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1、2.1.4函数的奇偶性,诸城六中：王国伟,引 例：,问题：画出函数f(x)=x2的图象，并求f(-2),f(2), f(-3),f(3)值,解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-)=(-)2= f()= 2=,f(-2)=f(2)f(-)=f(),x,y,o,问题：对于定义域内的任意x是否存在一个-x，使f(x)=x2满足f(-x)=f(x)结论呢？,思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?,偶函数定义: 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x D,且f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.,解: g(-2)=(-2)3=-8 g (2)=
2、8,g(-1)=(-1)3=-1 g(1)=1,g(-x)=(-x)3=-x3,思考 : 通过练习,同学们发现了什么规律?,g(-2)= - g(2)g(-1)= - g(1)g(-x)= - g(x),-x,g(-x),x,g(x),问题.已知g(x)=x3,画出它的图象,并求出g(-2),g(2),g(-1),g(1)及g(-x),奇函数定义: 设函数y=g(x)的定义域为D,如果 对D内的任意一个x,都有-x D,且 g(-x)=-g(x), 那么函数g(x)就叫做 奇函数.,对奇函数、偶函数定义的说明:,(1).函数具有奇偶性的前提条件是：定义域关于原点对称。,(2) 如果一个函数f(
3、x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。,问题：(1)定义在-2,7上的函数f(x)=x2是否是偶函数？为什么？(2)定义在-2,2上的函数f(x)=x2是否是偶函数？为什么？,练习1. 说出下列函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,奇函数,奇函数,f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _, f(x)=x _,奇函数,f(x)=x -2 _,偶函数, f(x)=x5 _,f(x)=x -3 _,说明：对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。,例1：判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+
4、3x2,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(x3+2x),即 f(-x)= - f(x),f(x)为奇函数,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,f(x)为偶函数,定义域为R,解:,定义域为R,即 f(-x)= f(x),先求定义域，看是否关于原点对称;, 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:,再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立。,练习2. 判断下列函数的奇偶性,(3) f(x)=5,(2) f(x)= x2 +2，x-4,4)，若x（-4,4）呢？,(4) f(x)=0,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶,偶函数,奇函数
5、,练：课本P49，练习A1,奇函数的图象(如y=x3 ),偶函数的图象(如y=x2),o,a,P/(-a ,f(-a),p(a ,f(a),-a,(-a,-f(a),(-a,f(a),奇偶函数图象的性质:, 奇函数的图象关于原点对称. 反之,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数., 偶函数的图象关于y轴对称.,反之, 如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数.,注：奇偶函数图象的性质可用于： .简化函数图象的画法。 .判断函数的奇偶性。,o,y,x,例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。,解：画法略,例3
6、、研究函数 的性质并作出它的图像,解：已知函数的定义域是x0的实数集，即xR|x0分析略：请一位同学一边分析，一边画出函数图像来！,由图像可以看出这个函数的单调区间是什么？,本课小结:,1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。,2.两个性质:一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。,一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。,作业： 课本 P49 练习2、3、4、5,思考题:,2.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:(1).F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x),1.已知y=f(x)是偶函数，且在(-，0）上是增函数，则y=f(x)在(0,)上是（ ）A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.单调性不确定,3.具备下列条件之一的函数f(x)的奇偶性如何?(1) f(x)+f(- x) =0 (2) f(x)-f(- x) =0,B,偶,奇,偶函数,奇函数,老师，相信你是最棒的！,诸城六中教师：王国伟,
