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1、知识回顾,观测误差的分类:,粗差系统误差偶然误差,偶然误差的特性:,有界性密集性对称性抵偿性,内容安排,一、基本概念二、方差和中误差三、平均误差四、或然误差五、极限误差和相对误差六、结论,衡量精度的指标,精度：,一、基本概念,准确度：,精确度：,观测值与其数学期望的接近程度,观测值数学期望与其真值的接近程度,观测值与其真值的接近程度,1. 精度,（1）定义：描述误差分布的密集或离散程度，即离散度的大小；,精度表示的是观测值与其数学期望的接近程度。,（2）特征：精度是衡量偶然误差大小程度的指标。,所谓精度高低，是对不同观测组而言。对于同一组的若干个观测值，因对应于同一种误差分布，故每个观测值的精
2、度都相同。 在相同观测条件下进行的一组观测，每一观测值都称为等精度观测值。,注意：,2. 准确度,（2）特征：准确度是衡量系统误差大小程度的指标。,（1）定义：指随机变量的真值 与其数学期望 之差。,3. 精确度,（2）特征：精确度反映了偶然误差和系统误差联合影响的大小程度。,（1）定义：指观测结果 与其真值 的接近程度；,包含观测结果与其数学期望接近程度和数学期望与其真值的偏差。,组成误差分布表,衡量观测值精度,4. 精度评定,衡量观测值精度,绘制直方图,组成误差分布表,4. 精度评定,画出误差分布曲线,左图误差分布曲线陡峭，对应的精度高右图误差分布曲线平缓，对应的精度低,4. 精度评定,给
3、出确定的数值，用以表示一定测量条件下测量结果的精度，即为精度评定。,注意:,只有从误差的总体分布中，才能得出反映测量结果精度的真实数据。 在实用上，只能是通过对有限个误差进行统计，所以精度评定又称为精度估计。,4. 精度评定,方差和中误差（重点）,平均误差,或然误差,常用的衡量精度的指标：,4. 精度评定,极限误差,相对误差,内容安排,一、基本概念二、方差和中误差三、平均误差四、或然误差五、极限误差和相对误差六、结论,衡量精度的指标,方差：随机变量与其数学期望之差的平方的 数学期望。,二、方差和中误差,中误差：,二、方差和中误差,方差：,各真误差必须对应同一测量条件。可将表示测量条件的中误差附
4、于观测值之后。如：,注意,“”并不代表该误差范围，而是测量上约定俗成的习惯。,越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。,二、方差和中误差,f(),结论：,例1: 设某一角度，用两台经纬仪各观测了9次，其观测值见表。该角已用精密经纬仪预先精确测定，其值为 (看作真值)。求出两台经纬仪观测值的中误差并比较精度高低。,二、方差和中误差,因 ，故第一台经纬仪所得观测值的精度比第二台高。,二、方差和中误差,内容安排,一、基本概念二、方差和中误差三、平均误差四、或然误差五、极限误差和相对误差六、结论,衡量精度的指标,一定观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差，记作
5、 。,三、平均误差,平均误差是一组独立偶然误差绝对值的算术平均值。,可见，同一测量条件下， 与 有着完全确定的关系，对应着相同的误差分布曲线。因此，也可用平均误差作为衡量精度的指标。,三、平均误差,平均误差与中误差的关系：,，,例2: 以例1中第一台经纬仪数据为例，求观测值的平均误差。,三、平均误差,内容安排,一、基本概念二、方差和中误差三、平均误差四、或然误差五、极限误差和相对误差六、结论,衡量精度的指标,误差出现在 之间的概率等于 ，则此数值 称为或然误差。即：,四、或然误差,f(),或然误差与中误差的关系：,四、或然误差,将在相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，中间的数或中
6、间两数的平均值作为或然误差 。,，,例3: 以例1中第一台经纬仪数据为例，求观测值的或然误差。,四、或然误差,内容安排,一、基本概念二、方差和中误差三、平均误差四、或然误差五、极限误差和相对误差六、结论,衡量精度的指标,在实际工作中，常依据一定的测量条件规定一适当数值，使在这种测量条件下出现的误差，绝大多数都不会超出此数值，这一限制数值，即被称为极限误差。,五、极限误差和相对误差,1. 极限误差,测量条件好 极限误差应规定的小,测量条件差 极限误差应规定的大,一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值 ，并称为极限误差。,误差落在 、 和 的概率分别为：,1. 极限误差,五、极限误差和相对误差,对于
7、某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏 。 相对中误差，它是中误差与观测值之比。,2. 相对误差,在测量中一般将分子化为1，用 表示。,五、极限误差和相对误差,五、极限误差和相对误差,2. 相对误差,解：这两段距离的真误差不相等。 这两段距离中误差相等，均为2cm。 它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为2/100000=1/50000，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/25000。 第一条边精度高。,角度元素没有相对精度。,例: 观测了两段距离，分别为1000m2cm和500m2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度
8、是否相同？,六、结论,用 、 或 估计精度，只有当观测值较多时，结果才可靠。,由一系列观测结果所求得的中误差，反映了该观测系列的测量条件，它是每一个观测值的中误差，也是相同测量条件下其它观测值的中误差。,六、结论,我国测量规范规定统一用中误差作为衡量精度的指标。,当观测值个数n不大时，用中误差估计精度更为可靠、灵敏一些。,中误差与平均误差和或然误差之间存在着确定的函数关系。并且在误差曲线上中误差具有明确的几何意义。,1、几个名词,小 结,2、一个事实 不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。3、基本假设 在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差
9、服从正态分布。4、统计规律在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；偶然误差的理论平均值为零。,小 结,这部分是本课程的重点内容之一。重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。难点：精度、准确度、精确度等概念。要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。,复习思考题,1.什么叫观测误差？产生观测误差的原因主要有哪几个方面？2.观测条件是由哪些因素构成的？3.根据观测误差对观测结果影响的不同，说明观测误差的分
10、类。4.为什么观测值中一定存在偶然误差？偶然误差能否被消除，为什么？5.测量平差的任务是什么？,复习思考题,6.观测值的真误差属于什么误差？7.在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现什么样的规律性？8.观测条件与误差分布之间有何关系？9.在相同的观测条件下，对同一个量进行了若干次观测，这些观测值的精度是否相同？能否理解为误差小的观测值一定比误差大的观测值精度高，为什么？10.在相同的观测条件下，绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大。那么，误差为零的观测值出现的概率是不是最大，你怎样理解？11.我们限规定等于3或2的理论根据是什么？,1.在角度测量中，用正倒镜观测；在水准测量中，
11、使前后视距相等，这些规定都是为了消除什么误差？2.用钢尺丈量距离时，下列几种情况会使测量结果中含有误差，试分别判定误差的性质及符号：1）尺长不准确；2）尺不水平；3）估读小数不准确；4）尺垂曲；5）尺端稍偏直线方向（定线不准确）。,习 题,3.在水准测量中，有下列几种情况，使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号： 1）视准轴与水准轴不平行；2）仪器下沉；3）读数时估读不准确；4）水准尺下沉。4.为了鉴定经纬仪的精度，对已知的水平角作了12次观测，其结果为： 45 00 00, 44 59 58, 44 59 59, 45 00 06, 45 00 03 45 00 06, 44 59 5
12、5, 44 59 58, 45 00 03, 45 00 04 假设 ( = 450003.0”)无误差，试求观测值的中误差。,习 题,5.有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m 15cm,试估计这个观测值的误差的实际可能出现的范围是多少？ 6.已知两角度的大小及其中误差分别为：4446 08”10”, 1204016” 10”.试说明：这两个角度的真误差是否相等？它们的最大误差限是否相等？它们的精度是否相等？,习 题,7.已知S = 200.000m10mm ，试求：观测值的相对误差，并估计这个观测值的误差可能出现的范围。8.已知S1=300.445m4.5cm, S2=660.844m4.5cm试说明：它们的真误差是否相等？它们的最大误差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对误差是否相等？9.量得一段距离S = 2046.35m ，其相对中误差为1/ 25000，求该距离的中误差。,习 题,
