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1、第五节 控制系统的稳定性分析,一、系统稳定的充分与必要条件,稳定性：,传递函数的一般表达式：,nm,系统输出拉 氏变换：,系统受外作用力后,其动态过程的振荡倾向和系统恢复平衡的能力。,稳定,不稳定,系统单位阶跃响应：,c(t)=A0+A1es1t+Anesnt,稳定的系统其瞬态 分量应均为零。,即：,系统稳定的充分与必要条件：,系统所有特征根的实部小于零,即特征方程的根位于S左半平面。,二、劳斯稳定判据,根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。,第五节 控制系统的稳定性分析,劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定
2、的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。,下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。,根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：,设系统的特征方程为,a0sn +a1sn-1 + +an-1s+an=0,a0 a2 a4 ,a1 a3 a5 ,b42,sn-3,s0,sn,sn-1,sn-2,b31,b32,b33,b31=,a1a2,-a0a3,a1,b41,b32=,a1a4,-a0a5,a1,b41=,b31a3,-b32a1,b31,b42=,b31a5,-b33a1,b31,b43,bn+1,第五节 控制系统的稳定性分析,系统稳定的条件：,(1) 特征方程式各项
3、系数都大于零。,(2) 劳斯表中第一列 元 素均为正值。,第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。,例 已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。,解：,s4+2s3+3s2+4s+5=0,劳斯表如下：,1 3 5,s1,s0,s4,s3,s2,b31,b32,b41,b51,2 4,b31=,2*3,-1*4,2,=1,1,b32=,2*5,-1*0,2,= 5,5,b41=,1*4,-2*5,1,=-6,-6,b51=,-6*5,-1*0,-6,= 5,5,有两个正实部根，系统不稳定。,第五节 控制系统的稳定性分析,例 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。,闭环传递函数
4、,特征方程:,s3+14s2+40s+40K=0,第五节 控制系统的稳定性分析,解：,劳斯表:,1 40,s3,s2,14 40K,s1,b31,b31=,14*40,-1*40K,14,s0,b41,40K,系统稳定的条件:,0,560-40K0,40K0,14K0,如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。,第五节 控制系统的稳定性分析,下面举例说明:,该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。,此时，可用一个接近于零的很小的正数来代替零，完成劳斯表的排列。,例 已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。,劳斯表为:,系统有一对纯虚根,s3+2s
5、2+s+2=0,解：,1 1,s3,s2,2 2,s1,b31,=0,s0,b41,2,通过因式分解验证:,s3+2s2+s+2=0,(s+2)(s2+1)=0,s1=-2,s2.3=j,第五节 控制系统的稳定性分析,b31=,2*1,-2*1,2,=2,b41=,-2*0,不稳定,例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。,解：,s3-3s+2=0,方程中的系数有负值，系统不稳定。,劳斯表为:,1 -3,s3,s2,0 2,s1,b31,b31=,s0,b41,2,通过因式分解验证:,s3-3s+2,=(s-1)2(s+2)=0,s1.2=1,s3=-2,第五节 控
6、制系统的稳定性分析,第一列元素的符号变化了 两次,有一对不稳定根。,如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。,第五节 控制系统的稳定性分析,下面举例说明:,此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式对s求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。,例 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。,由为零上一行的元素 组成辅助多项式：,s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0,解：,劳斯表为:,1 8 20 16,s6,s5,2 12 16,s4,2,s3,0,16,12,P(s)=2s4+12s
7、2+16,=8s3+24s,代入,0,8,24,s2,16,6,8/3,s1,s0,16,劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。,系统有虚根,不稳定。,第五节 控制系统的稳定性分析,三、结构性不稳定系统的改进措施,调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。,如：,闭环传递函数：,Ts3+s2+K=0,特征方程是式：,由于特征方程中少了s项，无论K取何值系统总是不稳定。,第五节 控制系统的稳定性分析,解决的方法有以下两种：,1改变环节的积分性质,积分环节外加单位负反馈,系统结构图为:,第五节 控制系统的稳定性分析,系统的闭环传递函数为,特征方程式:,Ts3+(1+T)s2+s+K=0,劳斯表:,T 1,s3,1+T K,s2,s1,K,s0,系统稳定的条件,1+T-TK0,K0,2加入比例微分环节,系统中加入比例微分环节结构图,系统的闭环传递函数:,第五节 控制系统的稳定性分析,劳斯表:,s3,1 K,s2,s1,K,s0,系统稳定的条件:,K0,即,K0,精品课件！,精品课件！,作业习题：,3-11 (1) (3),3-14,第五节 控制系统的稳定性分析,3-13,
