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1、计算流体力学CFD(2),离散化的基本方法,引言,引言,理论上，根据偏微分方程的解能得到流场中任意点上流场变量的值。,离散网格点,引言,实际上，我们采用代数差分的方式将偏微分方程组转化为代数方程组。,离散网格点,引言,通过求解代数方程组获得流场中离散网格节点上的变量值。,离散网格点,引言,从而，使得原来的偏微分方程组被“离散化”了。,离散网格点,引言,有限差分基础,有限差分基础,离散网格点,泰勒级数展开：,有限差分基础,泰勒级数展开：,差分表达式,截断误差,有限差分基础,一阶向前差分：,上述差分表达式用到了(i,j)点及其右边(i+1,j)点的信息，没有左边(i-1,j)点的信息，且精度为一阶
2、,有限差分基础,离散网格点,泰勒级数展开：,有限差分基础,泰勒级数展开：,有限差分基础,一阶向后差分：,上述差分表达式用到了(i,j)点及其左边(i-1,j)点的信息，没有右边(i+1,j)点的信息，且精度为一阶,有限差分基础,两式相减得：,有限差分基础,得：,有限差分基础,二阶中心差分：,上述差分表达式用到了左边(i-1,j)点及右边(i+1,j)点的信息， (i,j)点位于它们中间，且精度为二阶,有限差分基础,Y方向的差分表达式：,有限差分基础,两式相加得：,有限差分基础,得：,二阶中心差分（关于二阶导数）,有限差分基础,对Y方向的二阶导数有：,二阶中心差分（关于Y方向二阶导数）,有限差分
3、基础,下面求二阶混合偏导数,上式对y求导得：,有限差分基础,下面求二阶混合偏导数,上式对y求导得：,有限差分基础,下面求二阶混合偏导数,两式相减得：,6,有限差分基础,下面求二阶混合偏导数,6,有限差分基础,二阶混合偏导数的二阶精度中心差分,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,有限差分基础,二阶偏导数，四阶精度中心差分,高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一个时间步或空间步都需要更多的计算机时间。,有限差分基础,在边界上怎样构造差分近似？,边界网格点,有限差分基础,向前差分，只有一阶精度。,边界
4、网格点,有限差分基础,在边界上如何得到二阶精度的有限差分呢？,边界网格点,有限差分基础,不同于前面的泰勒级数分析，下面采用多项式来分析。,边界网格点,有限差分基础,设,边界网格点,在网格点1，,在网格点2，,在网格点3，,有限差分基础,边界网格点,得,有限差分基础,边界网格点,对y求导得：,在边界点1，,有限差分基础,边界网格点,得：,有限差分基础,边界网格点,根据,知,为三阶精度,有限差分基础,边界网格点,故,为两阶精度,为三阶精度,有限差分基础,边界网格点,为单侧差分,差分方程,差分方程,对一个给定的偏微分方程，如果将其中所有的偏导数都用有限差分来代替，所得到的代数方程叫做差分方程，它是偏
5、微分方程的代数表示。,差分方程,考虑非定常一维热传导方程：,差分方程,差分方程,差分方程,差分方程,偏微分方程：,差分方程：,截断误差：,差分方程,差分方程是一个代数方程，如果在右图所示区域内所有网格点上都列出差分方程，就得到一个联立的代数方程组。,差分方程,当网格点的数量趋于无穷多，也就是,时，差分方程能否还原为原来的微分方程呢？,差分方程,截断误差：,截断误差趋于零，从而差分方程确实趋近于原微分方程。,差分方程,从而差分方程确实趋近于原微分方程，,如果，,截断误差趋于零，,此时我们说偏微分方程的这个有限差分表示是相容的。,差分方程,原微分方程与相应的差分方程之间的区别,截断误差：,差分方程
6、,原微分方程的解析解与差分方程的解之间的区别,离散误差：,显式方法与隐式方法,显式方法,显式方法,显式方法,上述方程是抛物型方程，可以推进求解，推进变量是时间t,显式方法,边界条件已知,显式方法,边界条件已知,显式方法,显式方法中每一个差分方程只包含一个未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方法显式地求解。显式方法是最简单的方法。,隐式方法,隐式方法,克兰克尼科尔森格式,隐式方法,对于排列在同一时间层所有网格点上的未知量，必须将它们联立起来同时求解，才能求出这些未知量，这种方法就定义为隐式方法。,隐式方法,由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。隐式方法比显式方法需要更多
7、、更复杂的计算。,隐式方法,隐式方法,A，B，Ki 均为已知量,隐式方法,A，B，Ki 均为已知量,隐式方法,在网格点2：,A，B，Ki 均为已知量,T1 为边界条件，已知量,隐式方法,在网格点3：,A，B，Ki 均为已知量,在网格点4：,在网格点5：,隐式方法,A，B，Ki 均为已知量,在网格点6：,T7 为边界条件，已知量,隐式方法,于是有关于T2，T3，T4，T5，T6这五个未知数的五个方程,A，B，Ki 均为已知量,隐式方法,写成矩阵形式：,隐式方法,系数矩阵是一个三对角矩阵，仅在三条对角线上有非零元素。,求解线性代数方程组的标准方法是高斯消去法。应用于三对角方程组，通常采用托马斯算法
8、（国内称为追赶法）求解。,显式方法与隐式方法的比较,显式方法与隐式方法的比较,对于显式方法，一旦x取定，那么t的取值必须受到稳定性条件的限制，其取值必须小于等于某个值。否则，计算不稳定。因此，t必须取得很小，才能保持计算稳定，要算到某个给定的时间值，程序要运行很长时间。,显式方法与隐式方法的比较,隐式方法没有稳定性限制，可以取比显式方法大得多的t，仍能保持计算稳定。要计算某个给定的时间值，隐式方法所用的时间步数比显式方法少很多。,显式方法与隐式方法的比较,对某些应用来说，虽然隐式方法一个时间步的计算会比显式方法花的时间长，但由于时间步数少，总的运行时间可能比显式方法少。,显式方法与隐式方法的比
9、较,另外，当t取得较大时，截断误差就大，隐式方法在跟踪严格的瞬态变化（未知函数随时间的变化）时，可能不如显式方法精确。,不过，对于以定常态为最终目标的时间相关算法，时间上够不够精确并不重要。,显式方法与隐式方法的比较,当流场中某些局部区域的网格点分布很密，采用显式方法，小的时间步长会导致计算时间特别长。,例如，高雷诺数粘性流，物面附近的流场会产生急剧的变化，因此，物面附近需要更密的空间网格。,在这种情况下，若采用隐式方法，即使对于很密的空间网格，也能采用较大的时间步长，就会减少程序运行时间。,误差与稳定性分析,误差与稳定性分析,在从一个推进步进行到下一步时，如果某个特定的数值误差被放大了，那么
10、计算就变成不稳定。如果误差不增长，甚至在从一个推进步进行到下一步时，误差还在衰减，那么计算通常就是稳定的。,误差与稳定性分析,A=偏微分方程的精确解（解析解）,D=差分方程的精确解,离散误差=A-D,误差与稳定性分析,D=差分方程的精确解,舍入误差=N-D,N=在某个有限精度的计算机上实际计算出来的解 （数值解）,N=D+,误差与稳定性分析,数值解N=精确解D+误差,数值解N满足差分方程，于是有,误差与稳定性分析,数值解N=精确解D+误差,精确解D也必然满足差分方程，于是有,误差与稳定性分析,数值解N=精确解D+误差,两式相减得，误差也满足差分方程：,误差与稳定性分析,当求解过程从第n步推进到
11、第n+1步时，如果i衰减，至少是不增大，那么求解就是稳定的；反之，如果i增大，求解就是不稳定的。也就是说，求解要是稳定的，应该有：,误差与稳定性分析,根据von Neumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法，设误差随空间和时间符合如下Fourier级数分布：,则,误差与稳定性分析,稳定性要求,故放大因子,误差与稳定性分析,下面采用von Neumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法分析如下差分方程的稳定性：,由于误差也满足差分方程，故有,误差与稳定性分析,由于误差也满足差分方程，故有,而,则,误差与稳定性分析,解得,放大因子,误差与稳定性分析,要使,放大因子,必须满足,误差与稳定性分析,上式就是差分方
12、程,的稳定性条件。,对于给定的x，t的值必须足够小，才能满足上述稳定性条件，以保证计算过程中误差不会放大。,误差与稳定性分析,稳定性条件的具体形式取决于差分方程的形式。,的差分方程,是无条件不稳定的。,比如，一阶波动方程：,误差与稳定性分析,但如果用,则,（Lax方法）,误差与稳定性分析,令误差,则放大因子,式中,误差与稳定性分析,则放大因子,稳定性要求,则,误差与稳定性分析,稳定性要求,式中的C称为柯朗(Courant)数。,误差与稳定性分析,稳定性要求,上式称为柯朗弗里德里奇列维(Courant-Friedrichs-Lewy)条件，一般写成CFL条件。,误差与稳定性分析,下面来看CFL条件的物理意义。,CFL条件：,也是二阶波动方程：,的稳定性条件。,误差与稳定性分析,下面来看CFL条件的物理意义。,二阶波动方程：,的特征线为,CFL条件的物理意义：要保证稳定性，数值解的依赖区域必须全部包含解析解的依赖区域。,误差与稳定性分析,CFL条件的物理意义：要保证稳定性，数值解的依赖区域必须全部包含解析解的依赖区域。,误差与稳定性分析,
