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1、第一讲 集合与容斥原理,主 讲：张 贵 学,第一讲 集合与容斥原理,集合是一种数学语言、一种基本的数学工具。它不仅是高中数学学习的第一课，而且是整个数学的基础，对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而应随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言（术语与符号）来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系，表示方程（组）或不等式（组）的解，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。,第一讲 集合与容斥原理,一、 学习集合要抓住元素这个关键。 遇到集合问题，首先要弄请：集合里的元素是什么。元素是集合的
2、基本内核，研究集合，首先就要确定集合里的元素是什么。,例1、设A=x|x=a2+b2,a,bZ ,x1,x2A 求证： x1x2A,第一讲 集合与容斥原理,分析:根据集合A的特性,只要证明x1x2能表示成两个整数的平方和的形式即可.,解:设x1=a2+b2,x2=c2+d2,a,b,c,dA,则有x1x2=(a2+b2) (c2+d2)= (ac+bd)2 +(ad-bc)2,显然x1x2 A.,第一讲 集合与容斥原理,例2、已知A=y|y=x2-4x+3,xR, B=y|y=-x2-2x+2,x R, 求AB.分析：画出两抛物线的图象，观察可知， 两条抛物线没有交点，这是否意谓 AB = ?
3、,解;A=y|y1，B=y|y3, 它们的元素都是“实数”， 从而有AB=y|1y3,第一讲 集合与容斥原理,二、 集合中待定元素的确定例3、已知M=x,xy,lg(xy)，S=0,|x|,y,M=S,则(x+1y)+(x2+ 1y2)+(x2010+ 1y2010)的值等于()。,解：由M=S知，两集合元素完全相同。这样,M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以xy，故x,y均不为零，所以只能有lg(xy)=0，从而xy=1，再由两集合相等知x=-1,M=S=-1,1,0.此时y=-1,所求代数式的值为0.,第一讲 集合与容斥原理,例4、设A=x|x2+ax+b=0B=
4、x|x2+cx+15=0，若AB3，求a,b,c的值。,解：由 AB3知3B,由韦达定理知此时，B3,5AB. 又由AB3知5A；故A=3，即二次方程x2+ax+b=0有二等根，根据韦达定理,有x1+x2=-6=a，x1x2=9=b,所以a=-6，b=9,c=-8.,第一讲 集合与容斥原理,三、有限集元素的个数(容斥原理) 请看以下问题： 开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同实参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项
5、比赛的有多少人？ 解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题。 我们用|A|或 card(A)表示集合A中元素的个数，（例如若A=1，2，3，则|A|=3）可以证明： 1、|AB|=A+B-AB 2、ABC=A+B+C-AB-BC-|CA|+|ABC,第一讲 集合与容斥原理,现在我们可以来回答刚才的问题了： 设A参加游泳比赛的同学，B参加田径比赛的同学，C参加球类比赛的同学则|A|=15，|B|=8，|C|=14，|ABC|=28，且|AB|=3，|AC|=3，|ABC|=0由公式得281581433|BC|+0，即|BC|=3 所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15
6、339(人),第一讲 集合与容斥原理,例5、 学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）,第一讲 集合与容斥原理,解：法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如图）这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内（图中阴影部分），其它6部分填
7、上题目中所给出的不同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数要经过简单的计算）其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即 16+4+6+（40-）+（36-）+12=100 解得 =14.只喜 欢看电影的人数为36-14=22,第一讲 集合与容斥原理,解法2：设A=喜欢看球赛的人，B=喜欢看戏剧的人，C=喜欢看电影的人，依题目的条件有|ABC|=100，|AB|=6+12=18（这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种），|BC|=4+12=16，|ABC|=12，再设|AC|=12+由容斥原理二：|ABC |=|A|+|B|+|C|-|AB|-|
8、AC|-|BC|+|ABC| 得：100=58+38+52-（18+16+12）+12,第一讲 集合与容斥原理,四、 有限集合子集的个数这里介绍两个重要的结论：1、n个元素的有限集合的子集共有2n个，其中非空子集有2n 1个；真子集也有2n 1个，非空真子集有2n 11 2n 2个。2、鸽笼原理(抽屉原理)：有n+1件或n+1件以上的物品要放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上物品。,第一讲 集合与容斥原理,例6、一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。,分析：两位数共有10,11，,99，计99990个，最大的10个
9、两位数依次是90,91，,99，其和为945，因此，由10个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过945，而它的非空子集却有个，这是解决问题的突破口。,第一讲 集合与容斥原理,解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有2101024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过909198999451023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含参数之和相等。,第一讲
10、集合与容斥原理,例7设A1,2，3，n，对XA，设X中各元素之和为Nx，求Nx的总和,分析：注意 A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次。,第一讲 集合与容斥原理,解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有2101024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过909198999451023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含参数之和相等。,第一讲 集合与容斥原理,巩固提高：1
11、、 设集合A1，a,b,B=a,a2,ab,且AB，求实数a,b2、 高一(1)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文小组又参加数学小组的有15人，既未参加语文小组又未参加数学小组的有15人。问高一(1)班共有学生几人？3、 设非空集合A1,2，3,4，5,6，7，且当aA时必有（8a）A，这样的A共有()个。4、 已知A296的约数，B999的约数，则card(AB)()5、 对于集合AXX3n,n=1,2,3,4，BXX,k=1,2,3若有集合M满足ABMAB，则这样的M有多少个？6、设1,2,100,是的子集,且中至少含有一个立方数,则这种子集的个数是_.7、设，则满足条件的所有实数a，b的值分别为 8、求的所有子集元素的和之和。9、给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。提示：这种题目最怕把它想难了，想得太难了，就会觉得无从下手，做数学竞赛题就需要一方面在做题之前选好方向，另一方面就是大胆尝试去做。本题我们可以先去找一个属于很多个集合的元素，最好它就是我们要找的那一个。,
