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1、2022/11/15,近世代数,第四章 整环里的因子分解 1 唯一分解环,2022/11/15,一、几个概念,设K是整环,整除:,性质:,称b整除a，并称b是a的一个因子，a是b的倍元.,在,中,3|18,而,中,而,在,例1：,在,中, 2+i|5,而,2022/11/15,2.单位：可逆元,例2：,（1）Z中只有两个单位：,（2）Zi的单位有：,的单位有：,1和-1；,1，-1，i，-i；,1和-1.,性质:,（1）一个整环至少有两个单位：1和-1；,（2）两个单位的乘积也是单位；,（3）单位的逆元也是单位.,2022/11/15,3.公因子,公因子：,.如果,则称d为a与b的一个公因子.
2、,(1) d为a与b的公因子；,最高公因子：,(2) 如果c为a与b的任一公因子,则有c|d，,如果d满足：,则称d为a与b的一个最高公因子(或最大公因子).,如果d为a与b的任一最高公因子,性质：,则任给单位u, du还是a与b的最高公因子.,2022/11/15,4.相伴,若存在单位,，使得,则称b与a相伴，,也称b是a的相伴元,记作,5.平凡因子：,称单位和相伴元为平凡因子；,称除了平凡因子的因子（若有的话）为真因子.,例3 在,中,其中1与-1为单位,6和-6与6相伴,6有因子:1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.,2,-2,3,-3为6的真因子.,2022/11/15,例4,5的
3、平凡因子：,全部真因子为：,求,中5的因子.,2022/11/15,6.不可约元,不是单位，,则称为不可约元；,若只有平凡因子，,若有真因子，称为可约元.,例5:,Z中全部不可约元：素数及相反数.,性质：,有真因子,都不是单位,（2）,（1）不可约元与单位乘积是不可约元；,2022/11/15,7.唯一分解元,是,中一个非零、非单位的元素.若,满足:(1),可分解为,中不可约元的乘积,(2),的上述分解式在相伴的意义下是,有另一分解式:,则有,且适当交换因子的次序, 有,则称,在,中能唯一分解.,唯一的, 即如果,2022/11/15,例6,(1)9在Z中能唯一分解.,(2)9在,中不能唯一,
4、分解.,证明：,的单位只有1和-1；,（1）,（2）,的元都是不可约元：,则是单位；,则是相伴元.,在Z中无解；,因此,的元都是不可约元.,2022/11/15,例6,(1)9在Z中能唯一分解.,(2)9在,中不能唯一,分解.,证明：,的单位只有1和-1；,（1）,（2）,的元都是不可约元：,（3）,2022/11/15,8.素元,性质：素元一定是不可约元；,例7 在Z中全部素元：,不是单位，,则称 p 为素元.,不可约元未必是素元.,素数及相反数,2022/11/15,二、唯一分解环,问题：是否整环中非零、非单位的元素都能,中任一非零非单位的元素都,是唯一分解环.,（不一定）,唯一分解？,定义：如果,能唯一分解,则称,定理1 唯一分解环的不可约元等同于素元.,定理2 若,有以下性质：,都可以分解成不可约元的乘积；,是唯一分解环.,（1）每一个非零、,（2）不可约元都是素元,则,非单位的元素,例8,为唯一分解环.,2022/11/15,定理3 唯一分解环中,任何两个元都有,最高公因子；a,b的两个最高公因子只能差,一个单位因子.,
