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1、,第 十 三讲 . 力学量算符的本征值和本征函数性质 A. 力学量的每一可取值都是实数（即本征值）； B. 相应不同本征值的本征函数是正交的,C.Schmit正交化方法 如果一个本征值An对应S个线性无关的本征函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通过Schmit正交化方法来实现正交归一化 。 取 使 ； 取 ，显然，保证 ，且 。同样有,这必然有 ，且,D. 测量结果的几率 在 中测量力学量 取值 的几率为 E. 直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。 如 是力学量 的本征函数组，则任一波函数可以以 展开,.连续谱本征函数“归一化” （1）连续谱本征函数“归一化” 连续谱正交归一化的本
2、征函数 应使其有,“正交归一”的动量本征函数为 “正交归一”的坐标本征函数,而由由这可见（如 已归一化）， 为测量 取值在区域 中的几率。 (2) 函数 A. 函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而是 一分布。但习惯上仍将它看作一函数。,其重要性和意义在积分中体现出来； 它可用一函数的极限来定义。 ab,事实上,我们已一些表示式（作为函数参量极限）,B. 函数的性质 它们在积分中出现时，左边表示可被右 边表示代替。 推论：如有方程AB，则,例 所以 ， 由于 对于 a, b都大于零或都小于零，两式相等； 但a0或a0, b0,则两式不等，从而可定出c，即, 若 ，但 ，即不是重根。,
3、,C. 函数的导数 函数具有任何级的导数，可以证明 , 例：求 之解. 因 , 所以特解是而相应齐次方程是,有解 。 从而得通解 事实上 应特别注意,（3）本征函数的封闭性 已经讨论过厄密算符本征态的正交，归一和完备性，即 （正交，归一）,（完备） 对于连续谱 现来讨论本征函数的封闭性,所以 由此可见， 上述表示式称为本征函数的封闭性，它表明本征函数组可构成一函数 。 例1 的本征函数,有 ，即 人们熟习的形式： 例2 的本征函数,A. 封闭性是正交、归一的本征函数完备性的充分、必要条件。 若 是完备的 封闭性（必要条件） 有封闭性 完备的（充分条件）,1必要条件已证过 2充分条件： 有封闭性
4、: , 则,任一波函数可按 展开，所以，是完备的。 B本征函数的封闭性也可看作 函数按本征函数展开，而展开系数恰为本征函数的复共轭。,4.4 算符的共同本征函数 一次测量有一“涨落” 两算符，在一个态中，一般都有涨落， ， 不同时为零。 在什么条件下， ， 有共同本征函数组。 (1) 算符“涨落”之间的关系 A. Schwartz不等式,如果， , 是任意两个平方可积的波函数，则证：令 , ， 取 ，由 得,从而得： B. 算符“涨落”之间的关系测不准关系：如令,证明,例1 , 由于是一常数，所以在任何态下平均都不可能为0。我们有 这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。,
5、例2 但在态 但这仅是某一特殊态。 例3 在态 下,这时 （2） 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符 ， 必对易 ， 。 定理2：如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。,证：设 是 的本征函数组。它们当然是完备的 如S1，即不简并，于是 当 的本征函数组不简并时，则 是 它们的共同完备的本征函数组。,当S1，即有简并。无妨设 的本征函数组 为 （这也是一完备组）。将 展开,这表明， 是它们的共同本征函数。,它们是完备的（对所有s,n,m集合）。因对任一波函数,（3）角动量的共同本征函数组球谐函
6、数 因 ，它们有共同本征函数组。 A本征值： 设： 是它们的共同本征函数，则,固定 时，m 有上，下限。 由于，,称 为降算符 。 同理,称 为升算符（对 而言）。 由于， 固定时，m 有上，下限。若设 为上限， 为下限，则,为上限， 为下限，,所以，只能取 的本征值可取 的本征值可取,即，取 这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。当然，自由粒子的角动量同样是量子化的。 B本征函数,于是有解根据 ，所以而 ，即得,现求归一化系数,所以，归一化的本征函数显然， 现先讨论 的归一化问题，然后给出 的具体形式。 若 是归一化的，则,现求归一化的波函数,所以，,以此类推,于是得 的共同本征函数组-球谐函数 称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。,当 给定，也就是 的本征值给定，那就唯一地确定了本征函数 。 其性质： 1. 正交归一 2封闭性,3 所以，,因此， 4. 宇称 即 5.递推关系,(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态描述完全确定呢？ 设： 是力学量所对应的算符，并且对易 如 是 的本征函数。,
