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1、1,第 6 章 力 法,2,目 录,6-1 超静定结构和超静定次数6-2 力法的基本概念6-3 力法解超静定刚架和排架6-4 力法解超静定桁架和组合结构6-5 力法解对称结构6-6 力法解两铰拱6-7 力法解无铰拱6-8 支座移动和温度改变时的力法分析6-9 超静定结构位移的计算6-10 超静定结构计算的校核6-11 用求解器进行力法计算6-12 小结,3,一、超静定结构的组成,超静定结构与静定结构的区别：,几何特征: 超静定结构是有多余约束的几何不变体系 静定结构是无多余约束的几何不变体系,静力特征: 仅由静力平衡条件无法全部求解超静定结构 的内力和反力 静定结构的内力和反力可以全部求解,超
2、静定结构的内力计算,不能单从静力平衡条件求出，而必须同时考虑变形协调条件,6-1 超静定结构和超静定次数,4,超静定结构的求解方法总体思想：同时考虑“变形、本构、平衡”。基本方程中的未知量既有力（或应力）也有位移（或应变），选择不同类型的物理量作为基本未知量对应产生了三种不同的求解方法。以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上，将本构写成用力表示位移的形式，代入几何方程求解，这时最终方程是以力的形式表示的几何方程，这种分析方法称为力法。以位移作为基本未知量，在自动满足几何方程的基础上，将本构写成用位移表示力的形式，代入平衡方程，当然这时最终方程是用位移表示的平衡方程，这种分析方法称为位移
3、法。如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移约束和变形协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法。,平衡方程力（或应力）的表达式 基本方程 本构（物理）方程力与位移（或应力与应变）关系 几何方程位移（或应变）的表达式,6-1 超静定结构的概念,School of Civil Engineering, Tongji Univ.,Strucural Analysis,5,“力法”的发展法国的纳维于1826年提出了求解超静定结构问题的一般方法（基本方程）。19世纪30年代，由于桥梁跨度的增长，出现了金属桁架结构。从1847年开始的数十年间，学者们应用图解法、解析
4、法等研究静定桁架的受力，这奠定了桁架理论的基础。1864年英国的麦克斯韦创立了单位荷载法和位移互等定理，并用单位荷载法求出桁架的位移，由此学者们终于得到了求解超静定问题的方法力法。土木工程专业的力学可分为两大类，即“结构力学类”和“弹性力学类”。“结构力学类”包括理论力学、材料力学和结构力学，其分析方法具有强烈的工程特征，简化模型是有骨架的体系（质点、杆件或杆系），其力法基本未知量一般是“力”，方程形式一般是线性方程。“弹性力学类”包括弹塑性力学和岩土力学，其思维方式类似于高等数学体系的建构，由微单元体（高等数学中的微分体）入手分析，简化模型通常是无骨架的连续介质，其力法基本未知量一般是“应力
5、”，方程形式通常是微分方程。,6-1 超静定结构的概念,6,二、超静定次数,从几何构造看,超静定次数 = 多余约束力的个数 = 未知力个数 平衡方程的个数,超静定次数 = 多余约束的个数,从静力分析看,2次超静定,7,4次超静定,6次超静定,3次超静定,8,判断超静定次数时，应注意:,（1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束。,（2）撤去一铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束。,（3）撤去一固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。,（4）在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束。,不要把原结构拆成一个几何可变体系。即不能去掉必要约束,要把全部多余约束都拆除,9,6-2 力法的基本
6、概念,基本思路,力法的基本未知量,10,基本思路,力法的基本体系,11,基本思路,过大,过小,基本体系转化为原来超静定结构的条件是： 基本体系沿多余未知力X1方向的位移与原结构相同,变形协调方程,12,力法的基本方程,13,：荷载单独作用下沿X1方向的位移,：单位力X1=1作用下沿X1方向的位移,14,15,力法求解的基本步骤,选取基本未知量 建立力法基本方程 求解系数11和自由项1P 解方程，求基本未知量 作内力图,16,3. 思考与练习,选择不同的多余约束力作为基本未知量， 力法的基本体系？ 力法的基本方程？ 变形协调条件的物理意义？,17,例1：力法作出图示结构的弯矩图，各杆EI=常数。
7、,18,例2：力法作出图示结构的弯矩图，各杆EI=常数。,19,4. 多次超静定结构的计算,基本体系B点的水平位移和竖向位移等于零，即,20,力法的基本体系不是唯一的,!瞬变体系不能作为力法的基本体系,21,力法基本方程？,22,n 次超静定结构的力法典型方程：, 柔度系数，j方向的单位力引起的i方向的位移, 自由项， 荷载引起的i方向的位移。,23,6-3 力法解超静定刚架和排架, 计算刚架和排架位移时，为了简化，通常忽略轴力和剪力 的影响； 轴力的影响在高层刚架的柱中比较大，需要考虑； 剪力的影响在短而粗的杆件中比较大，需要考虑；,24,例：,力法计算图示超静定刚架，杆长为4m，各杆EI=
8、常数。绘出内力图。,25,例6-1：,试作图示结构的内力图。I1:I2=2:1,26,排 架,27,例：,试作图示结构的弯矩图。 E为常数,28,例6-2 试求在所示吊车荷载下的内力。已知IS1=10.1104cm4 ，IX1=28.6104cm4，IS2=16.1104cm4 ，IX2=81.8104cm4，MH= FPH e =43.2kN.m ，M E= FPE e =17.6kN.m 。,（2）列出力法方程,11X1+ 12X2 +1P=021X1+ 22X2+ 2P=0,解,（1）选取基本体系,29,（3）计算系数和自由项,图(m),图(m),图(kNm),30,（4）求多余约束力,
9、（5）作M图,31,6-4 力法解超静定桁架和组合结构,例：作出图示桁架结构的内力图。EA=常数。,1. 基本未知量,2. 力法的基本方程,3. 系数与自由项的计算,4. 解方程,5. 作内力图,0.396P,0.396P,0.396P,-0.604P,-0.854P,-0.56P,32,例 6-3 求图示超静定桁架的轴力。各杆材料相同，截面面积在表 6.1中给出,（2）列出力法方程,11X1+1P=0,解,（1）选取基本体系,33,（3）计算系数和自由项,图,图（kN）,34,（4）解方程,（5）作FN图,35,例6-4 求图示超静定组合结构的内力图。AD杆：EI=1.40104kN.m2；
10、 EA=1.99106kN；AC、CD杆：EA=2.56105kN；BC杆：EA=2.02105kN,（2）列出力法方程,11X1+1P=0,解,（1）选取基本体系,36,图,（3）计算系数和自由项,图(m),图(kNm),37,（4）求多余约束力,（5）作M图、FN图,没有桁架支撑，横梁弯矩明显增大。,图（kN）,图(kNm),（6）讨论,图(kNm),图(kNm),若下部桁架的截面很大，横梁最大弯矩可进一步减小。,38,内容回顾,n次超静定结构的力法典型方程：,6-5 力法解对称结构,39,6-5 力法解对称结构,例1：,1. 结构的几何形式和支承情况对某轴对称 2. 杆件的截面和材料性质
11、也对此轴对称（EI等）,对称轴,对称轴,对称轴,对称轴,对称中心,1. 结构的对称性：,40,2. 荷载的对称性,对称荷载,反对称荷载,41,3. 力法计算对称超静定结构,例2：,力法基本方程：,42,3. 力法计算对称超静定结构,例2：,力法基本方程：,对称结构承受对称荷载时，反对称性未知量等于零,承受对称荷载,43,3. 力法计算对称超静定结构,例2：,力法基本方程：,对称结构承受反对称荷载时，对称性未知量等于零,承受反对称荷载,44,例2：,承受一般性荷载,45,4. 小结,对称结构简化计算的要点如下：,选用对称的基本体系及对称或反对称性未知量； 对称荷载作用时，只需考虑对称性未知量；
12、反对称荷载作用时，只需考虑反对称性未知量； 非对称荷载作用时，可直接计算或进行荷载分解 处理。,46,例6-5：作图示对称刚架在水平力FP作用下的弯矩图。,47,例6-5：,48,设：,弯矩图：,当k值很小时，即横梁比立柱的小很多。,当k值很大时，即横梁比立柱的大很多。,49,5. 思考与讨论,如果,结构是反对称的，力法的计算？,反对称结构承受对称荷载时，对称性未知量等于零,反对称结构承受反对称荷载时，反对称性未知量等于零,50,6-6 力法解两铰拱,51,一.不带拉杆的两铰拱,1.基本未知量,2.基本方程,11X1+1P=0,3.系数和自由项的计算,4.解方程,5.内力计算,52,两铰拱的计
13、算和受力特点：,从力法计算来看，两铰拱和两铰刚架基本相同 11和 1P 按曲杆公式用积分计算，而不能采用 图乘法。且在计算 11 时，除弯矩的影响外， 有时还需考虑轴力的影响,从受力特性来看，两铰拱与三铰拱基本相同。内 力计算公式在形式上与三铰拱完全相同，只是水 平推力FH 有所不同。在三铰拱中，推力FH 是由 平衡条件求得，在两铰拱中，推力FH 则由变形条 件求得,53,二.带拉杆的两铰拱,1.基本未知量,2.基本方程,11X1+1P=0,3.系数和自由项的计算,4.解方程,5.内力计算,54,三.比较分析,不带拉杆的两铰拱,带拉杆的两铰拱,：同不带拉杆的两铰拱,：同简支曲梁,55,（2）力
14、法基本方程,例6-6 求抛物线两铰拱在承受半跨均布荷载时的水平推力。,解,（3）计算系数和自由项,（1）计算简化假设,忽略轴向变形；近似取 ds=dx，cos=1,56,（4）求多余未知力,（5）内力计算,57,6-7 力法解无铰拱,利用对称性加以简化,利用刚臂进一部简化,目的：利用刚臂，使余下的副系 数为零,关键技术：刚臂长，即O点的位置,58,在xy坐标系下,在 坐标系下,59,弹性面积对x轴的面积矩,弹性面积,则,d为弹性面积的形心弹性中心,弹性中心法,60,弹性中心法计算系数和自由项的公式,61,6-8 支座移动和温度改变时的力法分析,无内力有变形,有内力有变形,62,63,超静定结构
15、有多余约束。因此，超静定结构在没有荷载作用时，只要有发生变形的因素，如支座移动、温度变化、材料收缩、制造误差等，都可以产生内力，这种内力称为自内力。,6-8 支座移动和温度改变时的力法分析,64,一. 支座移动时的计算,例6-10: 求图示等截面梁自内力。,1. 力法的基本体系,2. 力法的基本方程,11X1+1c=-a,3. 系数和自由项,4. 解方程,5. 作内力图,65,一. 支座移动时的计算,例6-10: 求图示等截面梁自内力。,1. 力法的基本体系,2. 力法的基本方程,3. 系数和自由项,4. 解方程,5. 作内力图,66,一. 支座移动时的计算,例6-10: 求图示等截面梁自内力
16、。,力法方程的右侧可不为零；,力法方程的自由项是基本结构由支座位移产生的；,内力全部是由多余约束引起的；,内力与杆件EI的绝对值有关；,67,二. 温度变化时的计算,例 6-12 图示刚架,浇注混凝土时温度为15C，冬天混凝土外皮温度为-35C，内皮温度为15C。欲求此时由于温度变化在刚架中引起内力。各杆EI为常数，E=21010MPa，=0.00001。,1. 力法的基本体系,2. 力法的基本方程,3. 系数和自由项,68,4. 解方程,5. 作内力图,69,力法方程的形式与荷载作用时相同，但自由项不同。内力全部由多余未知力产生。 温度变化引起的内力与杆件 EI的绝对值成正比。弯矩图的纵坐标
17、出现在降温面一侧。,70,6-9 超静定结构位移的计算,只要多余约束力满足力法方程，则基本体系的受力与变形就与原结构完全相同。,求原结构位移的问题就归结为求基本体系（静定结构）的位移问题。,基本体系在荷载和多余约束力作用下的弯矩图与原结构相同，因此，只需将单位力加在基本结构作出单位弯矩图，再与原结构的弯矩图图乘即可。,71,例求在均布荷载作用下梁的中点C的挠度 f 。,72,73,74,单位荷载法计算超静定结构位移的一般公式为：,只有荷载作用时，位移计算公式为：,只有支座位移作用时，位移计算公式为：,75,只有温度改变作用时，位移计算公式为：,76,例6-14 试求例6-10中超静定梁由于支座
18、位移引起的跨中挠度。,解,77,6-10 超静定结构计算的校核,关于校核工作,（1）要重视校核工作，培养校核习惯。未经校核的计算书不是正式的计算书。,（2）校核并不是简单的重算一遍，要培养校核的能力，包括用不同方法进行定量校核的能力，运用估算或根据结构的力学性能对结果的合理性进行定性判断的能力。,（3）要培养科学作风，计算书要整洁易读，层次分明。这样可少出差错，也便于校核。,（4）校核要分阶段进行，及时发现小错误，避免大返工。,78,关于力法计算的阶段校核工作,（1）计算前要校核计算简图和原始数据，检查基本结构是否可变。,（2）求系数和自由项时，先要校核内力图，并注意正负号。,（3）方程解完后
19、，应将解答代回原方程，检查是否满足。,（4）最重要的是对最后内力图进行总检查、总校核。,79,关于最后内力图的校核,1、平衡条件的校核,从结构中任意取出的一部分，都应满足平衡条件。,2、变形条件的校核,一般作法是：任取一个基本结构，任取一个多余未知力，然后根据最后的内力图算出沿此多余约束力方向的位移，并检查是否与原结构的相应位移相等。,一般作法：取出一个杆件或一个结点检查是否满足平衡方程。,80,荷载作用,梁和刚架,封闭框架,EI=常数,81,平衡条件校核,满足平衡条件！,82,变形条件不满足，计算结果错误。,83,（1）力法的计算原理: 静定基本结构。 （2）确定基本未知量和选择基本体系:去掉的多余约束的多余约束力基本未知量。去掉多余约束后得到的静定结构基本结构。将多余未知力和原荷载（或支座移动、温度变化）作用在基本结构上基本体系。（3）建立力法方程:力法方程代表变形条件位移应与原结构在相应处的位移相等。,6-12 小结,84,（4）力法方程中系数和自由项的计算:基本结构（静定结构）的位移，单位荷载法计算。（5）超静定结构的内力计算与内力图的绘制:a)静力平衡， b)叠加计算内力和绘制内力图。（6）对称性的利用和简化: 对称的基本体系(对称或反对称的基本未知量)。（7）超静定结构的位移计算和变形条件的校核:单位力可以加在任一基本结构上。可取原结构中已知位移条件进行校核。,
