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1、2023/6/30,集合论与图论第4讲,1,第4讲 集合恒等式,内容提要 1.集合恒等式与对偶原理 2.集合恒等式的证明 3.集合列的极限 4.集合论悖论与集合论公理,2023/6/30,集合论与图论第4讲,2,集合恒等式(关于与),等幂律(idempotent laws)AA=AAA=A交换律(commutative laws)AB=BAAB=BA,2023/6/30,集合论与图论第4讲,3,集合恒等式(关于与、续),结合律(associative laws)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)分配律(distributive laws)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB
2、)(AC),2023/6/30,集合论与图论第4讲,4,集合恒等式(关于与、续),吸收律(absorption laws)A(AB)=AA(AB)=A,2023/6/30,集合论与图论第4讲,5,集合恒等式(关于),双重否定律(double complement law)A=A德摩根律(DeMorgans laws)(AB)=AB(AB)=AB,2023/6/30,集合论与图论第4讲,6,集合恒等式(关于与E),零律(dominance laws)AE=EA=同一律(identity laws)A=AAE=A,2023/6/30,集合论与图论第4讲,7,集合恒等式(关于,E),排中律(excl
3、uded middle)AA=E矛盾律(contradiction)AA=全补律=EE=,2023/6/30,集合论与图论第4讲,8,集合恒等式(关于-),补交转换律(difference as intersection)A-B=AB,2023/6/30,集合论与图论第4讲,9,集合恒等式(推广到集族),分配律德摩根律,2023/6/30,集合论与图论第4讲,10,对偶(dual)原理,对偶式(dual):一个集合关系式,如果只含有,E,=,那么,同时把与互换,把与E互换,把与互换,得到的式子称为原式的对偶式.对偶原理:对偶式同真假.或者说,集合恒等式的对偶式还是恒等式.,2023/6/30,
4、集合论与图论第4讲,11,对偶原理(举例),分配律A(B C)=(A B)(A C)A(B C)=(A B)(A C)排中律A A=E矛盾律A A=,2023/6/30,集合论与图论第4讲,12,对偶原理(举例、续),零律A E=EA=同一律A=AA E=A,2023/6/30,集合论与图论第4讲,13,对偶原理(举例、续),A B AA B A AE A,2023/6/30,集合论与图论第4讲,14,集合恒等式证明(方法),逻辑演算法:利用逻辑等值式和推理规则集合演算法:利用集合恒等式和已知结论,2023/6/30,集合论与图论第4讲,15,逻辑演算法(格式),题目:A=B.证明:x,xA(
5、?)xB A=B.#,题目:AB.证明:x,xA(?)xB AB.#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,16,分配律(证明),A(BC)=(AB)(AC)证明:x,xA(BC)xA x(BC)(定义)xA(xB xC)(定义)(xAxB)(xAxC)(命题逻辑分配律)(xAB)(xAC)(定义)x(AB)(AC)(定义)A(BC)=(AB)(AC),2023/6/30,集合论与图论第4讲,17,零律(证明),A=证明:x,xA xA x(定义)xA 0(定义)0(命题逻辑零律)A=,2023/6/30,集合论与图论第4讲,18,排中律(证明),AA=E证明:x,xAA xA xA(定义)
6、xA xA(定义)xA xA(定义)1(命题逻辑排中律)AA=E,2023/6/30,集合论与图论第4讲,19,集合演算法(格式),题目:A=B.证明:A=(?)=B A=B.#,题目:AB.证明:A(?)B AB.#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,20,吸收律(证明),A(AB)=A证明:A(AB)=(AE)(AB)(同一律)=A(EB)(分配律)=AE(零律)=A(同一律)A(AB)=A,A,B,2023/6/30,集合论与图论第4讲,21,吸收律(证明、续),A(AB)=A证明:A(AB)=(AA)(AB)(分配律)=A(AB)(等幂律)=A(吸收律第一式)A(AB)=A,A,
7、B,2023/6/30,集合论与图论第4讲,22,集合演算法(格式,续),题目:A=B.证明:()AB()A B A=B.#说明:分=成与,题目:AB.证明:AB(或AB)=(?)=A(或B)AB.#说明:化成=AB=AABAB=BAB,2023/6/30,集合论与图论第4讲,23,集合恒等式证明(举例),基本集合恒等式对称差()的性质集族(AS)的性质幂集(P()的性质,2023/6/30,集合论与图论第4讲,24,补交转换律,A-B=AB证明:x,xA-B xA xB xA xB x ABA-B=AB.#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,25,德摩根律的相对形式,A-(BC)=(A
8、-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)证明:A-(BC)=A(BC)(补交转换律)=A(BC)(德摩根律)=(AA)(BC)(等幂律)=(AB)(AC)(交换律,结合律)=(A-B)(B-A)(补交转换律).#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,26,对称差的性质,交换律:AB=BA结合律:A(BC)=(AB)C分配律:A(BC)=(AB)(AC)A=A,AE=AAA=,AA=E,2023/6/30,集合论与图论第4讲,27,对称差的性质(证明2),结合律:A(BC)=(AB)C证明思路：分解成“基本单位”,例如:1.ABC 2.A BC 3.A B C 4.ABC,A,B,
9、C,ABC,1,2,3,4,2023/6/30,集合论与图论第4讲,28,对称差的性质(证明2、续1),结合律:A(BC)=(AB)C证明:首先,AB=(A-B)(B-A)(定义)=(AB)(BA)(补交转换律)=(AB)(AB)(交换律)(*),AB,A,B,2023/6/30,集合论与图论第4讲,29,对称差的性质(证明2、续2),其次,A(BC)=(A(BC)(A(BC)(*)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)(*)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)(德摩根律),2023/6/30,集合论与图论第4讲,30,对称差的性质(证明2、续3),=(A(BC)(BC)(A(BC)
10、(BC)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)(德摩根律)=(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(分配律),2023/6/30,集合论与图论第4讲,31,对称差的性质(证明2、续4),同理,(AB)C=(AB)C)(AB)C)(*)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)(*)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)(德摩根律),2023/6/30,集合论与图论第4讲,32,对称差的性质(证明2、续5),=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)(德摩根律)=(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(分配律)A(BC)=(AB)C.#,20
11、23/6/30,集合论与图论第4讲,33,对称差的性质(讨论),有些作者用表示对称差:AB=AB 消去律:AB=AC B=C(习题一,23)A=BC B=AC C=AB对称差与补:(AB)=AB=AB AB=AB问题:ABC=ABC?,2023/6/30,集合论与图论第4讲,34,对称差的性质(讨论、续),如何把对称差推广到n个集合:A1A2A3An=?x,xA1A2A3An x恰好属于A1,A2,A3,An中的奇数个特征函数表达:A1A2An(x)=A1(x)+A2(x)+An(x)(mod 2)=A1(x)A2(x)An(x)(mod 2),都表示模2加法,即相加除以2取余数),2023/
12、6/30,集合论与图论第4讲,35,特征函数与集合运算:,AB(x)=A(x)B(x)A(x)=1-A(x)A-B(x)=AB(x)=A(x)(1-B(x)AB(x)=(A-B)B(x)=A(x)+B(x)-A(x)B(x)AB(x)=A(x)+B(x)(mod 2)=A(x)B(x),A,B,2023/6/30,集合论与图论第4讲,36,对称差的性质(讨论、续),问题:ABC=ABC?答案:ABC=(ABC)=(ABC)=ABC ABCD=ABCD=ABCD=(ABCD)=A=(A),2023/6/30,集合论与图论第4讲,37,对称差的性质(证明3),分配律:A(BC)=(AB)(AC)证
13、明 A(BC)=A(BC)(BC)=(ABC)(ABC),A,B,C,A(BC),2023/6/30,集合论与图论第4讲,38,对称差分配律(证明3、续),(续)(AB)(AC)=(AB)(AC)(AB)(AC)=(AB)(AC)(AB)(AC)=(ABC)(ABC)A(BC)=(AB)(AC).#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,39,对称差分配律(讨论),A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)?A(BC)=(AB)(AC)?A(BC)=(AB)(AC)?,2023/6/30,集合论与图论第4讲,40,集族的性质,设A,B为集族,则1.AB A B2.AB A B
14、3.A AB B A4.AB B A5.A A A,2023/6/30,集合论与图论第4讲,41,集族的性质(证明1),AB A B证明:x,xA A(AA xA)(A定义)A(AB xA)(AB)xB(B定义)A B.#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,42,集族的性质(证明2),AB A B 证明:x,xA AB xA(AB,合取)A(AB xA)(EG)xB A B.#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,43,集族的性质(证明3),A AB B A说明:若约定=E,则A的条件可去掉.证明:x,xB y(yB xy)y(yA xy)(AB)xA B A.#,2023/6/30
15、,集合论与图论第4讲,44,集族的性质(证明4),AB B A证明:x,xB y(yB xy)AB x A(UI)xA(AB)B A.#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,45,集族的性质(证明5),A A A说明:A的条件不可去掉!证明:A y(yA),设 AA.x,xA y(yA xy)AA xA xA(AA)AA xA y(yA xy)x A A A.#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,46,幂集的性质,AB P(A)P(B)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)=P(AB)P(A-B)(P(A)-P(B),2023/6/30,集合论与图论第4讲,47,幂集的性质(证明
16、1),AB P(A)P(B)证明:()x,xP(A)xA xB(AB)xP(B)P(A)P(B),2023/6/30,集合论与图论第4讲,48,幂集的性质(证明1、续),AB P(A)P(B)证明(续):()x,xA xP(A)xP(B)(P(A)P(B)xB AB.#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,49,幂集的性质(证明2),P(A)P(B)P(AB)证明:x,xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xAxB xAB xP(AB)P(A)P(B)P(AB),2023/6/30,集合论与图论第4讲,50,幂集的性质(证明2、续),P(A)P(B)P(AB)讨论:给出反例,说明等号不成立
17、:A=1,B=2,AB=1,2,P(A)=,1,P(B)=,2,P(AB)=,1,2,1,2 P(A)P(B),1,2 此时,P(A)P(B)P(AB).#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,51,幂集的性质(证明3),P(A)P(B)=P(AB)证明:x,xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xA xB x AB xP(AB)P(A)P(B)=P(AB).#,2023/6/30,集合论与图论第4讲,52,幂集的性质(证明4),P(A-B)(P(A)-P(B)证明:x,分两种情况,(1)x=,这时 xP(A-B)并且 x(P(A)-P(B)(2)x,这时 xP(A-B)x A-B xAx
18、B xP(A)xP(B)xP(A)-P(B)P(A-B)(P(A)-P(B).#,A,B,2023/6/30,集合论与图论第4讲,53,集合运算的优先级,分三级:第一级最高,依次降低第一级:补,幂P()第二级:广义并,广义交第三级:并,交,相对补-,对称差同一级:用括号表示先后顺序,2023/6/30,集合论与图论第4讲,54,集合列的极限,2023/6/30,集合论与图论第4讲,55,集合列的极限,Infinite often(i.o.):Almost everywhere(a.e.),2023/6/30,集合论与图论第4讲,56,集合列的极限,上极限:下极限:,2023/6/30,集合论与
19、图论第4讲,57,集合列的极限,性质:,2023/6/30,集合论与图论第4讲,58,集合论悖论,罗素悖论(Russells paradox)：S=x|xx SS?SS SSSS SS,2023/6/30,集合论与图论第4讲,59,集合论公理,外延公理:所含元素相同的两个集合是相等的空集存在公理:空集合存在无序对公理:对任意的a,b,a,b存在并集公理:对任意的A,A存在幂集公理:对任意的A,P(A)存在联集公理:,2023/6/30,集合论与图论第4讲,60,集合论公理(续),子集公理:xA|P(x)存在正则公理:若S,则x(xSy(ySxy)无穷公理:无穷集存在替换公理:f(a)|aA 存在(f是定义域为A的函数),2023/6/30,集合论与图论第4讲,61,集合论公理(续),选择公理(Zorn引理,良序原理):A是元素互不相交的集合,则可以从A的每个元素中恰好选择一个元素,构成一个集合,2023/6/30,集合论与图论第4讲,62,总结,集合恒等式 集合恒等式的证明 集合论悖论,2023/6/30,集合论与图论第4讲,63,作业(#2),p27,习题一,11,13,14,20 今天1班交作业(#1),
