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1、量子力学与统计物理Quantum mechanics and statistical physics,光电信息学院 李小飞,第三章：量子力学中的力学量,第二讲：算符本征函数系,一、所有力学量算符都是线性厄密算符,二、（厄密）算符对易式,三、厄密算符的本征方程,如上式，若厄密算符作用于一波函数，结果等于一个常数乘以这个波函数，则称这个方程为厄密算符的本征方程。 并称 是 的本征值， 为属于 的本征函数，,定义：,测量公设：在任意态下对力学量A进行测量，其测量值必是相应于算符 的本征值 之一 ；当体系处于算符A的某一本征态 时，则每次测量值是完全确定的，即为,2. 在任何状态下平均值均为实数的算符
2、必为厄米算符。,四、厄米算符的本征值与本征函数的相关定理：,1. 厄米算符的本征值为实数。,3. 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。,4. 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。,5. 厄米算符的本征函数系具有完备性。,6. 厄米算符的本征函数系具有封闭性。,定理1 厄密算符的本征值是实数,定理2 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符,定理3 厄密算符的任意两属于不同本征值的本征函数正交.,看两个空间矢量内积：如果,我们就称两矢量正交(也称线性无关)，即一个矢量在另一个矢量方向的投影为零。内积的实质就是求投影！,我们先理解正交的含义，再证明这个定理,正因为如此，
3、我们常称波函数为态矢量！,如果两个函数的内积 ，我们称他们正交！,本征分立谱：,本征连续谱：,tips:若本征函数本来是归一的，可以把正交与归一合并,定理4 属于同一本征值的多个简并本征函数 可经重组后变得正交归一化：,如果对于同一本征值有多个独立的本征函数,则称本征值a是f重简并的，称这种态叫简并态,这f个函数不一定彼此正交归一，但它们可以重新组合成f个独立而且彼此正交归一的新函数，这些新函数依然是本征值a的本征函数。,例如：原子的px,py,pz三个轨道都有相同的本征能量，但是波函数 却是不同的，因此它们就是3重简并的。,例,解：先找正交归一化函数,再来看它们是否简并,定理3 厄密算符的任
4、意两个属于不同本征值的本征函数正交。,定理4 属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交。,我们可以认定厄密算符的本征函数是彼此正交归一的,综合定理3和4,即： 对于厄密算符A，本征方程如下，,定理5 厄密算符的本征函数系具有完备性，构成完备系.,完备性：任一态函数都可用任一力学量的本征函数系展开，不再需要使用其他任何函数。,如何理解这种完备性？,比较空间矢量与态矢量：,坐标基矢正交归一：,是一组完备的正交归一系（基组），,如何理解这种完备性？,所以，空间上任意矢量都可以用这个基组展开，不再需要添加其他任何基矢。坐标基组是完备的！,三维空间任一矢量：,我们来看态函数的展开系数：,数学理解：
5、态函数就象矢量，本征函数就象基矢；态函数的展开系数就是在相应基矢上的投影；所有的投影构成了态函数在这组本征函数基组上的坐标；坐标构成的数集可以用来表示这个态矢量,继续,它是态矢量在相应本征函数上的投影！,证明如下：,说明它的确就是测得本征值an的概率！,统计理解：任一波函数 都可在本征函数系（基组 ）上 展开，展开系数 就是 处于本征态 的概率,测量理解：展开系数 就是在 态时对力学量A进行测量时， 所得值是本征值 的概率；并且，每一测量值都 属于本征值集,测得值只能是本征值系中的一个，不可能是其他的什么值。,证毕！,就如三维空间一个矢量与其坐标数组是等效的；,量子力学的态矢量也与其在任一本征
6、函数集上的展开系数所构成的数组（一维矩阵）等效。,波函数与矩阵的等效性,Tips:由基矢i, j, k所张开的空间叫三维矢量空间。由本征函数系 所张开的n维矢量空间，称为Hilbert空间，波函数是这个空间的一个矢量,封闭性是完备性的充要条件：,完备性,封闭性：本征函数在自身的投影是一个函数,定理6 厄密算符的本征函数具有封闭性.,1.本征函数的封闭性也可看作是 函数按本征函数展开时，其展开系数恰好是本征函数的复共轭。,2. 本征函数在自身的投影是函数, 在其它本征函数上 的投影是0,封闭性的理解,为什么投影是“” 函数，,原因在于基函数是一种函数，带有自变量x；也就是说，即算对于同一个基函数
7、，自变量x的值不同，函数的值也是不同的！,本征函数小结：,完备性：,正交归一性：,封闭性：,投影：,再论波函数：,1. 统计解释：波函数的模方描述粒子的概率分布 (r, t) = |(r, t)|2 波函数已知， 则任意力学量的本征值、权重及它们的统计平均都可知道。即描写粒子状态的一切力学量都能知道。波函数完全描述体系的量子态，也称态函数。波函数可在任一力学量算符的本征函数系上的展开，且与由展开系数矩阵等效。波函数是Hilbert空间的一个矢量。 4. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，通过解薛定谔方程即可确定以后各时刻的体系的态函数。,波函数完全描述微粒的状态,作业：1.,. 试述波函数是Hilbert空间的一个矢量,.证明 厄米算符本征函数的正交归一性。,备注,施密特正交化方法,
