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1、第三章 中世纪的中国数学,主讲人：翟影 搜集资料：刘玲 ppt制作：李艾娟,3.1周髀算经与九章算术,3.1.1 古代背景,第一章中已涉及了中国远古数与形概念的萌芽。殷商甲骨文中已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位值制筹算记数。,孙子算经中记载的筹算记数法则说：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。千十相望，百万相当”。,纵式用来表示个位、百位、万位，数字；横式用来表示十位、千位、十万位、数字。纵、横相间，零则以空位表示。这样，数76 031用算筹表示出来是 。这种十进位值记数法是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。,关于几何学，史记“夏本纪”记载说：夏禹治水
2、，“左规矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械。,中国古代数学的萌芽,中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。,商代(又称殷代，约公元前17世纪约前11世纪)：1899年在河南安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上所刻的象形文字(甲骨文，公元前14世纪)。 自然数的记法：10进位制，最大的数字是3万。,中国古代数学的萌芽,与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，
3、又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。,周(约公元前11世纪公元前256年)：奴隶制经济获得进一步的发展. “数”作为六艺之一，开始形成一个学科。 算筹记数和四则运算已经开始 春秋战国时期：人们已经能熟练地进行筹算。,中国古代数学的萌芽,“数学”一词相当于我国古代的“算术” 数学一词，在中国最早出现在12世纪宋代数学家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是数学”。,中国古代数学的萌芽,战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以周易象
4、数学宇宙论为哲学依托.墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以墨经的逻辑学为其论说的工具。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。,墨家,墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。,中国古代数学的萌芽,名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数
5、学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。,3.1.2周髀算经,在现存的中国古代数学著作中，周髀算经是最早的一部。 作者不祥，成书年代应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前11世纪-前8世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天说”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。从数学上看，周髀算经主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。,“周髀”是测量日影的工具八尺长竿,周髀算经上卷 :勾股定理的证明,昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度夫天可不
6、阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”,“勾广三,股修四,径隅五”,商高定理-勾股定理,返回,“以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日.”,古典数学的形成与发展时期,周人的测日影表古代认为夏至时立一8尺高的标竿，它的影长正好是6尺。“求邪至日者，以日下为勾，以日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日从髀所旁至日所十万里。”,影差d =后影长BD 前影长AC = b
7、 a,表距AB = e,中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元3世纪三国时期的赵爽（吴）。赵爽注周髀算经，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。,考察以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，其面积应有 如果将这合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到一个以原三角形之弦为边的正方形，其面积应为 ，因此,古代数学家赵爽,赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。赵爽的周髀算经注逐段解释周髀经文。,3.1.3九章算术,九章算术是中国古典数学最重要的
8、著作。成书年代至迟在公元前1世纪，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。 周礼记载,西周贵族子弟必学的六门课程（“六艺”）中有一门是“九数”，刘徽九章算术注“序”中就称九章算术是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍（?-公元前152）、耿寿昌等人删补。,九章算术采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章。,中国古代数学体系形成,九章算术是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形
9、解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。,九章算术的内容是由周代的“九数”发展而来的。刘徽称：“周公制礼而有九数，九数之流则九章是矣”。,九章算术标志着中国传统数学的知识体系已初步形成。代表了中国传统数学体系和思想方法的特点：注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法,明代刊印的九章算术注,中国古代数学体系形成,九章算术在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的
10、一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。,1.方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界 上最早对分数进行系统叙述的著作。 2.粟米：组好事粮食交易的计算方法，其中涉及许多比 例问题。 3.衰（读作“翠”）分：主要内容为分配比例的算法。 4.少广：主要讲开平方和开立方的方法。 5.商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体 积的计算为主。 6.均输：计算税收等更加复杂的比例问题。 7.盈不足：双设法的问题。 8.方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减 法，在世界数学史上是第一次出现。 9.勾股：勾股定理的应用
11、。,九章算术的内容,(一）算术方面,（1）分数四则运算法则。九章算术“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。 （2）比例算法。九章算术“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。 （3）盈不足术。“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。 “盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法”，即中国算法。,（二）代数方面,（1）方程术。“方程术”即线性联立方程组的解法。 （2）正负术。九章算术在代数方面的另一项突出贡献是负数的引进。(3) 开方术。九章算术“少广”章有“开方术”和“开立
12、方术”，给出了开平方和开立方的算法。九章算术开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。,（三）几何方面,九章算术“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题。其中“方田”章讨论面积问题，“商功”章讨论体积问题，“勾股”章则是关于勾股定理的应用。,各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源。如平面图形有“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“箕(ji)田”（梯形）、“圆田”（圆）、“弧田”（弓形）、“环田”（圆环）等；立体图形则有“仓”（长方体）、“方亭”（平截头方锥）、“阳马”（底面为长方形而有一棱与地面垂直的锥体）以及“刍童”（上、下底面都是长方形的棱台）等等。,九章算术中给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的，例如刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：,羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：,谢 谢！,
