容元件与电感元件,上海第二工业大学冯涛编写,第二篇 动态电路的时域分析（第57章）,在第一篇（第一章第四章）中，介绍了电路分析的基本定律、定理和分析方法。 在第一篇明确了，电阻电路各元件的伏安关系（VCR）均为代数关系，通常将这类元件称为静态元件。 而把由静态元件组成的电路称为静态电路，描述静态电路的是一组代数方程。,但实际电路中，除了静态元件外，还存在另一类元件。如：电容（capacitor）、电感（inductor）这些元件的电流电压关系（VCR）为微分或积分关系，故称其为动态元件。,把至少含有一个动态元件的电路称为动态电路。描述动态电路的方程是以电流或电压为变量的
2、微分方程。,若动态电路在线性非时变的条件下，其描述方程是线性常微分方程。 注意复习高等数学微分方程求解部分！,本篇将会看到，动态电路与电阻电路完全不同，在任一时刻的响应不仅与当前激励有关，还与激励的全部过去历史有关。这就是说，动态电路是有记忆的。并且，任何一个集总电路不是电阻电路就是动态电路。,在动态电路中： 含有一个独立动态元件的电路称为一阶电路。此时，电路方程为一阶常系数微分方程。 含有二个独立动态元件的电路称为二阶电路。它的电路方程为二阶常系数微分方程。 含有三个及以上独立动态元件的电路称为高阶电路。其电路方程为高阶常系数微分方程。,第五章 电容元件与电感元件,5.1 电容元件5.2 电
3、容元件的伏安关系5.3 电容电压的连续性质和记忆性质5.4 电容元件的储能5.5 电感元件5.6 电感元件的VAR5.7 电容与电感的对偶性以及状态变量,5.1 电容元件,1、电容元件概念：任何两个彼此绝缘又相互靠近的导体就可构成一个电容器。,电容器是一种能存储电荷的器件，断电后电荷仍保留，因此贮存电场能量。,2、 电容元件定义：（电容器的理想化模型） 能够在 qu 平面内用一条曲线（称为库伏特性曲线）描述的二端元件称为电容元件，即电荷 q 和电压 u 存在代数关系。若该曲线是过原点的直线，则称为线性电容元件，否则就是非线性电容元件，如：变容二极管就是一种非线性电容，其电容随所加电压而变。若约
4、束电容元件的q-u平面上的曲线不随时间变化，则称为时不变电容，否则称为时变电容。,理想电容元件应该只具有存储电荷从而建立电场的作用，而没有其他任何作用。,3、电容元件特点,线性电容有如下特点：（1）双向性：库伏特性是以原点对称，因此与端钮接法无关。（2）动态性：若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的电荷是稳定的，没有电流通过电容，即：I=0。电容相当于断路（开路），所以电容有隔断直流作用；若电容两端的电压u(t)是变化的，则极板上的电荷会随之变化，形成电流i(t)0。电容相当于导通，所以电容对于交流是导通的。 电容电流取决于该时刻两端电压的变化率，而与该时刻的电压值无关，这反映了电容的动态性
5、。（3）记忆性：电容电压具有记忆电容电流的性质。（4）储能性：当电容两端外加电源，两极上会聚集等量的正、负电荷，两极间建立电场。 电容是无源元件，却是储能元件。,4、定义式,注：电容元件简称为电容，其符号 C 既表示元件的参数，也表示电容元件。,5、符号及单位,单位：法拉（F），1F=106F=109nF=1012pF,C称为电容元件的电容量。,电容元件的符号及其标示的关联参考方向如图所示，即在假定为正电位的极板上的电荷也假定为正。,常用电容器的电容量大约为零点几皮法至数千微法，而采用碳纳米管可制作超大电容量的电容器，达数百法，这在传统概念上是不可思议的！ 实际电容器除具有存储电荷的主要性质外
6、，还有一些漏电现象，这主要是由于介质不理想，多少有点导电能力的缘故。 一个电容器，除了标明它的容量外，还需标明它的额定工作电压。电容器两端电压越高，聚集的电荷就越多。但介质的耐压是有限度的，电压过高，介质会被击穿。而电容被击穿后，介质导电，也就丧失了电容器的作用。因此，使用中不应超过其额定工作电压。,电容器种类繁多，包括：聚酯（涤纶）电容、云母电容、空气电容、瓷介电容、（铝）电解电容、 （钽 ）电解电容等。,（1）典型电容器：电解电容器。注意：有些电容器是单向的：如电解电容器等，安装时不能接反。 电解电容器最基本的结构是有极性的。这由生产工艺决定了。电解电容容易用较少的材料和较小的体积实现大容
7、量。 但是由于有极性，只能在带有一定直流分量应用，不宜用于纯交流，并且电解电容的极性要顺应直流分量的方向，不能反接使用。,（2）电容效应 电容器是为了获得一定大小的电容特意制成的。 但是，电容的效应在许多场合是存在的，几乎是无处不在，常称为寄生电容、杂散电容和分布电容等。理论上，电位不相等的导体之间就会有电场，因此就有电荷聚集并有电场能量，即有电容效应存在。 例如：元件的管脚之间、连线。,5.2 电容元件的伏安关系,若电容端电压u与通过的电流i采用关联参考方向。以u表示I，它从电荷变化的角度描述了电容的VCR。如右图所示，则有：,上式表明：某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。如果电
8、压不变，du/dt为零，这时虽有电压，但电流为零。因此，电容具有隔直流的作用。电容电压变化越快，即du/dt越大，则电流越大，故电容具有通交流的作用。,因此有：如电容电压不变，则电流为零，相当于开路，此为电容的隔直流效应。如电容电压变化，则电流不为零，电压变化越快，电流就越大。电容两端的电压不能跃变连续性。,（2）积分形式（变量分离）,对上式从-到t进行积分，并设uc(-)=0，得：,如果设t0为初始时刻，而且如果只需了解tt0的情况，上式可改写为：,其中，,uc(t0)称为电容电压的初始值，体现了t0时刻以前电流对电压的贡献。 由此可见，在某一时刻t电容电压的数值并不仅仅取决于该时刻的电流值
9、，还取决于从-到t所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关。 描述一个电容元件必须有两个值：C 值和uc(t0)值。,从0ms到0.25ms期间，电压u从0V线性变化到100V，其变化了100V，时间变化了0.25ms，所以变化率为：,微分（指的是斜率或变化量）,从0.25ms到0.75ms期间，电压u从100V线性变化到-100V，其变化了200V，时间变化了0.5ms，所以变化率为：,若C=1uF=10-6F，u(0)=0,积分（指的是面积）若C=1uF=10-6F，u(0)=0且与前例不是同例,解：已知电压源电压u(t)，其电流可通过i(t)=Cdu/dt求出。,(a),(b),
10、从0.25ms到0.75ms期间，电压u从+100V线性下降到-100V，其变化率为：,例：电容与电压源相接如图(a)所示，电压源电压随时间按三角波方式变化如图(b)所示。求电容电流。,故知在此期间，电流为：,从0.75ms到1.25ms期间，,故知在此期间，电流为：,因此得电流随时间变化的曲线如上图所示。,与电阻元件不同：电容两端电压与流过电流波形不一致。,解：已知电容电流求电容电压，可根据下式：,为此，需要给出i(t)的函数式。对所示三角波，,可分段写为：,例：如图(a)所示为电容与电流源相接电路，电流波形如图(b)所示。求电容电压（设u(0)=0）。,等等。分段计算u(t)如下：,电压波
11、形如图(C)所示。,再次证明与电阻元件不同：电容两端电压与流过电流波形不一致。,5.3 电容电压的连续性质和记忆性质,电容的VCR(VAR)为：,通过该式即可反映出电容电压的两个重要性质，即连续性和记忆性。连续性可通过下图予以说明。,上式说明：“电容电压不能跃变”。当然，这种性质仅在电容电流为有界时成立。,电容的连续性可表述如下：,若电容电流i(t)在闭区间ta、tb内有界（不是无穷大），则电容电压uC(t)在开区间(ta、tb)内连续。,特别是，对任何时刻t，且tattb,则有：uC(t)= uC(t+)=uC(t- ),它表明，在任一时刻t，电容电压uc是此时刻以前的电流作用的结果，即电压
12、“记载”了已往电流的全部历史，电流是可以突变的，所以称电容为记忆元件。当然，电阻则为无记忆元件。,电容电压的另一性质是记忆性质，体现如下：,所以，只要知道了电容的初始电压和tt0时作用于电容的电流，就能确定t t0时的电容电压。,上述关系可用等效电路加以说明,由此可见：一个已被充电的电容，若已知uC(t0)=U0，则在tt0时可等效为一个未被充电的电容与电压源串联的电路。电压源的电压是t0时电容两端的电压U0（初始电压，或电容电压uC的初始状态），如下图所示。,例：已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示，电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。,试求：(1) u(0)；(2) u(t
13、)、t0；(3) u(1)和u (-0.5)；(4) 作出t0时该电容的等效电路。,解（1）：求u(0)； 根据已知条件，t0时，且仅在1t0时，i(t)=2A。,u（0）记忆了t=0以前所有电流的充电作用。,解（2）：求u(t)、t0；,t0时，不能忽略初始电压u（0），它反映了t0时，电流 i 对t 0时u（t）的影响。波形如图所示。,t 0时：,解（3）：u(1)和u (-0.5)； 由i的波形可以推出：,解（4）：作出t0时该电容的等效电路。,i1（t）是 i（t）在t0时的部分；t0的部分已不必再考虑。这正是电容电压的记忆特性。,u(0)是怎样形成的，不必过问，也不可能过问。这正是电
14、容电压的记忆特性。,显然，运用t0时的等效电路，无须了解t0时的电流i或电路的具体情况，只要知道u(0)即可。,5.4 电容元件的储能,在电压、电流参考方向一致的条件下，任一时刻电容元件吸收的功率：,在-到t时间内，电容元件吸收的能量：,若初始状态为零即：设u(-)=0， 则电容吸收的能量：,在t1-t2时间段内，电容贮存的能量为：,而电容在任一时间t时的贮能:,结论：电容在某段时间内的贮能只与该段时间起点的贮能和终点的贮能有关，与这段时间中其它时刻的能量无关。 电容是贮能元件，它既不消耗能量，也不产生能量，只是吸收和释放能量，实行能量的转换，因此是无源元件。,当|u|增大时：即当u0，且du
15、/dt0；或u0，电容吸收功率为正值，此时电容被充电，储能wC增加，且电容吸收的能量以电场能量的形式储存于电场中；,说明：,当|u|减少：即u0，且 du/dt 0; 或者u0，且du/dt0时，p0，此时电容吸收功率为负值，实际是电容放电，储能wC减少，电容将储存于电场中的能量释放。若到达某一时刻t1时，有u(t)=0，则wC(t1)=0，这表明这时电容将其储存的能量全部释放。,因此，电容是一种储能元件，它不消耗能量。,另外，无论u为正值或负值，恒有wC(t)0。这表明，电容所释放的能量最多也不会超过之前吸收(或储存)的能量，即它不能提供额外的能量，因此它是一种无源元件。,正是电容的储能本质
16、才使得电容电压具有记忆性质；而正是因为电容电流在有界条件下储能不能跃变才使得电容电压具有连续性质。 如果储能跃变，能量变化的速率即功率p=dw/dt将为无限，这在电容电流为有界条件下是不可能的。电容功率是可以跳变的；而电容能量是不能跳变的。,例：求电容功率p和储能wC。,解：在关联参考方向下，根据前已求出的电容电流i，可直接求解电容消耗的功率为：p=ui。,当0t0.25ms，i=0.4A，p=ui=0.4400t=160t；当0.25t0.75ms，i=-0.4A，p=ui=-0.4(200-400t)=-80+160t；当0.75t1.25ms，i=0.4A，p=ui=0.4(-400+4
17、00t)=-160+160t；,根据wC=Cu2/2，得：当0t0.25ms，wC=10-6(400t)2/2=0.08t2（J）;当0.25t0.75ms，wC=10-6(200-400t)2/2=0.02(1-2t)2（J） ；当0.75t1.25ms，wC=10-6(400t-400)2/2=0.08(t-1)2（J）；,5.5 电感元件,将导线绕成线圈的形式，就成为了电感线圈或电感器。如果线圈中不含铁磁物质，则称为线性电感。,右手螺旋定则：先有电流，后产生磁场。,左手螺旋定则：先有磁场，后产生电流。,描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。,物理意义,自感电动势：,i,(安)A
18、,韦伯(Wb),亨利(H),N,电感,L 称为电感或自感。线圈的匝数越多，其电感越大；线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。,电压电流关系,根据 KVL 可写出u + eL = 0,或,在直流稳态时，电感相当于短路。,瞬时功率, 0，L 把电能转换为磁场能，吸收功率。, 0，L 把磁场能转换为电能，放出功率。,储存的磁场能,L 是储能元件,电感元件的定义： 在-i平面中能用一条曲线（称韦安特性曲线）来描述的二端元件称为电感元件。 当曲线为通过原点的直线时,称为线性电感元件。定义式： (t)Li(t)L为正值常数。单位：享利（H），1H103 mH,一个实际的电感线圈，除了应标明它的电感量外
19、，还应标明它的额定工作电流。因为，电流过大会使线圈过热或使线圈受到过大电磁力的作用而发生机械形变，甚至烧毁线圈。,为了使每单位电流产生的磁场增加，常常在线圈中加入铁磁物质，其结果可使同样电流产生的磁链比不用铁磁物质时增加成百上倍。,实际电感器除具有存储磁能的主要性质外，还有一定的能量损耗，这主要是由于构成电感的导线多少有点电阻的缘故。,空心电感,可调电感,环形电感,立式电感,贴片型功率电感,贴片电感,电抗器,5.6 电感元件的VAR,电容 电感,由此可见，电容与电感是一对对偶量。根据对偶性可知，电感电流具有连续性质和记忆性质。,把电容与电感的VCR同时列出如下：,若电感电压uL(t)在ta,t
20、b内有界，则对任意时刻t，且tattb iL(t-)= iL(t+) 即“电感电流不能跃变”。 又设电感的初始电流为iL(t0)=I0，则有：,由此可知，一个具有初始电流的电感，若已知iL(t0)=I0，则在tt0时可等效为一个初始电流为零的电感与一个电流源的并联电路，而电流源的电流值即为t0时电感的电流I0。电流I0称为tt0时电感电流的初始状态。 等效电路也可由对偶关系直接得出如下所示。,电感电流的连续性质和记忆性质正是电感储能本质的表现。,电感也是一种储能元件。根据对偶关系，电感L在某一时刻t的储能只与该时刻的电流有关，即：,归纳：（1）电感电流是不可以跳变的；（2）电感能量也是不能跳变
21、的；（3）电感电压是可以跳变；（4）电感功率也是可以跳变的。,5.7 电容与电感的对偶性以及状态变量,1、对偶性:比较电容和电感的定义：,可以发现，把电容的定义表达式中的q换成，u换成i，C换成L，就可以得到电感的VCR；,反之，通过类似的变换，也可以从电感的定义表达式得到电容的定义表达式。电荷和磁链也是一对对偶量。,可以发现，把电容的VCR式中的i换成u，u换成i，C换成L，就可以得到电感的VCR； 反之，通过类似的变换，也可以从电感的VCR得到电容的VCR。同样，电容与电感是一对对偶量。,比较电容和电感的VCR：,对偶关系,2、状态变量 “状态”是系统理论中的一个基本概念，在电路理论中，状
22、态是指在某些给定时刻电路必须具备的最少信息，它们和从该时刻开始的任意输入一起就足以完全确定今后该电路在任何时刻的性状。 换句话说，状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在t0时的数值（初始状态），则连同所有在tt0时的输入就能确定在tt0时电路中的任何电路变量。,在动态电路的电压、电流变量中，电容电压uC(t)和电感电流iL(t)占有特殊的地位，它们是电路的状态变量。 对状态变量列出的一阶微分方程称为状态方程。,例:已知u(0)=4V，则该电容t0时的VCR为：,t0的等效电路如图，代表初始电压源的极性、数值是已知的，与i无关。C部分的u1和i的参考方向是非关联的。,解：此处u(0)的成因不详
23、，也无需且不可能追究。其极性已如图中所示，其值为4V，已成定局。但t0时，i、u的参考方向为非关联的，故应选B项。,例:已知2H电感的电流波形如图所示，试求电压波形。设u、i为关联参考方向。i波形图上 t=6s 时，i=3.5A。,解：,利用：,分段作出波形图：,例:与直流电源接通已久的电路如图所示。（1）试求每一电阻所消耗的功率；（2）电路所储存的能量；（3）每一电源所提供的功率，并校核电路的功率平衡关系。,解（1）:电路在直流电源长久作用下，电感看作短路，电容看作开路，如图所示。,1电阻消耗的功率：,2电阻消耗的功率：,电路总共储存能量为4J+8J=12J。 该项能量是电源接入时，由电源提供的。在电源持续作用下，这能量始终储存在电路内，其值不变，故PL和PC均为零。,电感储存能量：,电容储存能量：,解（2）:,提供功率 8W+4W=12W消耗功率 6W+2W+4W=12W,功率平衡关系：,功率平衡。,解（3）:,The End of Chapter,Thanks for Your Cooperation !,
