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1、加州公立学校K 12年级,数学框架,前言,纯粹数学，就 其本质而言，是逻辑思想的诗篇。 爱因斯坦 (18791955),大脑研究,研究表明，大脑就像肌肉：越用越发达。虽然许多科学家相信，大脑中的“电路”在青少年阶段已经基本形成，但变换与适用将伴随我们终身.,框架目录,第一章 有效数学教学的指导原则与要素 第二章 加州数学课程标准 第三章 分年要项 第四章 教学策略 第五章 评量 第六章 普及性的辅助第七章 老师、学生、家长和行政人员的责任 第八章 专业发展 第九章 科技的运用 第十章 教学资源的评估原则,对数学的看法,数学使用抽象符号去描述、排序、解释和预测已经与人类的存在密不可分。它是一种全
2、球都在说的国际数语，而且在沟通想法上，它的重要性如同口语和文字。,框架的目的,指导课程与教材的编写，以符合新的课程标准.提供实施标准的背景.说明如何使课程标准适应所有学生.,数学推理,数学的核心是推理。体验（Sense making）与推理有着密切的联系，学生通过演绎推理、归纳推理、空间推理和代数推理去揭示数学真理。 教师应该为学生提供大量的推理机会，使学生（包括低年级学生）能够使用逻辑语言，分清相关与不相关的信息与性质，判断集合之间的关系。培养逻辑推理能力 。,指导原则,实现各种数学活动之间的平衡教师目标学生目标有效数学计划的关键成分,实现各种数学活动之间的平衡,概念理解,程序性技能,数学推
3、理,平衡,数学课程的一个长期存在的问题是，理论与应用之间的平衡。,教师的目标,增加教师的数学课程知识，是透过以标准为本的专业发展。提出一个教案，均衡运算和程序技巧、概念理解，和解题。经常评量学生迈向数学标准的进度，并随之调整教学。在每一学年提供学习，奠定必要的基础，以使得能在能胜任下一(年)级的或接下来的数学课程。创造并维持教室环境，以促进所有学生确实理解和自信，方法是透过辛勤作业和持续努力，他们能达到或超越标准。提供所有学生一个具挑战的学习经验，这可帮助他们扩大个人的成就，并且提供有意义的机会给学生以超越标准。提供其它教学建议和策略，以满足合加州不同学生族群的需求。界定特定教室里最成功、有效
4、教学方法，让学习最大化。,学生目标,发展程序性技能、概念理解与数学推理.进行精确的数学交流.发展逻辑思维.增强数学思想之间的联系将数学应用于日常生活培养对数学美和威力的鉴赏力,学生目标,当学生深入数学，他们获得的不仅仅是对数学原理的概念上理解，还有纯粹推理的知识和经验。数学最重要目标之一是教导学生逻辑推理，数学推理和概念理解脱离实体内容，它们内化入数学学科里，属于学生学习的较高层次。,推理的重要性,数学的核心是推理。没有推理，无法作数学。教师需要提供他们的学生推理，透过解题、推测和思考过程，安排推理的机会给学生，不论是在中。非常年幼的学生有机会区辨出相关与不相关的讯息或性质，并且判断集合之间的
5、关系，来能促进他们的逻辑推理。,达成概念理解、技能训练和问题解决之间的平衡,这三个要素都重要，任何一个都不能缺少或者被小觑；然而，所谓的均衡并不是把时间平均分配给这三要素。有时，学生可能在某些作业或任务中专注于某一要素；其它时候则专注于两个或三个全部。,概念理解,数学对于某些已有了概念理解的学生有意义，他们不仅懂得如何运用技巧，也知道什么时候使用，以及为什么使用这些技巧。他们了解数学的结构和逻辑，并且弹性、有效和适当地运用。在看见并且了解蕴含的概念，他们就居于优势将这套知识运用在新的情境和题目，并能辨识他们所犯的程序错误。,程序性技能,运算和程序技能是指所有学生应该学会经常且不假思索的使用。学
6、生应该充分练习运算和程序技能并且经常使用它们，才能确保他们熟记；经常使用到这些技能是必要的，才能确保这些技能被复习并且经年牢记。,基本的运算技能和程序技能,对于不同的数学层级，必须学特定的基本运算和程序技巧，例如：学生需牢记一位数字的加法和乘法运算结果，以及它们延续的减法和除法。自动从长期记忆中提取这些结果的能力，使得更快速并且减少错误地解决比较复杂的题目，例如基本算术的多步骤题目,练习对技能熟练的重要性,学生必须要练习以达到熟练技能。练习应该多样且兵该包括回家作业和教室活动。老师、家长和学生都需知道，学生必须投入足够的时间和努力去学习某项技能，并且长期保有。基本运算和程序能力发展一段时间，则
7、其深度和复杂度会经年加深。基本运算和程序技能的发展，需要学生能厘清不同运算过程之间的差异，这必须先了解各程序的意义。唯有这样，学生才能够了解何时使用学过的技能。为了要保有技能，学生必须经常练习。,问题解决,解数学题与目标有关的活动，牵涉到运用技巧、理解以及经验，来解决全新的、有挑战性的或复杂的数学情境。解题牵涉直接朝向数学目标的一系列动作，例如在解决一道应用题，任务要用到一连串的数学程序和待解题目的概念表征 。,问题解决的三个环节,题目以许多形式出现，有些题目简单而常见，供学生练习以发展技巧；其它则题目比较复杂，需要花较长时间完成。不论这些题目的性质如何，要求学生解的这类题目，重要的是以比较抽
8、象的情境均衡了真实世界的情境。解题程序通常有下列步骤：适切陈述、分析和转译整合和表征解题和证明,融合,当学生运用基本的运算和程序技能及理解，去解决新的或复杂的题目时，他们的基本技能增强了；挑战性的题目变得平常，同时他们的概念理解加深了。他们就把数学当作是解决教室外问题的一种方法。因此，学生透过解决不同难度题目、各个数学发展过程的解题经验，增长他们的能力和毅力。,评价,评量要符合教学、引导教学。经常评量学生以确定他们是否稳健地迈向标准；而且这个评量的结果有助于设定教学的优先级、调整教材教法。评量因应不同的目的而设计，评量学生在数学课中的程度，必须涵盖广泛的标准，这些大范围的评量测学生是否具有必备
9、的知识，并且允许学生呈现对数学的完全理解。检视学生每日或每周的进度，需要一套快速且聚焦的测量工具，总括性的评量用于在一系列课程或一门课末，提供特定且详细的信息，有关已经达到或还没有达到哪些标准。评量可以改进教学，当教师使用结果用来分析学生学过的，然后重复教导困难的概念。,教学,教学的品质是有效数学教学规划中唯一最重要的要素。国际比较显示，数学教学的品质和学生的表现之间有高度相关。在一个有效的教学规划里：教师们深度理解课程标准及他们所要教的数学，不断努力增进他们的课程知识。教师们可以选择有研究导向的教学策略，适用于教学目标和学生需求。老师根据目标有效地组织课程，以达到标准并指引学生的学习数学。教
10、师们运用评量结果引导教学。,教学策略,没有单一种教学法是最好或最适用于所有情境。教师对于任何已知课程的教学策略有广大的选择，例如：教师可能使用直接讲授、探索、课堂讨论与练习、小组、个别化及动手操作。,二阶段模式（传统）,在第一阶段，在学生的观看中，教师呈现一个新概念、演算或数学策略；在第二阶段，学生被要求独立作业去应用新信息、经常完成作业单，此时教师可能（或可能不会）监督学生操作，并且给予回馈。,三阶段模式（提倡）,在第一阶段教师介绍、证明或解释新概念或策略、提问，并且检核了解；此时学生积极参与，不只是观察老师的讲解或证明 ；第二个阶段是过渡阶段，设计的目的在于造成独立应用新概念或说明过的策略
11、。在第三阶段学生独立作业。然而，和传统课程相比，第三阶段相当简短，而不是占据大部分的上课时间。这个阶段往往是评量，评量的范围是学生所学，以及他们如何将知识或技巧用到更广泛的数学领域,教学要求,一课或一系列课程，应该聚焦在一个明确的教学目标，与数学课程标准有关。课程目标应该促进学生的计算与程序技能、概念了解、数学推理，或综合上述能力。一课或一系列课程的教学重点不只涵盖教学内容而已，还要在先备知识的基础上为未来学习预作准备。最后，了解每一课的目标在该年级课程标准中的脉络、在较低年级的课程，以及在较高年级的课程。,能力要求,程序能力,学习数学程序或演算是既漫长又沉闷的过程。为了记住数学程序，学生必须
12、练习使用它们，学生也应该将某个程序运用在各种不同类型的题目，有典型的程序；然而，练习并非只是一遍又一遍地解决相同问题或类似题，应该少量练习（大约一天20分钟），而且应该包括各种题目。学生应该可以自动地将程序应用到各种适当的问题。自动化是指能很快地、不失误，而且不需学去思考要做什么。过度练习分布于几个月甚或几年中，可能有助于帮助学生在运用一些数学算法则时达到自动化。,概念能力,促进学生对于某个或某类问题的概念理解，其重要性等同于发展学生的计算与程序技能；没有概念理解，学生会经常误用解题程序。比较特别的是，他们往往把原本只适用在某些问题的程序，误用在其它不适用的问题。,教学时间,一而再的研究已经显
13、示，作业时间长短和学生学习成之间有关。第一优先应该给数学教学，而且教学时间应该避免被打扰。在一个有效的数学教学规划中：安排足够的时间给数学课，所有学生每天至少接受50到60分钟的数学课（不包括家庭作业）；对于数学成绩低于年级标准的所有学生，无论原因为何，都应该给予更多的指导时间。鼓励每个学生在整个高中阶段选修数学课。,教学时间,学习时间延伸到家庭作业，当学生成熟时提高难度和作业时间，家庭作业必须评分并检讨。家庭作业是练习先前教过的技巧，或令学生使用以前学过的知识和技巧去解决新问题。依不同年级给予适当的家庭作业量，至少在低年级如此，可将焦点放在独立练习和应用教过的技巧；至于高程度学生，作业则可以
14、用来让学生探究新概念。在数学课大部分时间中，鼓励学生做一个积极的参与者。所谓的积极指的是在该时间里，学生必须思考数学题目或是做数学。数学教学最大化，并且避免干扰，例如被召去办公室、公共广播或课外活动。,回家功课,没有课外学习，学生的成就不会改善。回家功课应该在小学一年级就开始指派，而且随着年级的增加，也要增加其复杂的程度与练习时间。作为一个有效的工具，回家功课应该效延续上课的内容；它的目的以及跟上课内容的关系，必须对教师、学生与家长都很清楚。,教学资源,教学资源注重涵盖的深度，最具深度的教学资源满足最严谨、最优先的标准，提供大量的练习。教学资源应取得下列三者的均衡：运算和程序技巧、概念理解，和
15、解题；并强调这三者之间的关连性。教材资源提供大量的机会给学生去说明他们的想法，无论是口述或书写的方式、正式或非正式。教学资源想法和教具，适于任何教室里的各种学生。它们提供关于如何重教一个概念建议；提供额外的练习给落后的学生；或浓缩课程教学，使得高程度的学生专注于新教材。,教学分组和进度,研究显示，比较会影响学生学习成就的是教学内容，而不是学生如何分组（Kulik 1992;Rogers 1991）。教育工作者的首要焦点应该总是放在教学品质，分组教学和进度只是教学工具，教育工作者可用来提高教学效果，这两者既不在教学目的之内，也不能成为教学目的本身。,教学分组和进度,有效的数学课程规划：（1）根据
16、个别班级的变量选择分组。（2）根据学生表现或例行评量结果，改变分组策略。明智地使用合作式的分组，由老师给予或指导探索延伸或补充初始教学。尽管学生常可从彼此间的讨论互相学习，并且从有机会彼此讨论中受益；然而，教师是教室中主要引导者，在合作学习中担任主动的指导者；当使用了合作学习，应该引导学生朝往最终的目的，精熟标准并且对自己的学习负责。以教学需求为取向的跨学年混班分组教学，在学年开始时增加了教师和行政人员在课表安排上的困扰，可是稍后许多教师发现，实行跨年级或跨班级分组教学后更自由，因为它减少了教师在一堂课中必须准备教导的学生层级数。,资优生,有个分组的纵贯研究，其研究对象是1000多位中低年级资
17、优学生，在特殊学校特殊班级里接受充实课程和加速课程。研究结果发现，和没有接受特殊课程的资优生比起来，这些学生在语言艺术、数学、科学，以及社会科学的成就表现有很明显的进步 (Delcourt 等人,1994)。,教室管理,教师正面而且乐观相信每一名学生都可以达到目标。研究显示，教师的自我评价和对科目的热忱对于学生学习成就之影响度，更甚于学生的自我评价。教室具有强烈的目的，教师和学生都清楚地了解学术和社会两种要求。学术要求直接关连到标准。促进自愿的方法是藉由帮助学生发展对数学的深层理解，鼓励他们下功夫投入学习，并且组织教材使得学生经验掌握一项困难的技巧或概念的满足。谨慎使用外在奖赏，例如：作为暂时
18、性奖励的手段，以鼓励年纪较大却没有内在动机努力学习数学的学生们。,专业发展,持续的教师在职训练应该把焦点放在：（1）促进教师的数学精熟度；（2）提供教学工具，以帮助所有学生达到或超过该年级标准。教师发展是长期投资，由行政系统强力支持并设计以确保教师持续发展在数学课程和补充教材两方面的知识和技巧。和学生一样，教师发展让教师们积极参与数学与数学教学。除了积极参与课堂式的教师发展以外，也有机会在课堂训练中与学生和讲师一起互动。应该邀请能指导教师提高学生数学学业成就的专家，示范有效教学实务。安排时间和机会给教师，让他们一起规划数学课程。,教育管理,数学成就必须列在学校的最优先项目中。清楚地勾勒出学校、
19、各年级和个人的短程和长程目标，并且经常检验。安排、分组以及配置人员的调整，都应本于所有学生都达到或超越数学标准。对于学生的成就，校长应该表现出个人强烈的责任感。行政人员事先对偶发事件做准备，例如有必要经常调整教学组别，协助转校生适应，或因学生成绩普遍表现不好，重新设计教案。行政人员和教师要密切合作在发展全校管理系统和全校对数学的努力，以展示给学生、家长和社区其它成员。,社区参与,鼓励家长参与教育并共同协助他们孩子的数学学习。家长的意见受鼓励、珍视，并且用于课程规划。教材组织过，使得家长、学生的兄弟姐妹和社区成员可以广泛地提供他们的学习经验。社区可以作为教室，它能提供许多实例，关于数学如何以及为
20、何在人们实际生活、工作和思考中是重要的。,内容标准,内容标准数学条目关键标准(K-7年级)焦点标准(8-12年级),内容,数感代数 & 函数测量 & 几何统计、数据分析 & 概率数学推理,各年级的数学科目分配表,样例,幼儿园,例题：配配看，尽可能将左边格子里的豆子与右边格子里的豆子配对，使配对后的豆子总数不超过10，看最多能有多少组？,幼儿园,数学推理1.0 学生能决定如何形成问题：1.1 能决定采用什么方法、资料和策略。1.2 能利用工具或策略，例如：用辅助工具或手绘简图来说明已经形成的问题。2.0 学生能透过合理的方式进行解题，并能检验他们的推理：2.1 能透过实物和 /（或）图像表征，来
21、解释个人的推理过程。2.2 能在问题情境中做精确的计算，并且检验答案的有效性。例题：一个袋子里有4个苹果，3个柳橙、5根香蕉和3个马铃薯，请问：（1）袋子里一共有几个水果？ （2）袋子里一共有几种不同的水果？（3）袋子里一共有多少个物品？,一年级,1.4 能以几个1和几个10来计数和组合对象（例如：3个10与4合起来是34，或304）。例题：某一品牌的口香糖每一包有10片，请问：（1）如果要让14个学生每人至少有一片口香糖，那么我们最少要买几包？（2）如果有19个学生呢？（3）21个学生呢？,一年级,1.1 能根据问题情境，列出解题之加减法关系式例题：请依序解出下列各题。 （1）Marie的书
22、桌上有一些铅笔，如果她再放5枝铅笔，她就有14枝铅笔，请问书桌上原先有几枝铅笔？（2）Eddie原有14个氦汽球，有些汽球飘走了，还剩下5个。请问他少了几个汽球？（3）Nina 有14个贝壳，她比Pedro多5个，请问Pedro有几个贝壳？（4）5（ ）6 ；（ ）1214，（ ）里的数分别各是多少？,二年级,例题：Mysong和Naoki在玩一个游戏，他们正在做一个加法的问题，他们利用给定的四个数字：1、2、3、4，来做出两个二位数，每个数字只能使用一次。如果能做出两个二位数使得两数和最大的人就是赢家。Mysong做出43和21，Naoki做出31和24，请问谁是赢家？你怎么知道的？如果你想
23、要打败Mysong和Naoki，必须要做出哪两个二位数？（改编自TIMSS，gr.4，V-4）（此问题也可适用于数学推理课程标准1.0）,二年级,例题：农场里有两只马都要装上马蹄铁，请问需要几个马蹄铁？当农场有3匹、4匹、5匹、6匹、7匹、8匹、9匹、10匹马时，需要几个马蹄铁？请以一个系统的(organized)方式来表示。,三年级,例题：请问下列哪一个叙述是一定会发生的？哪一个是可能发生的？哪一个是不太可能发生的？哪一个是绝不可能发生的？ 两个六个面的立方体，每一面分别写上1、2、3、4、5、6，随机丢掷这两个立方体，两个立方体朝上那面的总和是12。 过新年那天下雪。 七月中的任何一个星期
24、日，在我国的某个地方有一场篮球赛。 六月时阳光普照。 任意选两个一位数的和是17。,三年级,2.0 学生能利用策略、技能和概念来求解：2.0.1 能运用估算来检验计算结果的合理性。例题：有同学说49大于21，是因为9比1大。请证明他是对的，或是证明的说法是错的。,四年级,例题：下表中的A、B两行之间有许多不同的规则，你能说出一种吗？（改编自TIMSS，gr.4，J-5）,五年级,数学推理1.0学生能决定如何处理问题：1.1 在分析问题时，能藉由辨识关系、区分相关与不相关的信息、排列资料的先后次序和观察样式。1.2 能决定在什么时候、用什么方式把复杂的问题解析成几个较简单的问题。,五年级,数学推
25、理2.0 学生在求解时，能利用策略、技能和概念： 2.1 能运用估算来检验计算结果的合理性。2.2 能将解决简单问题的策略和结果，应用在较复杂的问题2.3 能使用不同的方式，如文字、数字、符号、图表、统计图表和模型来解释数学的推理。2.4 能利用适当的数学符号、专有名词、使用清楚的语言和逻辑呈现解答；并能透过口头和符号两方面的证据来支持解答。2.5 能针对问题指出精算与概算二者相对的优点；并能依所需给予某种精确程度的答案。2.6 能做精确的计算，并能由问题情境来检验结果的有效性。,五年级,数学推理3.0 学生能将特定问题一般化，进而迁移到其它的情境。 3.1 能由原先情境的脉络评估解答的合理性
26、。3.2 能指出获得答案的方法，并且解类似题中发展出概念性的理解。3.3 能将归纳所得到的结果一般化；并能将它们应用在其它的情况。,六年级,例题：请求出下列各体积（单位是公分）,七年级,3.0 学生能知道勾股定理；能藉由作出满足已知条件的形体、辨识形体的属性，以加深他们对平面、立体几何形体的了解。3.1 能辨识几何图形的基本要素（例如：高度、中点、对角线、角平分线、垂直平分线、圆心角、半径、直径、圆的弦），并能使用圆规、直尺作图。 3.2 能理解并使用坐标图来绘制简单的图形；能算出它们的长度和面积，并能画出经过平移与反射之后的像。 3.3 能知道并能理解勾股定理，以及其逆命题；能利用它来求出直
27、角三角形未知边的长度，以及其它线段的长度；能在某些情况下藉由直接测量来检验勾股定理。例题：已知等腰直角三角形的斜边是 ，请问腰长为何？,七年级,3.4 能说明两个几何图形全等的条件；并能指出：当两图形全等时，两个图形对应边和对应角之间的关系。 3.5 能绘制立体模型的平面样式，例如圆柱、角柱、角锥。 3.6 能辨识立体几何形体的要素（例如，长方体的对角线）；并能描述两个或多个形体在空间中的关系（例如，歪斜线，三个平面可能的相交方式）。,代数I,例题：找出围成下列区域的两个不等式：,几何,2.0 学生能写出几何证明，包括归谬证法。例题：如果C点是下图的圆之圆心，证明角b的度数是角a的两倍。,几何
28、,7.0 学生能证明与利用的并行线截线性质、四边形的性质与圆的性质在内的定理。试证：依序连结四边形各边的中点（顺时针或逆时针）所围成的图形为平行四边形。,几何,14.0 学生能证明勾股定理。15.0 学生能利用勾股定理求距离及找出直角三角形未知边的长度。16.0 学生能藉由直尺与圆规进行基本作图，例如：角平分线、垂直平分线及过已知线外一点的并行线。17.0 学生能利用平面坐标系来证明以下定理：一线段的中点坐标公式、距离公式及直线与圆的方程式之各种等式。18.0 学生能了解由直角三角形的角所定义出的基本三角函数定义，他们也应该知道并且能够利用这些三角函数之间的关系，例如：tan(x)=sin(x
29、)/cos(x)，(sin(x)2+(cos(x)2=1,几何,例题：请利用圆的内接正六边形的周长，以解释为什么3（ICAS 1997）。,代数II,例题：在下图中，介于二个正方形之间的面积是11平方英吋，二个正方形的周长是44英吋，请求出较大那个正方形的边长（ICAS 1997）。,代数II,9.0 学生能说出并解释(demonstrate and explain)改变一个二次函数的系数，会对该函数的图形造成什么影响，也就是说，当方程式,中的a、b与c改变时，学生能知道该方程式的图形会如何改变。10.0 学生能画出二次函数的图形，并且能求出该函数的最大值、最小值与函数值等于0的解。例题：请列
30、出在x=-1与x=2等于0的一个二次函数。请列出只有在x=-1与x=2等于0的一个三次方程式。,代数II,例题：下列哪些函数是它自身的反函数？请你最少用二种方法来回答问题，并且说明你的解法。（ICAS 1997）,代数II,科学家已经观察到：生物体内不仅有C12，还有固定比例的放射性元素C14。一旦生物体死亡，C12的量会维持不变，但是C14的量会呈现指数式的衰减，C14的半衰期是5500年。1965年在Newfoundland发现维京人的烹饪坑里有木炭。经过分析，该木炭剩下88.6%的C14，请问这个维京人的居所大约是在什么时候？(ICAS 1997),三角,例题：请在绘图用的电算器上，画出
31、函数,的图形。请选定某个窗口让你自己能谨慎的检视这个图形：这个函数的周期为何？这个函数的振幅为何？利用这个信息，将函数f表示成一个比较简单的三角函数。,数学分析,例题：画出,的图形。画出,及,的图形，根据你绘的h(x)图形，请求出x值，使得,线性代数,1.0 学生能利用高斯-约旦（Gauss-Jordan）消去法，以解决多变量的联立线性方程式。2.0 学生能将联立方程式转换成系数矩阵，然后利用高斯-约旦方法进行矩阵的列运算。3.0 学生能将矩形矩阵化简为梯形矩阵。4.0 学生能做矩阵与向量的加法运算。5.0 学生能算出矩阵与向量的乘积，以及矩阵与纯量的乘积。6.0 学生能了解联立方程组是矛盾（
32、没有解）、只有一个解或者是有无限多解。7.0 学生能了解向量及向量加法（藉由平行四边形）在平面与三维空间的几何意义。,线性代数,8.0 学生能了解联立方程组的解集合的几何意义，例如：二元一次联立方程组的解集合就是平面上两条直线的交点。9.0 学生能了解反方阵的观念，并且利用这个观念来解出联立线性方程式。10.0 学生能算出22与33矩阵的值，并且了解这些值所代表的几何意义，就是二维与三维空间中的标准基底向量所围出空间的面积与体积。11.0 学生能了解一个方阵若为可逆，若且唯若该方阵的行列式的值不为0。他们能利用列的简化法（row reduction methods）或克拉莫法则（Cramers
33、 rule）来求出22与33的反矩阵。12.0 学生能算出n维空间中二个向量的纯量乘积，并且了解两个向量互相垂直则向量乘积为0。,高级概率统计,2.0 学生能了解条件机率的定义，并用来解决有限样本空间的机率问题。如果你口袋里有5个硬币：1个一分硬币、2个五分硬币、1个一角硬币与1个二角五分硬币，如果你随机拿出二个硬币，而且它们的价值超过十分，那么你拿出1个二角五分硬币的机率有多少？,高级概率统计,例题：有一个连续型随机变量，它的可能值在0到2之间，其机率密度函数,，0 x2，请问x1的机率为何？,微积分,例题：有个人在船上，离平直的岸边24英哩远，他想到下游20英哩的岸边。如果坐船，他的速度是每小时5英哩；如果在陆地上行走，他的速度是每小时13英哩，请求出他到达目的地的最短时间？以及他要将船停在沿岸的哪个地方，才能最快到达？,附录B 小学课程示例：东亚模式,思考题4,美国加州课程标准中特别强调要“保持概念理解、技能训练与问题解决之间的平衡”，你认为提出这一口号的原因和含义是什么？对我国的数学课程改革有什么启示?,
