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1、,第 二 十 一讲 I. 平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵 形 式。 （1）平均值：力学量 在体系（处于态 ）中的平均值为,是 在 中的表示。 若 包括力学量,B. 对于两个算符乘积的平均值（2）本征方程：算符的本征方程在 表象为,从而有 要方程组有非零解，即 不全为 ，则要求系数行列式为 ，即,由这求出 . 然后代入方程组求出相应的 （3） 薛定谔方程 在 表象中，基矢为 ，则,这即为 表象中的薛定谔方程的矩阵形式。 若 不显含 ，而 表象就是 表象，则 从而得,当 不显含t，在 表象中 的表示为,， 由初态给出（它是 时， 在 表象中表示） ，由 在任一表象中 求出。,. 量子态的不同描
2、述 波函数和算符不是直接观测量. 仅力学量取值，及其几率分布（或几率）是直接观测量。 因此，重要的是： 可能取的值 测量 取 的几率振幅,A. 薛定谔绘景 （Schrodinger Picture） 若 不显含 ，则,所以，这一变换是一幺正变换 而本征方程 若 不显含 ，那 ， 也与 无关 时刻，测量 取值 的几率振幅为,在薛定谔绘景的描述中，态矢量随 t 的变 化，反映在它的表示随 t 的变化。而力学量的本征值及本征矢不随 t 变化。,B.海森堡绘景 （Heisenberg Picture） 1. 态矢量 2. 算符和本征方程,本征值相同，基矢随时间演化 对易关系保持不变,3. 算符随时间变
3、化（运动方程） 不显含,这时,4. 本征矢随 t 变化,这表明，在H.P.中态矢量不随 t 变 ，而相应的本征矢沿一定方向反“转动”,将算符方程 用于 ，,例：求H.P.中一维谐振子的坐标算符和动 量算符。,显然，,但,第七章 自旋,在讨论电子在磁场中的运动时，我们发现电子具有轨道磁矩。 如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的 附加能量为,如 在 方向,显然 是量子化的，它取 个值 在较强的磁场下（ ），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好地解释它。 但是，当这些原子或离子置入弱磁场 1T的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们
4、进一步探索。,7.1 电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach实验（1922年） 当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为 如果经过的路径上，磁场在Z方向上有梯度即不均匀，则受力,从经典观点看 取值（从 ）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值 所以原子应分布在一个带上。 但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的,银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。,而人们知道，银原子（ ）基态 ，所以没有轨道磁矩. 而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，这磁矩在任何方向上的投影仅取
5、二个值。只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩 。与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。（2）电子自旋存在的其他证据 A碱金属光谱的双线结构 原子光谱中有一谱线，波长为5893。,但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成 这一事实，从电子具有三个自由度是无论 如何不能解释 。B反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect） 原子序数 为奇数的原子，其多重态是偶数， 在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶如钠 和 的两条光谱线，在弱磁场中分裂为 条和 条。这种现象称为反常塞曼效应。,C在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相 邻能级间距，
6、并不一定为 ，而是 。 对于不同能级， 可能不同，而不是简单为( 称为 因子 )。 根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck）（乌伦贝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）提出 假设 电子具有自旋 ，并且有内禀磁矩 ，它们有关系, 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值 ，所以 以 为单位，则 （而 ）,现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。 考虑到辐射修正,7.2 自旋微观客体的一个动力学变量 (1) 电子的自旋算符和它的矩阵表示 由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩,假设： 自旋算符 有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系 A. 对易关
7、系 B. 由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值 ，所以,于是 是一常数 C.矩阵形式 由于其分量仅取二个数值，也即本征值仅二,个，所以 可用 矩阵表示。 若选 作为力学量完全集，即取 表象，那 在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值,相应的本征矢其对应的表示为， 在 表象中 的矩阵表示,我们知道，这只要将 作用于 的基矢并以 基矢展开，从展开系数来获得. 由 因此,和 标积,同理可得,得系数矩阵为 转置得,系数矩阵为 转置得对于 在 方向上的分量为,则本征矢, Pauli Operator；为方便起见，引入泡利算符 于是，在 表象中有（或称Pauli表象）,称为泡利矩阵由此得,于是有 例求 的本征值，本征矢在 表象中表示 因已知在 表象中 的矩阵形式为,所以， 在 表象中的本征方程 要 不同时为 ，系数行列式应为,对于,（2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 A.自旋波函数（电子的自旋态） 对于 的本征方程为在其自身表象,
