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1、第二章 测量误差理论及其应用,测量学课件,2.1 偶然误差的统计特性2.2 精度指标及应用2.3 误差传播律及应用2.4 权与定权的常用方法2.5 协因数传播律及应用2.6 由真误差计算中误差的实际应用,本章学习的目的要求:掌握偶然误差的统计特性；掌握衡量精度的指标；掌握常用定权方法；掌握误差传播律及协因数传播律。,重点、难点:偶然误差的统计特性；衡量精度的指标以及精度和准确度的联系与区别；误差传播律以及协因数传播律的应用；定权方法。,2.1 偶然误差的统计特性,几个概念：真值：任一观测量，客观上总是存在一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该观测值真值，用 表示。真误差：真值与观测值之差
2、（偶然误差），即：真误差（）=观测值（）-真值（）,测量平差研究对象是偶然误差,为此,有必要对偶然误差的性质作进一步的分析研究。,真值一般情况下是难以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，如：1）三角形内角和等于180度；2）闭合水准路线高差闭合差等于零；3）往返测量一段距离，其差数的真值等于零。,当观测值只含有偶然误差时，其数学期望就等于真值（），即：真误差（）=观测值（）-数学期望（）残差（改正数）：改正数（V）=观测值（）-平差值（）,大量实践证明：大量偶然误差的分布呈现出一定的统计规律。,三角形闭合差例子,在相同观测条件下，独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角和的真误差i由
3、下式计算：以误差区间d=0.2秒将真误差i按其绝对值进行排列。统计出误差落入各个区间的个数，计算出其频率,表1-2-1偶然误差分布表,误差区间0.000.200.200.400.400.600.600.800.801.001.001.201.201.401.401.601.60以上,为负值个数 频率 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.0110 0 181 0.505,为正值个数 频率46 0.12841 0.11533 0.09221 0.05916 0.04513 0.0365 0.0142 0.0060 0177 0.495,误差绝对值
4、个数 频率91 0.25481 0.22666 0.18444 0.12333 0.09226 0.07211 0.0316 0.0170 0358 1.000,表1-2-1偶然误差分布表,从表中看出：,绝对值最大不超过某一限值（1.6秒）；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的个数多；绝对值相等的正、负误差出现个数大致相等。,大量的测量实践证明，在其它测量结果中，也都显示出上述同样的统计规律。,误差分布规律，除了采用误差分布表表达，还可用直方图来表达。,一定的观测条件对应着一种确定的误差分布。,当误差个数无限增大时，将误差区间缩小，直方图则变成一条光滑的曲线：,该图同样可以说明观测误差特性，称
5、为“误差分布曲线”。,可以证明，若仅含有偶然误差，其分布为正态分布，其分布函数为：标准差，在测量上称为中误差。当不同时，曲线位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。,用概率的术语概括偶然误差的特性如下：,1、一定观测条件下，误差绝对值有一定限值（有限性）；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现概率大（渐降性）；3、绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）；4、偶然误差的数学期望为零（抵偿性）；,以上分析可知：1）观测误差呈现偶然性；2）偶然误差具有统计规律；（均值为零的正态随机分变量）,测量平差任务之一：评定测量成果精度。,当观测值中仅含有偶然误差时，由统计学知：,若观测误差中系统误差，即
6、,2.2 精度指标,观测条件与观测精度1、观测条件：指测量过程中的观测者、仪器、外界条件的综合。一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布；,可见：分布曲线陡峭的说明误差分布密集，或者离散度小，观测精度高些，也就是观测条件好；另一条说明误差分布较为离散或者说它的离散度大，也即观测条件差。,2、观测精度：是指一组偶然误差分布的密集与离散的程度，是观测值与其期望值接近的程度，表征观测结果偶然误差大小的程度。,密 集,离 散,在相同的观测条件下所进行的一组观测，称为等精度观测或同精度观测。,精度与准确度、精确度,精度：就是指在一定观测条件下，一组观测值密集或离散的程度，即反应的是：L与E（L）接近程度
7、。表征观测结果的偶然误差大小程度。精度是以观测值自身的平均值为标准的。,成绩：9.0，9.5，9.2，8.5，8.6，8.2，8.8，8.6,成绩：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.2,准确度：是指观测值的数学期望与其真值的接近程度。表征观测结果系统误差大小的程度。若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越低。,精确度：是精度与准确度的合成。是指观测结果与其真值的接近程度。反映偶然误差和系统误差以及粗差联合影响大小程度。若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越低。精确度衡量指标是均方误差：,精度低准确度低精确度低。,可见：精度高，不一定准确度也高！,图(
8、a)表示精度、精确度均高，而准确度低；图(b)表示精度高，精确度低，而准确度低；图(c)表示精度、精确度均低，因而准确度低；图(d)表示精度、精确度均低，但准确度较高。,当系统误差相对于偶然误差小到可以忽略时，精度=精确度！,1、方差,由数理统计学可知，随机变量X的方差定义为：,观测值L和观测误差均为随机变量，因此其方差为,当观测值只含偶然误差时，任一观测值的方差与观测误差的方差是相同的。,2.2.2 衡量精度的指标,可见：中误差不是代表个别误差大小，而是代表误差分布的离散度大小；中误差越小，说明绝对值较小的误差越多！,由数学期望定义，方差（或中误差）又可表示为：,和,实际工作中，由于观测个数
9、有限的，故可求得方差或中误差的估值：,真误差,用残差计算观测值的中误差：,P8,例:某距离等精度丈量6次，结果如下，试求该距离的最或是值及观测值中误差。L1=546.535m L2=546.548m L3=546.520mL4=546.546m L5=546.550m L6=546.537m解：该距离的最或是值,定义：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望，称为平均误差，并以表示，即,平均误差和中误差的理论关系式,可见，不同大小的平均误差，对应着不同的中误差，也就对应着不同的误差分布。即说明也可应用平均误差作为衡量精度的指标。,2、平均误差,3、或然误差,定义：在一组等精度测量
10、中，若某一偶然误差具有这样的特性：绝对值比它大的误差个数与绝对值比它小的误差个数相同，这个误差即称为或然误差。也就是说全部误差按绝对值大小顺序排列，中间的那个误差就是或然误差。观测误差落入正、负或然误差之间的概率恰好等于1/2，即,误差的概率分布曲线：,或然误差,3、或然误差,或然误差与中误差的关系：,实际或然误差得到方法：1）将相同条件下得到一组误差，排列，取中间或中间两个的平均数；2）先求中误差，然后用上述公式求得。,例：设有一列等精度观测真误差，按绝对值递增顺序排列于下表。试计算其中误差、平均误差以及或然误差。,解：,不难看出：,因此，我国和世界各国通常都是采用中误差作为精度指标。,中误
11、差、平均误差以及或然误差都可以作为衡量精度的指标；但当n不大时，中误差比平均误差能更灵敏地反映大的真误差的影响；或然误差又可由中误差求得；,计算时，精度指标通常取2-3个有效数字，数值后面要写上对应单位！,4、极限误差,观测成果中不能含有粗差，那么如何来判断误差中的粗差呢？引入极限误差，也即最大误差。由偶然误差的特性可知，在一定的条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。,确定极限误差依据：概率理论和大量实践统计证明，大量同精度观测的一组误差中误差落在各区间的概率为,则定义为：通常将三倍（或两倍）的中误差作为极限误差，即,5、相对误差,定义：中误差与观测值之比，即,相对误差是一个
12、无名数，为方便计，通常将分子化为1，即 1/T 的形式。相对误差是用来衡量长度精度的一种指标。相对误差又分为相对中误差，相对真误差，相对极限误差。,例：用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是2cm，问两者的精度是否相同？解：根据相对中误差定义，得前者的相对中误差为：0.02200 110000后者相对中误差则为：0.0240l2000故前者的量距精度高于后者。,思考：1）对于相同中误差但角值大小不等的情况，其精度又怎样？2）导线测量中规范规定的相对闭合差不超过1/2000，指的是何种误差？,绝对误差,为了工作方便，需要引入一个新的指标-权。,相对指标,1、协方差阵 设有n个观测
13、量，描述其精度的方差阵DXX的定义为,2.3 方差阵、误差传播律,可以得到：,不难看出，协方差阵有以下的几个特点：对称方阵；DXX 中的主对角线上的各元素xi2 为 Xi 的方差；非主对角线中的元素 xi xj为 Xi 关于 Xj 的协方差，是描述 Xi 与 Xj 之间相关性的量；协方差估值计算公式：方差阵 DXX 也称方差协方差阵，简称为方差阵或协方差阵；DXX是描述观测向量的精度指标。它不仅给出了各观测值的方差，而且还给出了其中两两观测值之间的协方差即相关程度。,当 时，表示两个观测量互不相关。如任意两个观测量均为互不相关时，此时方差阵Dx即变为对角阵:,在实际工作中，往往有些值不是直接测
14、定的，而是由观测值通过一定的函数关系计算的，即观测值函数。那么如何确定函数的精度呢,？,？,中误差,应用协方差传播律（或误差传播律),中误差,2.3 误差传播定律及应用,所谓协方差传播律：描述由观测值的方差来推求观测值函数的方差关系的公式，称为“协方差传播律”。,从测量工作的现状可以看出:观测值函数与观测值之间的关系可分为以下两种情况：1）线性函数（如观测高差与高程的关系）；如2）非线性函数（观测角度、边长与待定点坐标的关系）。,故，分别从线性函数、非线性函数研究协方差传播律。,H2=HA+h1+h2,设有观测值,数学期望为,协方差阵为，又设有X线性函数为:求Z的方差DZZ,2.3.1 线性函
15、数的协方差传播律,或：,K为已知系数阵，K0为方程常数向量。,（2-18）P10,为求K的方差，我们需从方差的定义入手。根据方差的定义,Y的方差为：由数学期望运算可得：将Z的函数式以及数学期望E（Z）代入得：,（2-22）P11,方差的纯量形式为：,可见：若DXX为对角阵时，协方差传播律即为“误差传播律”。,（2-20）P11,（2-19）P11,观测值不相关,由上推导可得出以下结论：若有函数:纯量形式：则函数的方差为:,以上就是已知观测量的方差,求其函数方差的公式。也称为“协方差传播律”。,（2-22）P11,举三个例子,例:用钢尺分五段测量某距离，得到各段距离及相应的中误差如下，该求该距离
16、S的中误差及相对中误差。S1=50.350m1.5mm S2=150.555m2.5mm S3=100.650m2.0mm S4=100.450m2.0mm S5=50.455m1.5mm解：S=S1+S2+S3+S4+S5=452.460m按线性函数误差传播律，得S的中误差为：其相对中误差为：,观测值不相关,例、设有观测值向量 的方差阵为：（1）试写出各观测值的方差以及两两协方差；（2）若有函数，则该函数F的方差又如何？解：,观测值相关,例：已知向量，且若有函数：试求各函数的方差。解：,观测值不相关,2.3.2 线性函数误差传播率在测量工作中的应用,水准测量的精度,上两式是水准测量计算高差中
17、误差的基本公式。,导线边方位角的精度,同精度独立观测值的算术平均值精度,2.3.3 多个观测值线性函数的误差传播律,设有观测值，它们的期望、方差为 若有X的r个线性函数为:求函数的方差以及它们之间的协方差？,（2-33）P13,令:则X的t个线性函数式可写为:同样,根据协方差阵的定义可得Z的协方差阵为:,（2-34）P13,（2-35）P13,例1：已知向量，且：若有函数：并记，试求、。,解：对于函数式利用协方差传播律,对于函数式利用协方差传播律,本题关健是:将函数式转换为“同一”变量的形式!,例2：设有观测值向量,其协方差阵为设函数,并记,试求,解：,从以上两个例子可以看出单个线性函数的协方
18、差和多个线性函数的协方差阵在形式上完全相同,且推导过程也相同;所不同的是：,前者是一个函数值的方差（1行1列）;而后者是t个函数值的协方差阵（r行r列）。即：前者是后者的特殊情况。,2.3.4 非线性函数的误差传播律,设有观测值 的非线性函数为：且已知X的协方差阵求Y的方差阵DZZ。,解决这类问题的关键是必需先将非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式“一致”的形式!,将非线性函数进行全微分为：按照线性函数进行协方差传播：,（2-37）P14,等价,例1：已知长方形的厂房，经过测量，其长度x的观测值为90m，其宽度y的观测值为50m，它们的中误差分别为2mm、3mm，求其面积及相应的中误差。
19、解：面积S=xy=90*50=4500（m2）对S进行全微分：应用协方差传播定律：,例2：设有观测值向量,其协方差阵为设函数,试求,解：,对函数Z进行全微分：,应用协方差传播定律：,1）按要求写出函数式；2）若是非线性函数式，则先对函数式两边求全微分；3）将函数式（或微分关系式）写成矩阵形式（有时要顾及单位的统一）；4）应用协方差传播律公式求方差或协方差阵。,归纳应用协方差传播律的计算步骤：,1、权 在测量数据处理中，不仅需要用中误差表示观测量的绝对精度的高低，还需引入一个表示观测值之间精度相对高低的指标，即权。,定义：设有观测值Li（i=1，2，n）的方差为，如选任一常数，则定义：并称Pi为
20、观测值Li的权。,2.4 权与定权,（2-40）P16,如右图所示的水准网中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是各路线的观测高差，S1=1.0km，S2=2.0km，S3=2.5km，S4=4.0km，S5=8.0km，S6=10.0km是各水准路线长度。,定权：设每千米观测值高差的方差为，根据,而，则,令，则,令，则,相等,10,不难看出,权与方差成反比；权是表征观测值之间的相对精度指标（权是不唯一的，单个权没意义的）；选定不同的，权之间的比例关系依就不变；对同一问题中，为使权能起到比较精度高低的作用，C应取同一定值（否则就破坏了权间的比例关系）。,“单位权”的定义：等于1的权为单位权。对
21、应的观测值为单位权观测值。对应观测值的中误差称为单位权中误差。,可见：权定义中，C称为单位权方差,记为02。,几个概念：,例：在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A、B、C之间的高差，设该三角形边长分别为S1=10km，S2=8km，S3=4km，令40km的高差观测值为单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。,解：假设每千米观测值高差的方差为，则,1.水准测量的权,公式的应用前提：（1）当各测站的观测高差为同精度时；（2）当每公里观测高差为同精度时。,或,2.4.3 测量中常用定权的方法,测站数,在起伏不大的地区，每千米的测站数大致相同，则可按水准路线的距离定权；而在起伏较大的
22、地区，每千米的测站数相差较大，则按测站数定权。,例：如图所示的水准网，各水准路线长度分别为（设每公里观测高差中误差相等）：S1=2.0(km)S2=2.0(km)S3=3.0(km)S4=3.0(km)S5=4.0(km)S6=4.0(km)试确定各路线观测高差的权。,解：设取4KM的观测高差为单位权观测(C=4KM)，则由水准测量 常用定权公式得：P1=2，P2=2，P3=1.3，P4=1.3，P5=1，P6=1,例：在边角网中，已知测角中误差为1.0，测边的中误差为2.0厘米，试确定它们的权。,解：设0=1.0 则由权定义得：,说明了权有时是有量纲的。,1、观测值的协因数定义：协因数就是权
23、倒数，用Qii表示。即：,表明：任一观测值的方差总是等于单位权方差与该观测值协因数（权倒数）的乘积。,或：,2.5 协因数传播律,2、协因数阵互协因数（相关权倒数）对于两个随机变量之间的互协因数，可表示为：协因数阵QXX 将随机向量X的方差阵DXX，乘以一个纯量因子1/02，则得协因数阵QXX，即：,例：已知观测值向量 的协方差阵为单位权方差，协因数 QLL。,解：,3、权阵定义：协因数阵的逆阵为权阵。即,如何根据协因数阵来确定观测量的权呢？,解：由权阵定义得又由 得观测值的权为：,可见：1）当QLL或PLL为非对角阵时，观测值的权与权阵中的两个主对角线元素并不一定相等,不可从权阵中求权，而由
24、协因数阵来计算权。,例：已知观测向量L的协因数阵为：试求观测向量L的权阵P及观测值L1、L2的权。,可见：当QLL是对角阵时，其PLL也为对角阵，则权阵中主对角线上元素才是对应观测向量的权；,例：已知观测向量L的权阵为：试求观测值L1、L2、L3的权。,解：,例：已知观测向量L的权阵为：求观测值L1、L2的权。,解：,2.5.3 协因数传播律,已知观测向量的协因数阵QXX,且有函数式：求其函数的协因数阵以及互协因数阵，即,对于函数精度，还可以用协因数来表示。当已知随机向量的协因数阵时，求函数的协因数阵，称之为“协因数传播律”。,下面由协方差传播律来导出协因数传播律,称“协因数传播律”或“权逆阵
25、传播律”。,将以上协方差传播律、协因数传播律合称为“广义传播律”。,归纳协方差传播律和协因数传播律得：,例：已知观测值向量 的协方差阵为单位权方差，现有函数，试求：（1）函数F的方差DF 和协因数 QF。,解：,例：已知观测值向量 的协方差阵为单位权方差，现有函数，试求：（1）函数F的方差DF 和协因数 QF。,解：,权阵、协因数阵、方差阵之间的联系,例：设有观测值向量 的权阵为,解：由,例：已知观测值向量 的协方差阵为,由三角形闭合差求测角中误差,由双观测值之差求中误差,2.6 由真误差计算中误差的实际应用,本章内容小节,偶然误差的统计特性 有限性、渐降性、对称性、抵偿性精度、准确度、精确度衡量精度的指标 中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对误差,本章内容小节,方差、单位权方差、权、协因数方差阵、协因数阵、权阵协方差传播定律、协因数传播定律,
