第五章对流 扩散方程的离散格式ppt课件.ppt

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1、热流问题的数值计算,Numerical Simulations of Thermal & Fluid Problems,第五章 对流扩散方程的离散格式,主讲 李炎锋,2008年7月 北京,5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散格式,非线性对流项的处理涉及到对流项的离散格式（物理过程观点：对流作用带有强烈的方向性）； 动量方程的压力梯度项处理涉及到压力与速度的耦合问题。,5.1.1 对流项离散格式的重要性,对流项离散格式是否合适将会影响： 数值解的准确性（假扩散误差） ； 数值解的稳定性 ； 数值解的经济性 。,5.1.2 构造对流项离散格式的两种方式,1、Taylor展开方式 对于节点上的一

2、阶导数给出其相应的离散方式，如表5-1。,例如：对一维均分网格，节点P一阶导数的 中心差分为：,2、控制容积积分方式,将对流项的一阶导数对控制容积P作积分，有： 所谓对流项的离散格式就是如何用相 邻节点上之值来获得 及 的插值方式。,由上式：如将界面上分段线性的型线代入上式，得,3、两种定义方式之间的关系, 对某种对流项的离散格式，都可以从两种方法来给出其相应的定义； 两种定义方式给出的格式的截断误差的阶数一般地说是一致的； 两种定义方式所逼近的量实际上有一定区 别。Taylor展开法逼近的是在P点的导数值，而控制容积积分法所逼近的是在该控制容积内导数的积分平均值。,5.2 对流项的中心差分与

3、迎风格式,5.2.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解一维稳态无内热源的对流-扩散问题的控制方程： 若边界条件为：x = 0， ；xL， 。,则方程的解为： 其中Peclet数 。Pe数表示对流与扩散作用的相对大小.当Pe的绝对值很大时，导热或扩散作用就忽略.,5.2.2 对流项的中心差分,1、定义及系数的构成 用控制容积积分法时，中心差分相当于界面上取分段线性的型线。将控制方程对控制容积P作积分，对均分网格，离散方程为：,令 ， （扩导）则上式可变为： 式 在数值计算中，若连续性方程始终得到满 足，aP仍为相邻各系数的和。aE, aW包括了扩散与对流作用的影响。,2、特性分析,网格Pe数：

4、 常物性下(1)式可写为：,5.2.3 对流项的迎风格式,1、两种离散方式下的迎风格式 Taylor展开法 （如下图） 以流动方向而言，P点的一阶导数永远是该方向上的向后差分，永远从上游获取构成一阶导数所必须的信息,对多维问题，用此方法构造的对流项的离散格式，只有在求解区域内流速不发生逆向时，所形成的离散方程才具有守恒性。,2、控制容积积分法定义,规定界面上的未知量恒取上游节点的值 e界面上：w界面上： 与中心差分格式的区别：迎风差分界面上的未知量恒取上游节点的值，而中心差分取的是上、下游节点的算术平均值。,2、采用迎风格式的模型方程离散形式,用迎风方式离散对流项，二阶导数项仍采用分段线性，则

5、模型方程的离散形式可写为：,5.2.4 中心差分及一阶迎风格式的讨论,1、在对流项中心差分的数值解不出现振荡的参数范围内，在相同的网格节点数下，采用中心差分的计算结果要比采用迎风差分的结果误差更小；2、一阶迎风格式离散方程的系数aE及aW永远大于零，因而无论在任何条件计算下都不会引起解的振荡，永远可以得出看似合理的解；,3、由于一阶迎风的截差阶数低，除非相当密的网格，其计算结果的误差较大； 4、一阶迎风格式的使用时间为构造性能更优良的离散格式提供了有益的启示：应当在迎风方向上获取比背风方向上更多的信息以较好地反映对流过程的物理本质；5、在软件的调试过程中，一阶迎风由于其绝对稳定的特性仍有其应用

6、价值。,5.3 对流-扩散方程的混合格式及乘方格式,5.3.1 系数aE与aW之间的内在联系,中心差分(CD):对同一界面 ， 于是有：,迎风差分(FUD)：对同一界面，有：只要知道 或 中的一个，就可算出另一个。,5.3.2 混合格式 (hybrid scheme),对一维问题而言，对流项与扩散项均为中心差分的格式在P2时会引起解的振荡 。如果把一维模型方程的精确解应用于两个相邻的节点之间，发现界面上的扩散作用与P有关。 P绝对值越大，扩散作用越小，扩散作用相对于对流作用越小。,混合格式综合了中心差分和考虑迎风作用两方面的因素，定义式为：,5.3.3 指数格式（exponential sch

7、eme）,1、对流-扩散总通量密度 定义：总通量密度是指单位时间内、单位面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。,对控制方程：一维、稳态、无内热源问题的总通量为：,2、节点值表示的界面总通量密度计算式,将分析解 代入通量密度定义式得：,把式（2）用于计算界面总通量密度Je, Jw:对Je： 对Jw：,对于控制容积P，代入对Je、 Jw的表达式整理得：令： ； 则,5.3.4 乘方格式(Power-law scheme),由于指数格式的计算量较大，Patankar提出了与指数格式接近的乘方格式： 见下页表格：,5.3.5 5种三点格式系数计算式的汇总,不同格式离散方程的形式相同，但系

8、数不同。具体见下表51：,5.4 对流-扩散方程5种3点格式系数特性的分析,5.4.1 通量密度及其离散表达式 由于 所以,如图界面上的表达式为：,5.4.2 系数A、B间关系的分析,1、和差特性 当 时，界面上的扩散通量零，,2、对称特性,对于坐标系I，C位于界面之后，而D位于界面之前，于是： 对于坐标系II，D位于界面之后，而C位于界面之前，于是： 由于,要使此式对任何，的组合都成立，只有 ： ，即： ，即： 如下图：,5.4.3 系数特性的推论,对5种3点格式的任何一种，若在P 0时，A(P)的计算式为已知，则在 的范围内，A(P)，B(P)的计算式均可得出。对于A(P)：当P 0 或P

9、 0 ，都有：,对于B(P)：,5.4.4 利用系数A，B得特性导出aE, aW的通 用表达式,对于控制体P可写出： 将上两式代入通量密度守恒方程，得,整理得 (2) 利用系数A，B得特性，把B用A得表达式写出，得: (3) (4),(5) (6)将（3）（6）代入（2），可得标准格式的离散方程，其中各系数为：,5.4.5 关于格式定义与系数特性的进一步说明,1、从一维推广到多维； 2、系数aE, aW的通用表达式易于编制通用程 序； 3、系数aW(i+1)与aE(i)间的关系： 可节省系数计算的工作量。,5.5 关于对流项离散格式假扩散特性的讨论,5.5.1 假扩散（false difuss

10、ion）的含义 1、含义：由于对流-扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差的现象称为假扩散。,一维纯对流方程 的显式、一阶迎风的离散格式为：,若对 ， 在（i, n）作Taylor展开，得：,将 ， 带入离散方程，得其中代入上式，得,其中 为假扩散系数。当C = 1时该系数为零。采用显式、迎风格式时，从二阶截差的角度看离散方程模拟的是一个对流-扩散问题。,一阶导数项的偏差分是引起假扩散的原因。对于稳态问题，由于时间导数的偏差分而引起的假扩散项消失，但由于迎风差分而导致的假扩散依然存在。 凡离散方程截断误差的首项为偶数阶空间导数的，数值计算结果的误差具有扩散（di

11、ssipative）的性质;而凡截差首项为奇数阶空间导数的，则误差具有弥散(dispersive)的性质。,2、假扩散的拓宽含义, 非稳态项或对流项采用一阶截差的格 式； 流动方向与网格线呈倾斜交叉（多维问题）； 建立差分格式时没有考虑到非常数的源项的影响。,5.5.2 由于一阶导数截差阶数低引起的假扩散,1、一维稳态对流-扩散问题 当网格Pelect为P时，如果用迎风差分得出此时得精确解，则计算用的网格Pelect应为 。,2、一维非稳态的对流方程,例1 一维非稳态的对流问题： 边界条件为 初始条件为： 用迎风差分计算这一问题（取 ）， 并在两个时刻上把数值计算结果与精确解进行比较。,解：方

12、程的精确解为：,如下图所示：,5.5.3 流速与网格线倾斜交叉引起的假扩散,多维问题中，当流速与网格线倾斜交叉时，会发生垂直于主流方向的假扩散。,例2：设两股速度相同而温度不同的气流相遇，气体的 ，其它物性相同且为常数。高温气流的温度为100，低温气流为0 。试分别对来流方向与x轴平行及成45交叉情形，采用迎风差分计算气流相遇后流场中的温度分布。,解：（1）若来流与x轴平行 因v = 0， = 0,依据迎风差分的定义，有： 因此上游的温度可以一直保持到下游。 （2）若来流与x方向呈45度角 由于， = 0及对称性得， N，E点位于P点的下游得， 于是,垂直于流动方向的扩散作用称为交叉扩散(cr

13、oss-diffusion)，与流向扩散一样，由一阶截差格式引起。 对于由迎风差分所引起的二维流动中在垂直于流速方向上的假扩散，假扩散的系数的表达式为：,速度的绝对值,速度与x轴的夹角,非常数源项的存在会使许多格式产生假扩散现象。,5.5.4 由非常数源项引起的假扩散,5.5.5 低阶格式引起显著数值计算误差的实例,Leonard证明，当P较大时，指数格式也具有一阶迎风格式的基本特性。 因而，在一部分国际学术刊物中一阶迎风、混合格式、指数格式及乘方格式均视为低阶格式。,一、Smith-Hutton问题,已知平面上二维流场 称为陡度系数，其值越大，进口阶梯形温 度分布越陡。 用二维、稳态无内热源

14、项的对流扩散方程来求解，引入Pe数做为参数，无量纲化后方程可表示为： 见下图：,在相同的网格划分下，采用一阶迎风等低阶格式得出得数值结果的误差明显高于采用QUICK等高阶格式的计算误差，只有在更加细密的网格下采用低阶格式才能获得具有足够准确度的精确解。,二、狭长竖直长方形空腔中的自然对流换热,5.6 可以克服或减轻假扩散的格式或方法,采用截差阶数较高的格式； 减轻流线与网格线之间的倾斜交叉现象或在构造格式时考虑到来流方向的影响。 5.6.1 采用高阶格式以有效地克服流向扩散,1、二阶迎风格式,对于 第一项为一般的迎风差分，第二项为用w界面上的梯度来代替P点的梯度引入的误差修正。,对于 二阶迎风

15、界面插值定义如下：,依据上述定义，在控制容积P内，一阶导数积分平均值的离散形式为： 从控制容积积分法导出的二阶迎风格式具有守恒特性。,2、三阶迎风格式,采用Taylor展开法来定义时，三阶迎风就是一阶导数具有三阶截差的偏差分格式：,如图所示：,3、QUICK格式,QUICK格式是通过提高界面上插值函数的阶数来提高格式截断误差。,当,曲率修正,对流项的QUICK格式具有三阶精度的截差，并具有守恒特性。 对一维对流-扩散问题，QUICK 格式的离散形式为： 其中,式中,4、采用高阶格式时近边界点的处理,在边界上采用二次插值； 采用一阶迎风或混合格式来处理边界条件。,5、高阶格式所形成的离散方程的求

16、解方法,采用交替方向五对角阵算法PDMA (Pentadiagonal matrix algorithm); 延迟修正法（deferred correction method）：,5.6.2 减轻或克服扩散的方法,1、对一阶迎风格式可采用有效扩散系数的方法,为物理问题本身所给出的扩散系数， 等为三个坐标方向上由一阶迎风格式所造成的交叉扩散系数，其值为： t为当量时间步长，,2、采用自适应网格技术以生成与流场相适应的网格,所谓的自适应网格技术是指根据数值计算结果，反过来修改网格疏密布置或网格线的走向，使之与所计算的具体问题相适应的网格生成技术。,3、采用斜中心差分,常规中心差分，对w界面：斜中心

17、差分：,5.7 对流-扩散方程离散形式的稳定性分析,5.7.1 数值计算常见的不稳定性问题 1、代数方程迭代求解过程的不稳定性(instability of solution procedure)；2、初值问题显式格式的不稳定性(instability of initial problem) ；3、对流项离散格式的不稳定性(instability of discretized convective term) 。,5.7.2 分析对流项离散格式不稳定性的方法,现有的分析对流项离散格式稳定性的方法有： 1、正型系数法；2、离散方程精确解分析法； 3、反馈灵敏度分析法； 4、符号不变原则。,5.7

18、.3 符号不变原则的基本思想及实施步骤,1、符号不变原则分析对流项离散格式稳定性的基本思想： 对流-扩散方程离散形式振荡的解是在代数方程迭代求解过程中形成的，利用稳态非线性问题迭代一个层次相当于线性非稳态问题前进一个时层，可以采用线性非稳态的对流-扩散方程来模拟迭代过程；,稳定性使格式固有的属性。一个不稳定的格式无论什么样的扰动都会不断被放大以致使数值解振荡，因而可以采用加入一个人工扰动的方法来分析； 用所研究的格式来离散对流项，扩散项采用 中心差分，在时间坐标上采用显式格式，以便于从已知的时层推向下一个时层； 采用离散扰动分析法来研究扰动的传递过程。,2、实施步骤,、把所研究的对流项格式用于

19、一维非稳态对流-扩散方程 的显式格式中，对对流项取三阶迎风（设u 0），则有：, 设初场均匀为零，在n时刻于i点引入一个扰动，在其它地点及其它时刻不再引入扰动，利用上述格式分析在(n+1)时刻在(i 1)点处扰动传递的情形； 从物理条件来考虑，要求： （即 与 的正负号应相同） 由于模型方程为线性方程（，u，均为已知常数），扩散项传递的扰动与对流项传递的扰动可以线性迭加。,5.7.4 符号不变原则的实施例子,例3：试分析所代表的三阶迎风格式的稳定性。解：将该式对节点(i+1)写出，不计入扩散项， 有：,所以 对于节点(i-1)，有 所以,符号不变原则要求： 由此得 三阶迎风的临界Pelect数

20、为3。,5.7.5 稳定性分析结果的讨论, 如果一个对流项的离散格式具有迁移特性，“符号不变”原则永远满足，因而该格式绝对稳定； 如果一个离散格式所定义的在节点i的一阶导数表达式或在(i+1/2)，(i-1/2)界面上函数插值的表达式含有下游的节点值，且其系数为常数，则该格式不具有迁移特性，该格式也必是条件稳定的； 对流项离散格式定义式中下游节点值的系数越小，该格式的临界Pelect数越大。,中心差分中下游节点项为 ,系数为1/2，QUICK格式中下游节点项为 ,系数为3/8,三阶迎风中下游节点项为 ,系数为2/6，Fromm格式中下游节点项为 ,系数为1/4，,上述分析是在下列条件下作出的：

21、（1）一维；（2）线性问题（，u，均为已知常数）；（3）无源项；（4）两点边值问题；（5）均匀网格。,5.7.6 对流项离散格式性能讨论,（1） 在满足稳定性条件的范围内，一般地说，截差较高的格式解的准确度要高一些； （2）采用非组合格式时，对流-扩散方程差分格式的稳定性与准确性常常相互矛盾，准确性比较高的格式，都不是无条件稳定的，而假扩散现象 相对严重的一阶迎风则是无条件稳定的；（3）现有分析格式稳定性的各种方法都基于5个假设，所得出的稳定性条件是最苛刻的要求。,5.8 多维对流-扩散方程的离散及边界条件 的处理,5.8.1 二维对流-扩散方程的离散1直角坐标系中的对流-扩散方程,引入在x与

22、y方向的对流-扩散总通量密度，则上式变为：即,2.用控制容积积分法进行离散,对控制容积P作时间与空间的积分，假设 以 近似地替代 ； 在x与y方向上的总通量密度Jx, Jy在各自的界面e, w及n, s上是均匀的，于是有：,其中 分别代表x方向上在e界面及w界面上的转移量，而 则是总面积y上的转移量。 则可得：V为控制容积得体积， 。,35种三点格式的界面总通量表达式,对Je :,即： 对Jw 即：,4五点格式的通用离散方程,将Js, Jn, Je, Jw的表达式代入离散方程，得:其中,5. 3种二维坐标系中界面流量、扩导及体积的计算式,5.8.2 三维对流-扩散方程的离散格式,其中,界面上的流量及扩导的计算式：,5.8.3 边界条件的处理, 入口边界：入口边界上的条件必须给定，一般是规定了入口边界上的分布； 中心线： 固体壁面：可分为一、二、三类边界条件。固体壁面为非渗透性时，壁面上, 出口边界：局部单向化假设：假定出口截面上的节点对第一个内节点已无影响，可以令边界节点对内节点的影响系数为零。使用条件：a. 在出口截面上无回流； b. 出口截面应离开感兴趣的计算区域比较远。,