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1、Pushover推覆分析,翁大根,Pushover方法于1975年由Freeman等提出，以后有发展但未引起更多的重视。90年代美国科学家和工程师提出了基于性能（Performance-based）及基于位移（Displacement-based） 的设计方法，引起了日本和欧洲同行的极大兴趣，从而导致Pushover方法重新激起广大学者和设计人员的兴趣，美国ATC-40、FEMA-273&274、日本、中国等国家规范采纳,性能设计基本概念,基于性能设计方法的两个关键部分是需求和能力。需求（外部作用）代表了地震地面作用。能力（抗力）代表了结构抵抗地震作用的能力。,结构性能指标,性能指标就是在给定
2、的地震地面运动条件下所要求的建筑性能水准。1）建筑性能水准包括结构性能水准和非结构性能水准。其中，结构性能水准有：SP-1 立即居住（Immediate Occupation）SP-2 损坏控制（Damage Control）SP-3 生命安全（Life Safety）SP-4 有限安全（Limited Safety ）SP-5 结构稳定（Structural Stability）SP-6 不考虑（Not Considered） 非结构性能水准有：NP-A 可用（Operational）NP-B立即居住（Immediate Occupation） NP-C 生命安全（Life Safety）N
3、P-D 有限安全（Limited Safety ）NP-E 结构稳定（Structural Stability） 推荐使用的建筑性能水准有：1-A：可用：（Operational）1-B：立即居住：（Immediate Occupation）3-C：生命安全（Life Safety）5-E：结构稳定（Structural Stability）,大震不倒位移角小于1/50（1/100）,2）地震地面运动：包括三个水准 a、小震（The Serviceability Earthquake，）：50年超越概率50（frequently occurred earthquake；low-level ea
4、rthquake） b、中震（The Design Earthquake，）: 50年超越概率10(fortification intensity earthquake） c、大震（The Maximam Earthquake）: 50年超越概率23（seldomly occurred earthquake；high-level earthquake；） 不同的建筑可以选择不同的性能指标，同一建筑对不同的地面运动可以选择不同的性能指标，举例如表所示：,基本安全指标如上表所示，是达到3-C（生命安全水准）及5-E（结构稳定水准）的双水准性能指标。,亦可定义二重或多重性能指标，如：,注：基本安全指
5、标如上表所示，是达到3-C（生命安全水准）及5-E（结构稳定水准）的双水准性能指标。,非线性静力分析（1）（Nonlinear Static Procedure）,Pushover方法从本质上说是一种静力分析方法，对结构进行静力单调加载下的弹塑性分析。在结构分析模型上沿高度施加某种规定分布形式且逐渐增加的侧向力或侧向位移，构件如有开裂或屈服，修改其刚度，直至结构模型控制点达到目标位移或结构倾覆为止的过程。控制点一般指建筑物顶层的形心位置；目标位移为建筑物在设计地震力作用下的最大变形。,非线性静力分析（2）（Nonlinear Static Procedure）,Pushover方法的早期形式是
6、“能力谱方法”（Capacity Spectrum Method, CSM），基于能量原理的一些研究成果，试图将实际结构的多自由度的弹塑性反应用单自由度体系的反应来表达，初衷是建立一种大震下结构性能的快速评估方法。从形式上看，这是一种将静力弹塑性分析与反应谱相结合、进行图解的快捷计算方法，它的结果具有直观、信息丰富的特点。,非线性静力分析（3）（Nonlinear Static Procedure）,Pushover方法是90年代以后出现的基于位移的抗震设计（Displacement-Based Seismic Design)和基于性能（功能）的抗震设计（Performance-Based S
7、eismic Design, PBSD）方法得于实现的重要工具。Pushover方法包含两方面的内容：（1）计算结构的能力曲线（静力弹塑性分析）（2）计算结构的目标位移及结果的评价,非线性静力分析（4）（Nonlinear Static Procedure）,计算结构的能力曲线（静力弹塑性分析） 中心问题是：静力弹塑性分析中采用的结构模型和加载方式。计算结构的目标位移及结果的评价中心问题是：如何确定结构在预定水平地震作用下的反应。（1）以ATC-40为代表的CSM方法；对弹性反应谱进行修正。（2）以FEMA356 为代表的NSP（Nonlinear Static Procedure）方法；直接
8、利用各种系数对弹性反应谱的计算位移值进行调整。两个方法在理论上是一致的。,非线性静力分析（5）（Nonlinear Static Procedure）,结果的评价：确定需求曲线与能力曲线的相交点。需求曲线基于反应谱曲线，能力谱基于Pushover分析。Pushover分析中，结构在逐渐增加的荷载作用下，其抗力不断变化，通常用底部剪力顶部位移曲线来表征结构刚度与延性的变化，这条曲线可以看作是表征结构抗侧能力的曲线。将需求曲线与抗侧能力曲线绘制在一张图表中，如果两条曲线有交点，则此交点为性能点。利用该点座标，能够得到结构在用需求曲线表征的地震作用下结构底部剪力和位移，通过比较结构在性能点的行为与预
9、先定义的容许准则，判断设计目标是否达到。,逐步确定能力谱的方法,Pushover曲线可以表现出结构的抗震能力。使用基底剪力和顶点位移来描绘结构的力位移曲线是最为便利的方法。一些非线性计算机程序（如DRAIN2DX（Powell et.al.1992）可以不需要迭代而直接进行Pushover分析，下面描述的方法对于这样的程序不适用。当使用线性计算机程序（如ETABS，SAP2000，RISA（RISA 1993）时，下面描述的过程可以用于构建Pushover曲线：注：能力曲线适用于以第一振型为主、基本周期不超过1s的结构，对于基本周期长于1s的更柔性的结构，分析中需要考虑高阶振型的参与作用。,P
10、ushover 过程：1、将模型中的构件区分为主要构件和次要构件。 注：主要构件是指主要承受侧向作用的构件，次要构件指在侧向作用下不起显著作用的构件。2、给结构施加与质量和基本振型形状乘积成比例的各层水平作用力。本分析中同时应该包含重力荷载。,注：Pushover分析的过程是：按照指定的加载模式，对结构施加逐渐递增的水平推力，直到结构达到极限状态。在Pushover分析中可能有多种侧向力分布方式，下面给出五种侧向分布模式的例子：1）、在结构顶层施加一个水平集中力（一般仅针对于单层结构）；2）、按照规范对结构各层施加按比例分布的侧向力，不考虑顶部集中力。3）、给结构施加与结构层质量和弹性模型的第
11、一振型形状乘积成比例的侧向力。或均匀分布力4）、与3）一样，直至结构达到第一次屈服。在结构屈服之后，每一次水平力的增量都要调整，以保证与结构振型形状的改变一致。5）、与3）和4）相同，但在根据第一模态侧向力和变形绘制能力曲线的时候，在确定单个结构单元屈服时需要包括更高振动模态的作用。第三种分布是一种基本方法；第四种分布适用于有薄弱楼层的结构；第五种分布适用于较高的结构或者可能导致多种振型共同作用的不规则结构。,3、将竖直与水平荷载进行组合，计算构件内力。4、调整水平力，使一些构件（或一组构件）的应力增量控制在其容许强度的10以内。 注：这些构件可能是：受弯框架的连接件，支撑框架的压杆，或者剪力
12、墙。当达到它的容许强度时，这些构件被认为是无法再承担增加的水平荷载。因为结构中一般有很多这种构件，对每一个构件的屈服过程都进行分析既浪费时间也是没有必要的。所以在这种情况下，具有相同或相近屈服点的构件会被归于同一组。大多数结构在10步以内都可以分析完，很多简单的结构只需要3到4步就可以结束分析。6、记录基底剪力和顶点位移。 注：记录弯矩和转角也是有效的，因为它们会在检查结构性能的时候会被用到。7、对屈服的构件采用零刚度（或很小的刚度）对模型进行修正。8、将施加新的增量后的水平力作用在修正后的结构上，直到另一根构件（或一组构件）屈服。 注：在一个新增量开始和前一个增量结束的时候，单元上实际的力和
13、转角应该是相等的，然而，水平荷载每一次增量施加的过程都是一个从零初始状态开始的独立分析。因此，为确定下一个构件何时屈服，需要将现有分析中的力加到前面所有分析产生的力的总和上去。类似地，为了确定单元的转角，也需要将现有分析中的转角数值与以前分析中的转角数值进行叠加。,9、将水平荷载和相应的顶点位移的增量与所有前面分析产生的数值进行叠加后，给出基底剪力和顶点位移的累计值。10、重复第7，8和9步，直至结构达到最终极限状态，如：由于P-效应导致结构失稳；扭曲在相当程度上超过预计的性能水准；一个单元（或一组单元）的侧向变形达到某一数值时，开始发生明显的强度退化；或者是某一构件（或一组构件）的侧向变形达
14、到某一数值时，导致结构失去重力承载能力。,11、精确模拟整体的强度退化。如果结构在第10步达到了侧向变形极限，便停止加载，此时会有一个或者一组构件已经无法继续承担大部分或所有的荷载，即其强度已明显退化，然后这根（批）构件的刚度会减少，或者消失。从第3步开始再建立新的能力曲线。建立尽可能多的Pushover曲线，可以更充分地表现强度丧失的全过程。图8.2中以三条不同的能力曲线为例子表现这个过程。,绘制最终的能力曲线，从第一条曲线开始，在与初始刚度退化相对应的位移处过渡到第二条曲线，依此类推。这条曲线将为锯齿状曲线，如图8.3所示。,8.2.2逐步确定需求曲线的方法,为了确定结构是否满足给定的性能
15、水准，必须确定能力曲线上的一个同地震需求相一致的位移点。能力谱方法是基于找到能力谱上的一个点，这个点同样位于适当的由于非线性作用而折减的需求反应谱上。能力谱方法中将能力谱和需求谱曲线的交点称为性能点，这个性能点表示结构抗震能力同施加在结构上的特定的地面运动的地震作用相等。注：可以使用一种称为等价位移近似法的方法来近似估计给定地震作用下的位移。等价位移近似法是基于这样一种假设，即非弹性谱位移同结构在完全弹性情况下的位移一样。如下图所示：,使用能力谱方法计算需求 性能点的位置必须满足两个条件： 1）该点必须位于能力谱曲线上以表示产生该位移的结构；2）该点必须位于由5设计弹性阻尼谱折减的需求谱曲线上
16、以表示该位移的非线性需求。 总的来说，能力点的确定需要进行试错法以满足上述两点要求。可以使用三种不同方法来标准化和简化这种迭代的过程。这三种方法是基于同样的概念和数学关系，只是在进行图解的分析方式上不同。,能力谱方法相关要点将能力曲线转化为能力谱,要使用能力谱方法，必须将能力曲线（即上述的底部剪力-顶点位移曲线，或V-roof曲线）转化为能力谱格式，即加速度-位移反应谱（Acceleration-Displacement Response Spectra，坐标为Sa-Sd）。转化所需公式如下所示：,式中：PF1：第一振型模态参与因数； 1：第一振型模态质量系数 wi/g：第i层的质量 i1：第
17、一振型在第i层的振幅 N：结构层数 V：底部剪力 W：建筑恒载与可能的活载之和 roof：顶部位移 Sa：谱加速度 Sd：谱位移计算中，先求出PF1和1，再求出对应于V、roof的Sa、Sd值，即可将V-roof曲线转化为Sa-Sd曲线。大多数的工程师对传统的反应谱Sa-T曲线较熟悉，下面讲一讲如何将Sa-T曲线转化为Sa-Sd曲线。如下三图所示：,将能力谱曲线转化为双折线,在能力谱方法中，需要将能力谱曲线转化为双折线，以计算有效阻尼和需求谱的折减。如图所示：,图中令A1=A2是为了能力谱曲线和能力谱双折线包含相同的能量消耗能力。,对于锯齿状的能力谱曲线，其双折线应当建立在dpi所在的那条能力
18、谱曲线上。dpi是工程师为了确定折减需求谱而建立的一个估计位移点，该点经常由等价位移近似法确定的位移点来确定，以此作为迭代计算的一个初始位移点。如图所示：,阻尼的估算和5弹性阻尼反应谱的折减,当地震地面运动使建筑物进入弹塑性状态时在建筑物中产生了阻尼，这种阻尼可以看作是结构内部阻尼和滞回阻尼的结合。滞回阻尼同地震力（底部剪力）和结构位移曲线所围的面积有关。等价粘性阻尼eq，同最大位移dpi有关，可以用下式估计：eq00.05 其中，0：滞回阻尼 0.05：结构固有的5粘滞阻尼,其中，ED：阻尼所消耗能量 ES0：最大应变能,上式中ED和ES0的物理意义如下图所示：,ED是结构在单个循环运动中所
19、消耗的能量，即 单个滞回环所围的面积；ES0是与该单个循环运动相关的最大应变能，即三角形的面积。,参考以上二图，ED4（8-12或8-13图形阴影面积） 4（apidpi2A12A22A3） 4apidpiaydy（apiay）（dpidy）2dy（apiay） 4（aydpidyapi）,由图8-11，得,（注：同样有,因此，可得：,当0以百分比的形式表示的时候，公式变为：,故有：,则折减需求谱可由下图得到：,注：SRA 、SRV是谱折减系数，SRA、SRV都是有效粘滞阻尼eff的函数。,图8-11所示的是是一种理想化的滞回环，其受到相对短持时的地面震动（没有产生足够的循环使得单元产生明显的
20、退化），等价粘滞阻尼大约不超过30。这种情形对于实际滞回环的等价粘滞阻尼产生了过高的估计，实际的滞回环所围面积要小一些，形状更细一些。因此，用阻尼修正系数k对eq进行修正，得到有效粘滞阻尼eff，如下式所示：,系数k依赖于结构的性能，结构的性能又依赖于地震抵抗系统的性质和地面震动的持时。为了简单起见，本方法将结构性能划分为三类：Type A、Type B和Type C，Type A表示稳定的满滞回环结构，Type B表示滞回环面积的适度折减，Type C表示滞回环面积的严重折减。见下表所示：,注：1、一般情况下，距离震源近，持时短；距离震源远，持时长； 2、新建筑指的是主要单元组成了水平抗力系
21、统而非服从规范的单元强度和刚度都很小的建筑； 3、一般现存建筑指的是主要单元由已存和新单元组成的建筑或比一般现存系统更强的建筑； 4、较差建筑指的是主要单元组成了非服从规范的水平力系统，其滞回行为较差或不可靠。,k取值依赖于0，如下表所示：,折减系数SRA、SRV的确定：,由该两式得到的SRA和SRV值不能小于下表之中的值：,SRA和SRV也可由下表确定：,由上述方法得到的一簇需求谱曲线如下面两图所示：,求能力谱和需求谱的交点,当能力谱和需求谱的交点位移di，在试算性能点位移dpi的15范围之内（即0.95dpidi1.05 dpi），则dpi即为所求性能点；如果能力谱和需求谱交点位移不在该范
22、围之内，那么就要选择新的api、dpi点并进行新的试算。下图即论述了这个概念。所求出的性能点表示在所需要的地震地面运动作用下结构预期最大位移。,当能力谱是锯齿状曲线时（即最终的组合能力谱是由考虑到单元强度退化的几个不同能力谱曲线所组成），那么用来确定5阻尼谱的折减系数的能力谱双折线是建立在单个能力谱曲线上而不是建立在组合能力谱曲线上。能力谱和需求谱的交点也必须在这个曲线上。下图即表示了这一点。,求能力谱和需求谱的交点的三个方法综述,方法A是对能力谱方法的最直接的应用。该程序需要进行迭代，但是很容易用试算表进行程序化计算。相对于图表方法，它更多的是一种分析方法。对于初学者来说，这是一种最好的方法
23、因为它是对能力谱方法的最直接的应用而且是最容易理解的程序。方法B对能力曲线双折线模型进行了简化，是一种相对直接的用较少的迭代求性能点方法。同程序A一样，程序B更多的是一种分析方法。它对于试算程序来说是最为方便的。它对能力谱方法的应用不如程序A透彻。方法C是一种纯图解方法，是进行手头分析的最为便利的方法。对于试算程序来说它并不特别方便。这是对能力谱方法应用最不透彻的一种方法。,8.2.2.1.2、用方法A计算性能点,在这一方法中，要利用试算表进行迭代以逐步向所求性能点靠近。步骤如下：1、绘制5阻尼弹性反应谱，如前所述。2、用前述方法将能力曲线转化为能力谱，在同一个图上绘出能力谱和5阻尼弹性反应谱
24、，如下图所示：,3、选择一个试算性能点api、dpi，如图所示：,注：所选的第一个试算性能点可采用由等价位移近似法所得到的位移（如上图中所示），或是能力谱的端点，或是基于工程判断的其它点。,4、绘出基于试算点的双折线能力谱。,注：在复合的锯齿状能力谱中，双折线能力谱应建立在试算点api、dpi所在的那条能力谱曲线上，如下图所示：,5、计算需求谱折减系数SRA 、SRV，如前所述。绘出折减需求谱如下图所示：,6、如下图所示，确定能力谱和需求谱是否交于点api、dpi，或者交点位移di在试算点位移dpi的容许范围之内，如是，则api、dpi即为所求性能点。如下图所示：,7、如果能力谱和需求谱的交点
25、不满足上述条件，则要选择新的试算点api、dpi，并回到步骤4开始新的迭代。注：新的试算点api、dpi可由步骤6的交点确定，或基于工程判断的其它点。8、如果迭代的某一步能力谱和需求谱的交点在允许范围之内，那么该迭代的试算点api、dpi就是所求的性能点ap、dp，dp就是所期望的地震作用下的最大结构位移。,8.2.2.1.3 用方法B计算性能点,该程序使用了其它两个程序没有的简化假设，假设不仅能力谱双折线的斜率不变，而且ay、dy点和屈服后的斜率保持不变。这种简化假设可以直接绘出多个需求曲线，因为eff仅依赖于dpi。步骤如下：1、绘制5阻尼弹性反应谱，如前所述。2、在同一图表上绘出一族折减
26、需求谱曲线。绘制相应于有效阻尼eff值的需求谱是很容易的，该eff的范围从5到建筑物结构类型允许的最大值。建筑物结构类型允许的最大的eff对Type A是40，对Type B是29，对Type C是20。如下图所示：,3、将能力曲线转化为能力谱，并与需求谱曲线族绘在一起。如下图所示：,4、绘出能力谱双折线。该双折线的初始斜率等于能力谱的初始斜率（保持结构的初始刚度）。双折线屈服后应通过能力谱上的一个点a*、d*，该点的位移d*等于以能力谱初始斜率线延伸后与5需求谱相交的点的位移（等价位移近似法）。则双折线屈服后的斜率可通过绕该点旋转以使得A1、A2面积相等。如下图所示：,注：步骤4进行了程序中
27、的简化假设，它将双折线屈服后的斜率设定为一个定值，则eff可直接由dpi表达。,5、计算点a*、d*点附近不同位移点的有效阻尼比。能力谱双折线屈服后部分的斜率为,对能力谱双折线屈服后部分上的任意点api、dpi，屈服后斜率为,由以上两式相等，得,以dpi为未知式解api，并以api来代替，得,由公式8-8，得8-15，式中只有dpi一个未知量，据此可求得能力谱双折线屈服后部分上a*、d*点附近不同位移点dpi对应的有效阻尼eff。,对不同的dpi解式8-15中的eff。当由表8-1或表8-3求k时，0,。,6、对步骤5中的每一个dpi值，在坐标上画出各个dpi、eff点。下图中画出了五个这样的
28、点：,7、连接步骤6中的这些点，形成一条曲线，该线与能力谱曲线的交点即为所求的性能点。如下图所示：,如果该交点距离点很远，那么要用程序A或程序C来对结果进行验证。,8.2.2.1.4、用方法C计算性能点,该方法提供了手算的图解解法，已经发现第一次试算距离性能点已经相当接近。步骤如下：1、绘制5阻尼弹性反应谱，如前所述。2、在同一图表上绘出一族折减需求谱曲线。绘制相应于有效阻尼eff值的需求谱是很容易的，该eff的范围从5到建筑物结构类型允许的最大值。建筑物结构类型允许的最大的eff对Type A是40，对Type B是29，对Type C是20。如下图所示：,3、将能力曲线转化为能力谱，并与需
29、求谱曲线族绘在一起。如下图所示：,4、绘出能力谱双折线。选择初始点api、dpi，该点可选择能力谱的最远点，或者位移更小一点的能力谱与5弹性阻尼谱的交点，或者比等价位移近似法得到的位移稍大些的位移（比如为其1.5倍）。如下图所示：,5、确定比率dpi/dy及(api/ay)-1/(dpi/dy)-1。注意后者是屈服后斜率对初始斜率之比。 下表给出了这方面的一些例子。,6、基于步骤5的比率，将其代入下表，以找到有效阻尼比eff。,注：eff也可用公式8-8进行计算，两者是相同的。,7、如下图，延伸初始斜率线与5阻尼需求谱相交，该线为线1；连接原点至api、dpi，该线为线2,8、如下图，画出一条
30、线3，该线一点通过线1和5阻尼需求谱的交点，另一点通过线2与相应于步骤6中确定的eff的折减需求谱的交点。注意图中的有效阻尼值eff大约为24。,9、如下图，线3交于能力谱于点ap2，dp2。,注：在复合的锯齿状能力谱中，双折线能力谱应建立在与线3相交的那个能力谱曲线上。,10、如果dp2 在dp1的5范围之内时，那么ap2，dp2就是所求的性能点。如果不在该范围内，则到步骤11。11、以ap2，dp2为初始点，重复第四步的迭代，直至满足规定的要求为至。即如果dp（i1） 在dpi的5范围之内时，那么ap（i1），dp（i1）就是所求的性能点,Pushover方法用途（1）：,1、结构行为分析
31、：Pushover分析可大致预测结构在横向力作用下的行为，得到结构构件开裂 -屈服-弹塑性-承载力下降的全过程，得到杆端出现塑性铰的先后次序、塑性铰的分布和结构的薄弱环节。,Pushover方法用途（2）：,2、判断结构承载力：Pushover分析可得到结构的基底剪力-顶点位移曲线、层剪力-层间位移曲线，即能力曲线。 这些曲线从总体上反映了结构抵抗横向力的能力。基于性能设计中，可利用这些量来验证结构是否满足承载力要求。不满足则要修改设计。现有建筑就要加固。,Pushover方法用途（3）：,3、确定结构的目标位移：以顶点位移作为目标位移时，能力谱曲线和目标谱曲线（考虑了弹塑性，附加了等效阻尼比
32、）的交点即为目标位移估计值，判断目标位移值是否超过允许值。,Pushover方法用途（4）：,4、建立结构整体位移与构件局部变形间的关系：确定在目标位移时杆端塑性转角的大小，甚至杆端截面混凝土极限压应变的大小，从而确定对杆端塑性铰区的约束要求。（国内软件尚未给出该功能）,Pushover方法用途（5）：,5、为弹塑性时程分析提供骨架曲线：Pushover得到的层剪力-层位移曲线即为该结构的层间滞回曲线的骨架曲线，可用于层模型的弹塑性时程分析。,Pushover方法的横向水平力的分布（1）,1、横向水平力的分布方式对Pushover分析结果影响不大。2、应用得最多的主要是两种方式：（A）倒三角分
33、布：Wi、hi分别为第i层的楼层荷载代表值和第i层到地面的高度；Vb为每一步施加侧向荷载时结构的基底剪力增量；N为结构总层数。,Pushover方法的横向水平力的分布（2）,（B）均匀分布：施加在结构第 i 层上的侧力增量为：,Vb为每一步施加侧向荷载时结构的基底剪力增量；N为结构总层数。,8.2.2.2计算需求位移的位移系数法,图843 位移系数法能力曲线的双线性表示,位移系数法是一种直接通过数值计算来计算位移需求的方法，这样就不需要将能力曲线转换到谱坐标曲线下了。仅限于规则建筑以及没有不利的扭转作用或者不考虑高模态的作用。 按以下方法构造能力曲线的双线性表达（如图843）绘制弹性阶段的有效
34、刚度，Ke。构造能力曲线中对应坐标底部剪力值为0.6Vy的点，过该点所对应的割线即为Ke。而Vy的值是由Ks和Ke值的两条线的交点所确定的。注：上述过程需要反复试验所得到。因为Vy的值需要通过Ke的值来确定。因此，首先确定Ke的试验值，这样，Vy的值才能被确定。需要判断Ke的割线与能力曲线的交点的对应在底部剪力坐标上的值是否等于0.6Vy，如果这个交叉点的值不等0.6Vy，那么就需要重新取Ke的值，重复上述过程来确定。 需要注意到位移系数法的双曲线构造和能力谱方法中的双曲线构造是不相同的。,FEMA2731. 绘制弹性阶段后的刚度，Ks。通过判断在结构应力变稳定后的平均刚度来描述。,2、计算基
35、本有效周期（Te）,公式（816）,Ti：弹性动力分析计算直接得到的弹性基本周期（以秒记）；Ki：结构的弹性侧向刚度（如图843）；Ke：结构的有效侧向刚度（如图843）。,3、计算目标位移（t）：,公式（817）,在这里：Te：通过步骤2得到的基本有效周期；C0：等效单自由度体系与结构顶部位移的比例因子；C0的值由下面任意一种方法计算得到：顶部的第一振型参与因子。见表88取用适当的值：,表88.比例因子C0的值：,注：中间值可采用线性插值得到,C1：描述非弹性最大期望位移与线弹性位移的比例因子（修正系数）。1.0，当TeTo 1.0+(R-1)To/Te/R, ，当TeTo当Te0.1秒时，
36、C1的值不能超过2.0。To：反应谱的特征周期。是需求谱的恒定谱加速度与恒定谱速度的连接点的周期。 R：非弹性强度需求与计算屈服强度系数的比率，计算如下：,公式（818）,C2：滞回环形状对最大位移响应的影响系数。C2在不同框架形状和性能水平下的取值见表89。对应中间的Te值的C2值由线性插值求得。,注：1、框架类型1在抗震设计中强度和刚度可能被破坏的那些组成部分或单元是可以抵抗至少30的剪应力的。这类构件包括：普通的抗弯构件，中心支撑框架构件，偏心受力构件，拉压框架构件，砌体结构墙，剪力墙和柱，或者以上几种的组合。 2、所有没有指定的结构类型都按结构类型2处理。,这里的R和Te的定义如上，是
37、由双折线表示的力位移关系曲线在屈服后的刚度与弹性刚度的比值。,表89.修正系数C2的值：,C3：描述由于二次作用引起的位移增量的修正系数。对于正向屈服的结构， C3 的值应取1.0；对于负向屈服的结构，C3的值应按如下公式计算得到：,公式（819）,这里的R和Te的定义如上，是由双折线表示的力位移关系曲线在屈服后的刚度与弹性刚度的比值。,Sa：5弹性阻尼谱中基本有效周期Te对应的反应谱加速度；Vy：通过双折线能力曲线计算所得的屈服刚度（如图843）；W：全部的恒载和预期的活载作用具体如下：对储存室和仓库楼层活载最小取25；取下面两个中的大值：实际的隔板的重量或是10psf面积楼层的最小重量；雪
38、荷载的取值见NEHRP规范推荐的方式（BSSC.1995）；永久设备和家具的全部重量。,其他考虑因素,主要和次要单元：为了应用上述的非线性静态分析程序，理解主要和次要单元间的区别是很重要的。主要单元是对结构的侧向力和刚度起着明显作用的单元，其余属于次要单元。扭转的考虑因素：对于非对称建筑，在分析pushove曲线时应把扭转效应考虑在内。如果扭转效应足够小以致楼板任意点的最大位移少于相应质心位移的120，则二维模拟和分析是可行的。如果最大位移超过质心位移的120，则要求使用三维模型分析。在这种情况下，对于二维分析，当绘制能力曲线时考虑扭转的作用时，先用三维模型线性静力分析或线性动力分析确定各层最
39、大位移对质心位移之比，然后在能力谱曲线上每一点的屋顶质心位移都乘上这些比率的最大值。,其他考虑因素,多模态考虑因素：对于那些基本周期长的结构，高阶模态对结构一些构件的影响可能比基本模态更大。对于高阶模态要进行pushover分析。例如：施加分布力，使结构变形进入第二和第三模态。高阶模态屈服模式同第一模态明显不同。利用高阶模态的参与系数和有效的模态重量，将高阶模态的Vroof转化sasd为曲线。用ADRS格式画出这些高阶模态的曲线，然后每个模态的需求就可以确定，从而实现不同模态下结构的每一构件的评估。 注释：8.2.1节的的注释表明利用基本模态进行的pushover分析对基本振动周期不超过一秒的
40、结构通常是有效的。所以工程师可能会考虑在基本周期超过一秒的结构上利用上述方法。,8.5 结构动力学基础,8.5.2振型分析方程模态分析过程中所用到的模态相关量如下所述。需要说明的是，这些相关量通常是使用计算机求得的；这里给出这些数据只是为了帮助理解模态分析过程或者作为计算结果检查的工具而已。 1. 振型参与系数 对于每个振型的振型参与系数可以由公式8-20求得：,其中：PFm为m阶振型的振型参与系数； Wi/g为第i层分配的质量； im为第m阶振型在第i层上的幅值； N为总层数，结构物主要部分的最高层数；,(8-20),振型参与系数PFm的单位取决于正交化过程中所依据的不同的参考系，例如：振幅
41、都在最大质量处归一为1.0幅值的参考系，以及将 归一化为1.0的参考系。这里需要指出的是，有些文献定义了“层振型参与系数”， PFim为式子8-20中括号内的项乘以im（第m阶振型在第i层处的幅值）。层振型参与系数PFim是无量纲的。,2. （振型）有效质量系数m,对每一振型的有效质量系数参考式8-21计算。,3. 层振型加速度振型m的层加速度由式8-22计算。,其中：m为第m阶振型第i层处的加速度（采用重力加速g的比值表示）；im为第m阶振型第i层处的振幅值；,Sam为由反应谱得出的第m阶振型对应的加速度谱值（采用重力加速度g的比值表示）； 4. 振型各层侧向力对第m阶振型的侧向力（质量乘以
42、加速度）采用式8-23计算。,其中：Fim第m阶振型下第i层处的侧向力； wi分配给第i层处的质量； Sam为由反应谱得出的第m阶振型对应的加速度谱值（采用重力加速度g的比值给出）；5、振型剪力和弯矩 结构物的各层剪力和倾覆力矩，以及结构构件的剪力和弹性弯矩可以依据振型分解求得，在线性分析情形下，与由式8-23确定的各层侧向力是一致的。,6、 振型基底剪力,对应于第m阶振型的侧向力合力由式子8-24确定。这样，Fim由顶层到底层的的和可得Vm：,其中：Vm为第m阶振型的侧向力合力；m为第m阶振型质量系数；W为结构物全部 恒荷载以及部分由规范确定的活荷载之和。,7. 振型位移振型侧向层位移可基于
43、振型谱位移由式8-25求得：,其中：im为第m阶振型第i层处的侧向位移；Sdm由第m阶振型由加速度反应谱（能力谱）求得的谱位移（例如：,）。,利用8-25式和关系式,，位移也可以由式8-26求得：,其中：Tm为振型周期。振型层间位移im可由层顶和层底的位移差求得：,8. 振动的振型周期,当有近似的振型形状时，结构的振动周期可估计为：,振型周期：当所加载荷与振型形状一致（任意层i的周期都相同）。,振型周期：,8.5.3 反应谱的格式,传统的反应谱的图象格式是利用一个线性坐标系来表示谱加速度（Sa）和振动周期（T）。ADRS (加速度位移反应谱)格式用线性坐标表示Sa、Sd。周期T可由从原点（0，
44、0）辐射出的一条直线表示，并且Sv（常数）可以由一条曲线来表示。,1、对于E类土质场地（例如SE），,这里常加速度和常速度区交点的周期为0.96s,8.5.4 解释和应用振型参与系数和有效质量系数,1. 单自由度体系（SDOF）2. 多自由度体系（MDOF）一个多自由度体系的每一个振型都可由一个有规一化的质量M*和刚度K*，周期 的等价单自由度体系来表示。这里M* 、K*是振型形状、质量和刚度的函数。图8-77提供了基于单自由度体系计算多自由度体系的使用场地指定的地震反应谱的计算基础。有了周期、振型形状、质量分布和反应谱，就可以计算出偏移形状，层加速度、受力和倾覆弯距。一个多自由度体系的前三阶
45、形状如图8-76所示：,3. 振型参与系数,在图8-77中，图b与图a等价。换句话说，如果（单自由度体系）地震中质量M*移动了距离Sd，那么（多自由度体系）结构顶部移动了roof。roof对Sd的比，在定义上，是基本振型在顶部的层振型参与系数。这就是公式8-20a中的PFim，这里，i为顶部而m是振型1。PFm由公式8-20计算。,4、有效质量系数,如图8-77所示，有：,5、表8-16给出了规则建筑的1和PFR1的标准值。这些值可作为代替计算值的估计值。,8.5.5估算振动基本周期和振型,一般用于结构分析的计算机程序都可以生成结构的动力特性。如果不能得到这些信息, 基本周期和基本振型可以用统
46、计来近似计算。然而, 还是需要计算力-位移关系，换句话说，当侧向力施加到结构上时必须计算每层的侧向位移。方法如图 8.78所示。其中的数字与8. 3节的例子一致。,8.5.5.1 估算模态的振型,步骤1：采用任何合理的分布模式，将静力荷载加到结构上，采用表8-12例子中的V，但是侧向力的分布是与规范（级whwh以及顶层加Ft力）一致。 步骤2：通过计算机结构模型可以得到由施加荷载所产生的变形。 步骤3：通过与顶层位移相除将变形规一化，可将其假设为模态幅值。 步骤4：将与w/w成比例的一组新的力施加到结构上。 步骤5：通过计算机模型得到与二次迭代荷载所对应的变形（类似于步骤2）。 步骤6：二次迭
47、代的变形再根据与顶层位移相除进行规一化，得到一个修正的振型。重复这样的过程直到所有的振型逐渐收敛（也就是，比较步骤3和步骤6；所有的值都应该在5%的变化范围内）。作为比较，可以看表8-10，步骤6的结果几乎和第一振型相同。,步骤：在结构上施加静力荷载,步骤：计算对应荷载作用下的变形,步骤：与顶层位移相除将变形规一化，以此作为幅值,步骤：施加一组新的荷载，它与w/成正比,步骤：通过计算模型得到计算对应于二次迭代荷载的变形,步骤：规一化二次迭代变形，重复此过程直到幅值收敛,图 8-78 估算基本振型,8.5.5.2 估算振动周期，T,周期可以通过等式8-27来计算，即,从图8-78中使用步骤4中的
48、力Fi和步骤5中的变形i。在表8-12中可以看到各层的重量。因此有,8.5.6 非弹性反应折减的说明（SRA，SRV）,一个弹性反应谱能被缩减为等价的非弹性反应谱，这已经成为众多研究的主题。图8-79和图8-80简单阐明了非弹性折减的原因，换句话说，就是为什么非弹性反应通常低于弹性反应。,在每一图中，点1均代表弹性需求。如果由于非弹性行为使结构刚度出现降低，那么有效周期就增加，弹性谱需求就转移到点2（即位移增加数值a，加速度减少数值b）。然而，如果结构表现为非弹性（非线性），弹性需求将被降低到非弹性需求的点3。所以，加速度再降低数值c，而位移再减少数值d。总效果是加速度降低了b+c，而位移改变了a-d。如果a近似等于d，则非弹性位移就等于弹性位移（图8-79）。如果a大于d，位移就有一个净增量（图8-80）。,性能指标的检查,进行结构的能力谱分析之后，就可以对结构在性能点的状态进行检查，包括对结构整体和局部单元构件的位移（比）、挠度、塑性铰转角等进行检查。当检查结果满足性能指标的要求的限值时，说明结构能够达到所要求的性能指标；当检查结果超出性能指标要求的限值时，结构就不能满足要求，这时需要重新确定结构性能指标或者对结构进行加固。,
