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1、1,第五章 刚体的定轴转动,rotation of rigid-body with a fixed axis,基本概念：角动量 角冲量 力矩 刚体基本规律： 角动量定理 角动量守恒定律 刚体定轴转动的运动规律作业: 练习4 刚体定轴转动的描述 刚体定轴 转动定律,5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律,教学基本要求：,1.理解角动量、力矩的概念，掌握质点在平面内运动的角动量守恒定律。2.能运用以上规律分析和解决有关质点的简单力学问题。,3.理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.,思考（1）下面两种情形，它们的动量各为多少？,可见，只用动量还不能准确描述转动物体的运动状态，为此引
2、入一个新物理量角动量（动量矩）,总动量为零!,力的时间累积效应,冲量、动量、动量定理.,力矩的时间累积效应,角冲量、角动量、角动量定理.,（2）改变转动物体的运动状态，与力和力的作用位置有关力矩,大小：,方向：右手螺旋定则判定。,力臂:,力矩是力与力臂的乘积。,定义：,为作用在质点上的力 对参考点O的力矩。,是参考点O到力的作用点P的位矢。,1、力矩,力对定点O的力矩,5.2质点的角动量定理与角动量守恒定律,方向的判定： 右手螺旋定则,右手螺旋定则：弯曲的四指由 经小于 的角转到 的方向，与四指垂直的大拇指的指向为力矩 的方向。,垂直于 和 所决定的平面.,单位：Nm（不能写成功的单位J）,1
3、）力矩与位矢有关，不同的参考点位矢不相等，说到力矩时必须指明是相对于哪一点而言的。2）当力F的作用线通过所选的参考点时，力F对该点的力矩为零。,3）在直角坐标系中，力矩可表示为行列式：,注意：,力矩 ：,力矩沿某坐标轴的分量通常称作力对该轴的力矩。,如：力对O点的力矩 在通过O点的任一轴线（如 z 轴）上的分量，叫做力对 z 轴的力矩，用 表示。,力矩在各坐标轴的分量为：,2、质点的角动量（动量矩）,质量为 的质点在t时刻以速度 运动，质点相对于原点的角动量定义为：,大小：,方向：,质点对定点O的角动量,是质点相对于原点 O 的位矢,2）角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明 是相对哪一参照点
4、而言；,3）作圆周运动质点的角动量。,1）角动量是描述转动状态的物理量；,说明：,质点以角速度 沿半径为 的圆周运动，相对圆心的角动量大小为：,4）在直角坐标系中，角动量的表达式为：,5）角动量的单位为: kg m2/s,角动量在各坐标轴的分量为：,例1：一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点，此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 ，求： 此时刻质点对三个参考点的动量矩。,解：,解：该质点的位置矢量,质点的动量,例2：（P80例5-2）质量为2.0kg的质点位于x=2.0m,y=1.0m处时，速度为 ，作用在质点上的力为 ，求质点对原点O角动量和力 对原点的
5、力矩。,例题：（P80例5-2）质量为2.0kg的质点位于x=2.0m,y=1.0m处时，速度为 ，作用在质点上的力为 ，求质点对原点O角动量和力 对原点的力矩。,问题的提出,问题的提出,3、质点的角动量定理,于是有,力矩是引起角动量变化的原因,可见:,而,力矩,3、质点的角动量定理,角动量定理的微分形式,角动量定理的积分形式,作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对同一参考点的角动量随时间的变化率.,对同一参考点 O ，质点所受的角冲量等于质点角动量的增量.,力矩对时间的积累称为角冲量（冲量矩）,3、质点的角动量定理,注意：,（2）质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果-角冲量。,
6、角动量定理,（1）角动量定理中的力矩和角动量都必须是相 对于同 一参考点而言的。,如果对于某一固定点，质点所受的合力矩为零，则质点对该点的角动量为一恒矢量。,4、质点的角动量守恒定律,当 时， 恒矢量。,1）质点的角动量守恒的条件是合力矩为零。,2）有心力问题,如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定中心称为力心。有心力相对于力心的力矩恒为零。,3）角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，,由：,例题： 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为0 。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度
7、。,解：,以小孔 O 为原点,绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。,则小球对 O 点的角动量守恒。,初态：,末态：,角动量守恒：,解：,角动量守恒,近地点,远地点,则,且,分析：行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由于该引力的方向在任何时刻总是指向太阳中心，因此行星受到的引力为有心力，故行星对太阳中心的角动量守恒。,例题 一颗地球卫星，近地点距离为 ，速率 ，远地点距离为 ，求该点的卫星速率。,一、 刚体（理想模型） ：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。（或任意两质点间距离保持不变的特殊质点系）。,5.1 刚体定轴转动的描述,刚体平动可以作为一质点,特点：各点位移、速度、加速度均相
8、同。,二、刚体基本运动形式： 平动、转动。,1、平动：刚体内任意两点间连线的空间方向总是保持不变。,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。,刚体的平面运动。,定轴转动的特点,1） 刚体上所有质点都绕着定轴作圆周运动，圆 面垂直于转轴线，称为转动平面；,所以，刚体绕定轴转动时不能用线量描述，可用角量来描述。,2、刚体的定轴转动（Fixed-axis Rotation）,在刚体转动中，如果转轴固定不动，称为定轴转动。,2） 任一质点运动 均相同，但 不同；,角位移：,角位置：,约定：,角速度矢量：,方向:右手螺旋方向,（角速度方向在转轴上 ）,3、刚体的定轴转动
9、的角量描述,角速度矢量：,方向: 右手螺旋确定,刚体定轴转动（一维转动）时，角速度方向沿转轴，可以用角速度的正负来表示其方向。,对于刚体定轴转动，用角加速度的正负就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。,角加速度：,方向：沿转轴，角速度变化的方向。,2）匀变速转动公式,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动。,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,初始条件：,29,3）角量与线量的关系,飞轮 30 s 内转过的角度：,例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150转/min， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动。试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）
10、制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。,t = 0 s,t = 30 s 时，,例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150转/min， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动。试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。,转过的圈数：,该点的切向加速度和法向加速度：,例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150转/min， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动。试求：（1）角加
11、速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。,34,解： 由题意，角加速度为恒量。,1）,2）,5 秒内转过的圈数：,3）,例：一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在 5s 内角速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：1）角加速度；2）在此5s内转过的圈数； 3）还需要多少时间轮子停止转动。,35,例：在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时，它的角速度 ，经 300s 后，其转速达到 18000 r min-1 。已知转子的角加速度与时间成正比。求：在这段时间内，转子转过多少转？,解：由题意，令 ，即 ，积分,得,当 t = 300s 时，,所以,36,转子的角速度：,由角速度的定义：,得：,有：,在 300 s 内转子转过的转数：,
