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1、,第四章有限差分法的基本概念,4.1 引言4.2 导数的差分近似方法4.3 差分方程4.4 显式和隐式差分格式4.5 差分格式的基本性质4.6 数值耗散与数值色散,4.1 引言,(1) 离散化概念,计算域,控制方程,离散点,代数方程组,(2) 离散化网格,4.1 引言,discrete grids,复杂外形网格生成,(2) 离散化网格,4.1 引言,(3) 离散化过程,网格生成L(u)=0B(u)=0I(u)=0,4.1 引言,(4) 有限数值模型,计算域离散化,因变量离散分布,反映同一的物理特性和信息分析离散带来的伪物理效应,4.1 引言,(4) 有限数值模型,4.1 引言,偏微分方程的离散
2、方法：,有限差分法 Finite Difference Method（FDM） 有限体积法 Finite Volume Method （FVM） 有限元法 Finite Element Method （FEM） 谱方法 Spectral Method ,(5) 有限差分法,微商,差商,微分方程,差分方程,4.1 引言,向前差分 （前差）,(5) 有限差分法,向后差分 （后差）,中心差分（中心差）,4.1 引言,离散对象：,离散方法：,离散结果：,偏微分方程和定解条件,差商取代微商,有限节点值的有限个代数方程组的数值解,(5) 有限差分法,4.1 引言,基本问题：,判断方程的类型，选择合适的差分
3、离散方法；对解域的选取和网格划分；方程和定解条件的离散，构造逼近微分方程定解问题的差分方程；解的合理性研究。,(5) 有限差分法,4.1 引言,解的精度:数值解的误差估计；解的收敛性及收敛速度:与偏微分方程的一致性；解的稳定性：对误差传播的敏感程度；解的结构研究：逼近真实解的形式。,基本问题：,解的合理性研究：,差分余项效应数值耗散数值色散,(5) 有限差分法,4.1 引言,4.2 导数的差分近似方法,泰勒级数展开法待定系数法差分算子法,(1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,截断误差,一阶精度,一阶精度,空间前差,(1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一
4、阶偏导数,时间前差,一阶精度,(1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,一阶精度,空间后差,(1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,一阶精度,时间后差,(1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,二阶精度,空间中心差分,(1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,(1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,二阶偏导数,二阶精度,空间中心差分,(1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,二阶偏导数,二阶精度,空间中心差分,(1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,二阶偏导数,二阶精度,
5、空间中心差分,(1) 泰勒级数展开法,4.2 导数的差分近似方法,二阶偏导数,(2) 待定系数法,4.2 导数的差分近似方法,四阶精度五点中心差,二阶精度三点后差,二阶精度三点中心差,二阶精度,空间三点后差,(1) 待定系数法,4.2 导数的差分近似方法,一阶偏导数,(3) 差分算子法,4.2 导数的差分近似方法,4.2 导数的差分近似方法,(3) 差分算子法,例 1: E,例 2:,例 3:,D and ,D and ,D and ,(3) 差分算子法,应用： 1、构造高阶差分格式；2、求解截断误差。,习题：P115 4.6,4.2 导数的差分近似方法,4.3 差分方程,偏微分方程,代数方程
6、组,1) 判断控制方程数学性质；2) 网格生成；3) 控制方程 初始条件 边界条件,代数方程组；,4.3 差分方程,4)求解代数方程组；5)解的合理性分析:,相容性收敛性稳定性,网格效应差分余项效应伪物理效应,宏观特性,微观特性,4.3 差分方程,差分离散FTCS（时间前差空间中心差分格式）:,4.3 差分方程,微分方程,差分方程,截断误差,时间前差空间后差格式（FTBS）,时间前差空间前差格式（FTFS）, ,4.3 差分方程, ,时间前差空间中心差分格式（ Lax-Wendroff 格式）, ,4.3 差分方程,时间前差空间后差格式（FTBS）,4.3 差分方程,相同网格步长下的不同差分格
7、式的数值解有何差异？,问题：,4.3 差分方程,精确解：,计算域：,4.3 差分方程,FTBS格式：,FTFS格式：,4.3 差分方程,FTFS格式,4.3 差分方程,FTBS格式,4.3 差分方程,现象：,一阶精度FTFS格式的数值解发散，导致计算无法运行下去。,4.3 差分方程,FTBS格式：,FTFS格式：,4.3 差分方程,特征线 :,4.3 差分方程,FTBS:,差分方程应能正确反映与原微分方程相同的物理性质和信息。,4.3 差分方程,相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异？,同一差分格式下的不同时间步长的数值解有何差异？,问题：,4.3 差分方程,时间前差空间后差格式（FTB
8、S）,和,4.3 差分方程,FTBS格式,4.3 差分方程,FTBS格式,4.3 差分方程,现象：,一阶精度FTBS格式的时间步长受计算稳定性限制。,4.3 差分方程,相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异？,同一差分格式下的不同时间步长的数值解有何差异？,问题：,一阶精度格式和二阶精度格式的数值解与解析解的差异？,4.3 差分方程,FTBS格式：,Lax-Wendroff格式：,（空间一阶精度）,（空间二阶精度）,4.3 差分方程,FTBS格式,（空间一阶精度）,FTBS格式,数值耗散,4.3 差分方程,Lax-Wendroff格式,（空间二阶精度）,Lax-Wendroff格式,数值
9、色散,4.3 差分方程,现象：,一阶精度格式产生数值耗散效应；二阶精度格式产生数值色散效应。,4.3 差分方程,小结：,差分方程应能正确反映与原微分方程相同的物理性质和信息；需分析离散所带来的伪物理效应的表现及其控制。,4.3 差分方程,4.3 差分方程,习题：,求出方程,下述差分格式的截断误差：,4.4 显式和隐式差分格式,1) 显式差分格式,离散化：,解域离散：方程离散：初、边条离散,4.4 显式和隐式差分格式,1) 显式差分格式,差分格式：,4.4 显式和隐式差分格式,1) 显式差分格式,4.4 显式和隐式差分格式,2) 隐式差分格式,Crank-Nicolson 格式:,4.4 显式和
10、隐式差分格式,2) 隐式差分格式,Crank-Nicolson 格式:,4.4 显式和隐式差分格式,3) 对比,例:,FTCS:,4.4 显式和隐式差分格式,3) 对比,i= -4-3-2-101234,n=000 0 0 0000,n=100 0 - 0 00,n=200 -2 3 -2 00,n=30-3 6 -7 6-30,4.5 差分格式的基本性质,1) 差分格式的精度,截断误差,精度,时间阶、空间阶,2) 三种类型的解,偏微分方程精确解差分方程精确解差分方程数值近似解,实际误差：,4.5 差分格式的基本性质,2) 三种类型的解,实际误差：,离散误差:,舍入误差:,4.5 差分格式的基
11、本性质,3) 宏观特性,(ii) 收敛性:,(iii)稳定性:,(i) 相容性:,4.5 差分格式的基本性质,时间前差空间后差格式（FTBS）,和,例 1：,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,精确解：,计算域：,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,FTBS格式,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,FTBS格式,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,现象：,一阶精度FTBS格式的时间步长受计算稳定性限制。,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,FTCS:,CTCS:,例 2：,4) 差分格式的稳定性
12、分析,4.5 差分格式的基本性质,i= -4-3-2-101234,n=000 0 0 0000,n=100 0 - 0 00,n=200 -2 3 -2 00,n=30-3 6 -7 6-30,4) 差分格式的稳定性分析,i= 0 1 2 3,n+3,n+2,n+1,n,n-1,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,傅利叶级数：,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,4) 差分格式的稳定性分析,Von Neumann 方法,傅利叶级数：,舍入误差：,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基
13、本性质,舍入误差：,Von Neumann 准则:,放大因子：,Von Neumann条件是初边值问题稳定的必要条件。,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,FTCS 格式Richardson格式Crank-Nicolson格式,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,例：热传导方程,FTCS 格式：,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,例：热传导方程,稳定性条件:,Richardson 格式 (CTCS)：,绝对不稳定,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Vo
14、n Neumann 方法,例：热传导方程,稳定性条件:,Crank-Nicolson 格式：,稳定性条件:,绝对稳定,4) 差分格式的稳定性分析,4.5 差分格式的基本性质,Von Neumann 方法,例：热传导方程,习题:,下述差分格式的稳定性条件:,利用Von Neumann方法分析方程,4.5 差分格式的基本性质,4.6 数值耗散与数值色散,1) 修正方程,差分方程实际上所准确逼近的微分方程，称为该差分方程的修正方程，通常要求在修正方程中不包含有对时间的高阶导数项。修正方程是差分方程的微分表达式。,例 1:,FTCS差分格式:,修正方程:,4.6 数值耗散与数值色散,1) 修正方程,例
15、 2:,FTBS差分格式:,修正方程:,4.6 数值耗散与数值色散,1) 修正方程,修正方程:,4.6 数值耗散与数值色散,1) 修正方程,FTBS格式：,Lax-Wendroff格式：,（空间一阶精度）,（空间二阶精度）,例：,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,精确解：,计算域：,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,FTBS格式,（空间一阶精度）,FTBS格式,数值耗散效应,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,Lax-Wendroff格式,（空间二阶精度）,Lax-Wendroff格式,数值色散效应,2) 差分方程数值解的性质,4
16、.6 数值耗散与数值色散,现象：,一阶精度格式产生数值耗散效应；二阶精度格式产生数值色散效应。,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,微分方程精确解：,FTBS 差分格式：,差分方程精确解：,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,微分方程精确解：,差分方程精确解：,波速：,波幅：,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,数值色散,数值耗散,奇阶项效应,偶阶项效应,修正方程:,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,x,u,t,x,u,t,t1,t1,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,耗散：,色散：,波的振
17、幅发生变化,波的相位发生变化,2) 差分方程数值解的性质,4.6 数值耗散与数值色散,正耗散,负耗散,数值耗散效应,3) 数值耗散,4.6 数值耗散与数值色散,数值耗散效应,3) 数值耗散,4.6 数值耗散与数值色散,数值粘性,耗散现象,精确解,数值耗散效应,3) 数值耗散,4.6 数值耗散与数值色散,色散现象,精确解,数值色散效应,4) 数值色散,4.6 数值耗散与数值色散,色散现象,精确解,数值色散效应,4) 数值色散,4.6 数值耗散与数值色散,修正方程:,人工粘性,4) 数值色散,4.6 数值耗散与数值色散,人工粘性,4) 数值色散,4.6 数值耗散与数值色散,振荡解,为实数，解与 同形；,人工粘性,舍入误差,4.6 数值耗散与数值色散,5) Hirt 稳定性分析,微分方程传播规律,幅值,相位,5) Hirt 稳定性分析,4.6 数值耗散与数值色散,若,则,5) Hirt 稳定性分析,4.6 数值耗散与数值色散,习题:,下述差分格式的修正方程:,推导方程,4.6 数值耗散与数值色散,并分析此格式的差分余项效应。,下述差分格式的修正方程，,推导方程,习题:,4.6 数值耗散与数值色散,
