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1、,第 二 十 八 讲 .简并能级的一级修正,要有非零解(即 不全为 )，则必须由这可解得,A. 新的零级波函数 之间是正交的 B 在 子空间中是对角的,简并态的二级微扰 A. 若,B. 若则,因此，求得,C简并态可用非简并微扰处理的条件则可选非微扰态为 的共同本征态作为零级波函数,若 任意则 可用非简并微扰方法处理,例1: 在均匀电场中的刚体转子 所以 的能级 有 重简并,而 （ 在 方向） 如取 的共同本征函数作为零级波函数，则可直接用非简并微扰方法求微扰对能级能量的影响,而我们现在取 的共同本征态， ，简并态的标记恰好为 的量子数。 因 所以 因此，如处理 ，则不必担心其它简并态 ( ）的
2、存在。,例2：在均匀外电场中的平面转子 有本征态,相应本征值为 。所以，是两重简并 而 ( 在 轴 ),即，简并态之间无作用；显然 按照前面的讨论。现在态的简并是以 的量子数 来表示的。但所以原则上不能用非简并微扰去做。,在上一节，我们已看到，用非简并微扰论去求二级修正，所得结果，对是错误的 我们已利用正确的公式求得正确的能量二级修正,所以，利用 不行。看能否找到另一力学量来将 的简并态分类，以便能用非简并微扰论来处理？,有一算符 使 由于,所以 因此， 的本征态，不是按分类，而是按 分类，即取 的共同本征函数组作为零级波函数，则可用非简并微扰方法来处理。,注意,于是，一级微扰修正为 而二级微
3、扰修正,错误,例3： 若以 来分类，两重简并态,或以 来分类，两重简并态 由于 , ，所以原则上都不能用非简并微扰方法去做。 若用非简并微扰方法求能量的修正，则,而用第二组,但若用 ，它是将 显然， 若取 的共同本征函数为 的本征函数,这时，可用非简并微扰方法做 如严格按简并微扰论做，在第一组,在第二组,在处理简并能级微扰时，要特别用心于 A. 选取正确的零级波函数; B. 正确判断能否用非简并微扰 论的方法去求微扰修正。,8.2 变分法：定态微扰论有效，是必须找到 ，要求 有解析解，且逼近 。但这并不是容易做到的。 另一种求解法，是用变分法求定态解。 （1）体系的哈密顿量在某一满足物理要求的
4、试探波函数上的平均值必大于等于体系基态能量 证：,设： 是 的本征态，本征值为 显然， 形成正交完备组，于是,当 时，等号成立。 因此，当我们用一试探波函数去找能量平均值时，一般总比基态能量大。再通过求变分，以得尽可能小的平均值及相应波函数，使之较为接近真值。当然，这平均值仍大于等于基态能量，即由变分给出的平均值是基态能量的上限。 （2）Ritz 变分法 现可利用变分原理到具体问题上，以求体系的近似本征能量和本征函数。 基本思想：根据物理上的考虑给出含一组参,量的试探波函数 A.求能量平均值，以 表示， B. 对 求极值，从而确定 显然， （基态能量）,当然，如果要求第 条能级的近似本征值和本
5、征函数，则要求知道第一条（基态） 第 条能级的波函数，（设 已归一化）。取试探波函数 ，然后处理一下，给出新的波函数 再求 的极值，定出,从而给出第 条能级的近似本征值（即上限）及近似波函数,所以，是第 条能级的上限。 例：求氦原子的基态能量(即外有两个电子) 我们知道，氦原子的哈密顿量为（忽略）,从物理上考虑，当二个电子在原子中运动，它们互相屏蔽，使每个电子感受到原子核的作用不是两个单位的正电荷，而是比它小。究竟是多少？很自然可把它当作待定参量，利用Ritz 变分法来求基态能量的近似值。 因类氢离子的基态波函数为,则 满足所以，取试探波函数为,显然，于是,（这里 是已归一化的）,Ritz变分
6、，是由给定 （函数形式给定），即 ，仅改变参量 ，使 取极小（但函数形式不变），所以只能得到近似的本征函数和本征值的上限,8.3 量子跃迁 前二节，我们解决的是 与 无关，但不 会直接求解，而利用 有解析解，并且 较小，通过定态微扰论求解的近似本征值和本征函数,或通过变分法，利用试探波函数，来获得所求能级的能量上限。 现在要处理的问题是：体系原处于 的本征态（或叠加），而后有一微扰 作用到该体系。因此， 与 有关 显然，这时体系的能量不是运动常数，其状 态并不处于定态（即使 在一段时间中不变），在 的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。,也就是，体系可以从 的一个态以一定几率跃迁到另一
7、态，我们称这为量子跃迁。处理这样的问题就需要利用含时间的微扰论。 总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。 (1) 含时间的微扰论： 与 有关，体系的哈氏量原为 ，随 有一微扰,因 不显含 ，而有则 的通解为,而 是常数 而当 时，即 时，处于即微扰不存在时，体系处于定态 上。 当微扰存在时，特别是与 有关时，则体系处于 的各本征态（或定态）的几率将可能随时间发生变化,设： 当然， 仍可按 的定态 展开。但由于 不是 的定态，所以展开系数是与 有 关。,代人S.eq.与 标积，得,于是有,（ 为 的本征态） 是 时刻，以 描述的体系，处于
8、的本征态 中的几率振幅。实际上，上式是S.eq.在 表象中的矩阵表示。这方程的解依赖初态和 。 假设 很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。令,则有,于是有解 ，它 与 无关 由初条件 时，体系处于 即得于是有,又由,由此类推 而,（2） 跃迁几率：若 很小，即跃迁几率很小。我们只要取一级近似即可，则 这表明，体系在 时刻处于 定态 。在 时刻，体系可处于 的定 态 ， 而其几率振幅为 （ ）。 因此，我们在 时刻，测量发现体系处于这一态的几率为,例1：处于基态（ ）的氢原子，受位势（ 为实参数）扰动, 求 时，处于态 的几率,求, 选择定则：由, 对 选择定则为：,当 很大（即微扰时间很
9、短）， 所以氢原子受扰动后仍处于基态（Sudden 近 似）; 当 很小（微扰缓慢加上），,所以氢原子经扰动后仍处于基态（非简并态）(Adiabatic 近似）。 例2将自旋为 ，磁矩为 的粒子置于转动磁场中,时，粒子处于 的状态，讨论跃迁情况 解：设 时，粒子处于 ，末态为,仅与自旋相关，所以其它量子数应不变 。而 时处于 ，所以仅 项引起跃迁，而 项不引起跃迁。,于是 （3） 微扰引起的跃迁 A.常微扰下的跃迁率：在某些实验中，,微扰常常是不依赖于 的（在作用时间内） （ ）,所以， 时，体系处于 本征态 ，而在 时刻，体系处于 的本征态 的几率为（当 时，一级近似就满足了）,总跃迁几率为( 是末态能量为 的态密度，要注意的是 的能级密度，而不是 的。) 单位时间跃迁几率（称为跃迁速率或跃迁率）,而 所以，当 t 足够大，则有,它表明： 跃迁率与时间无关。通常称为Fermi黄金定则; 当 一定大后，跃迁贡献主要是来自同初态能量相同的末态。 应该强调，使公式成立的条件：t 足够大，（ ）虽然很小，但主要贡献都包括；,不能太大，以保证 , 所以要求 要小，使一级近似满足要求。,B周期性微扰下的跃迁率 设：微扰随时间作周期性变化 与t无关 在一级近似下,
