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1、第七章 平面向量,本章主要研究平面向量的概念及线性运算，平面向量的坐标表示与平面向量的内积.,7.1 平面向量的概念,教学目标（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系；（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的质区别.,唉, 哪儿去了?,嘻嘻!大笨猫!,A,B,引入,不能，因为方向错了。,位移不同,老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B向东南方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠？为什么？,重力、浮力、弹力,有大小、有方向,
2、许多物理量都有这样的性质,向 量,（一）向量的概念,定义：既有大小又有方向的量叫向量。,2.向量与数量的区别：,数量只有大小,向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。,注：1.向量两要素：,大小，方向,，可以比较大小。,注：物理中向量与数量分别叫做,矢量、标量,(二）向量的表示方法,1、几何表示法：,用有向线段表示 。,A(起点）,B(终点）,有向线段三要素：,2、小写字母a,b,c印刷用黑体表示，手写时写成,此易错也，望记住,2、向量的字母表示：,注：由起点指向终点；,（三）向量的模,注：向量的模是可以比较大小的,记作：,如：,向量 的模,(或长度),就是向量
3、 的大小,1.零向量:,2.单位向量:,长度（模）为1个单位长度 的向量,长度（模）为0的向量，记作,规定： 方向是任意的。,（四）两个特殊向量,1.相等向量：长度相等且方向相同的向量。,（五）. 向量间的关系：,规定：零向量与任一向量平行,记作： / /,2.平行向量：方向 或 的向量叫平行向量 如下图： 平行,相同,相反,任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫共线向量,记作:,3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。,向量 的负向量，记作 ,规定：零向量的负向量仍为零向量,与 互为相反向量,相等的有7个长度相等的有15个,.试一试,例1判断下列结论是否正确。,(1)平行向量
4、方向一定相同； ( )(2)不相等向量一定不平行； ( )(3)与零向量相等的向量是零向量； ( )(4)单位向量是相等向量； ( )(5)共线向量一定在一条直线上； ( )(6)相等向量一定是平行向量; ( ),【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写出图中与向量 、 、 相等的向量， 负向量。,解：,下面几个命题：,C,A0B. 1 C. 2 D. 3,其中正确的个数是( ),（5）向量ABCD ，则A、B、C、D四点必在一直线上；,7.2 平面向量的运算,教学目标（1）能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量；（2）在应用活动中，理解向量加法满足交
5、换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等；（3）通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量；（4）学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量；（5）通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律,台北,香港,上海,从运动的合成看向量运算,在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？,A,B,C
6、,E,O,O,E,F1+F2=F,从力的合成看向量运算,橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？,F是以F1与F2为邻边所形成的平行四边形的对角线,A,B,C,向量的加法运算,运动的合成力的合成,向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则,o,A,B,C,力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型,向量加法法则,C,A,B,位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型,向量加法法则总结与拓展,向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们首尾相连2
7、.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到同一起点2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线三角形法则推广为多边形法则：,探究一：当向量共线时，如何相加？,探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？,数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具备吗？你能否画图解释？,练习：1、化简,例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度,速度，由向量加法的平行四边形法则，,是船的实际航行速度，显然,=13,利用计算器求得,即船的
8、实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约,例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条,，求物体受到沿两条绳子的方向的,绳子的方向与垂线的夹角为,解 利用平行四边形法则，可以得到,所以,平面向量的减法运算,动脑思考探索新知,与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义,为向量a与向量b的差即,a b = a(b),即,观察图可以得到：起点相同的,个向量，其起点是减向量b的终点，,两个向量a、 b，其差a b仍然是一,终点是被减向量a的终点,设a ， b ，则,向量减法法则,要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.,A,B,O,探究三：当向量共线时，如何相
9、减？,(1)同向,(2)反向,探究四：平行四边形法则的两条对角线,平面向量的数乘运算,向量的数乘运算的定义,你能说出向量数乘运算的几何意义吗？,数乘向量运算律,向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.,第一分配律,第二分配律,数乘结合律,1.如何证明？2.如何解释运算律的几何意义，尤其是(3)？,线性运算练习,两非零向量共线的充要条件：,b，试用a, b表示向量 、,因为O分别为AC，BD的中点，所以,可以用向量a，b线性表示,自我反思目标检测,向量,概念及表示：,向量间的关系：,向量的线性运算：,7.3 平面向量的坐标表示,教学目标(1)掌握平面向量的坐标表示；(2)会进行向量线性运算的坐
10、标表示；(3)掌握向量共线的充要条件.,创设情境兴趣导入,设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，,为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）则,由平行四边形法则知,图717,动脑思考探索新知,设i, j分别为x轴、y轴的单位向量，,图718(1),图718(2),向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标,动脑思考探索新知,由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对,叫做向量a的坐标，记作,巩固知识典型例题,例1 如图719所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示,向量a、b, 并写出它们的坐标,解 因为,所以,同理可得,可以看到，从原点出发的向量，
11、其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的,巩固知识典型例题,解,运用知识强化练习,运用知识强化练习,已知A，B两点的坐标，求 的坐标,(1),(2),(3),(1),(2),(3),运用知识强化练习,略 ,(1)A (5,3)，B (3，1)；,(2)A (1,2)，B (2，1)；,(3)A (4,0)，B (0，3),3,创设情境兴趣导入,图720,观察图720，向量,可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和,动脑思考探索新知,所以,（7.6）,类似可以得到,（7.7）,（7.8）,巩固知识典型例题,例3 设a(1, 2), b(2,3)，求下列向量的坐标：,(1) ab ，
12、(2) 3 a，(3) 3 a2 b ,解 (1) ab(1, 2)(2,3)(1,1),(2) 3 a3 (1, 2)(3,6),(3) 3 a2 a3 (1, 2)2 (2,3)(3,6)(4,6)(7, 12),运用知识强化练习,已知向量a, b的坐标，求ab、 ab、2 a3 b的坐标,（1）a(2,3)，b=(1,1)；,（2）a(1,0)， b=(4,3)；,（3）a(1,2)，b=(3,0),创设情境兴趣导入,前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当,时，有,如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？,动脑思考探索新知,由此得到，对非零向量a、 b，设,（79）,
13、巩固知识典型例题,解,由于32160，,即向量a、 b共线,运用知识强化练习,略 ,(2)a(1, 1) ，b(2,2)；,(3)a(2, 1) ，b(1,2),判断下列各组向量是否共线：,(1)a(2,3)，b(1, )；,自我反思目标检测,向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标.,.,自我反思目标检测,自我反思目标检测,7.4 平面向量的内积,教学目标（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义；（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础；（3）通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力.,创设情境兴趣导入,如图721所示，水平地面
14、上有一辆车，某人用100 N的力，,那么，这个人做了多少功？,做功等于力与在力的方向上移动,的距离的乘积力F是水平方向的力,与垂直方向的力的和，垂直方向上,没有产生位移，没有做功，水平方向,上产生的位移为s，即,动脑思考探索新知,这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由,两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与,向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积,如图，设有两个非零向量a， b，作,由射线OA与OB所形成的的角叫做向量,a与向量b的夹角，记作,两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b,的内积，记作ab， 即,ab|a|b|cos (7.1
15、0),由内积的定义可知,a00, 0a0.,动脑思考探索新知,动脑思考探索新知,由内积的定义可以得到下面几个重要结果：,当ab时，有0，所以aa|a|a|a|2，即|a|,cos,当0时，ab|a|b|；当= 时，ab|a|b|,动脑思考探索新知,可以验证，向量的内积满足下面的运算律：,abba.,(ab)cacbc.,巩固知识典型例题,例1 已知|a|3,|b|2, 60，求ab,解 ab|a|b| cos 32cos 603,巩固知识典型例题,解 cos,由于 0180，,所以 ,运用知识强化练习,1. 已知|a|7,|b|4，a和b的夹角为60，求ab,2. 已知aa9,求|a|.,3.
16、 已知|a|2,|b|3, 30，求(2ab)b ,动脑思考探索新知,设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，由于ij，故ij 0,又| i |j|1,所以,ab(x1 iy1j) (x2 iy2j), x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j, x1 x2 |j|2 y1 y2 |j|2, x1 x2 y1 y2.,这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，,即,ab x1 x2 y1 y2 (7.11),(7.12),动脑思考探索新知,利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.,由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时，
17、,巩固知识典型例题,解 (1) ab21(3)37；,(2) ab21(1)20；,(3) ab2(2)2(3)14,巩固知识典型例题,例4已知a(1,2)，b(3,1)求ab, |a|,|b|, ,解 ab(1)(3)215.,|a|,|b|,cos,巩固知识典型例题,例5判断下列各组向量是否互相垂直：,(1) a(2, 3),b(6, 4)；,(2) a(0, 1),b(1, 2),解 (1) 因为ab(2)6340，所以a b,(2) 因为ab01(1)(2)2，,所以a与b不垂直,运用知识强化练习,1.已知a(5,4)，b(2,3)，求ab,2.已知a(2, 3)，b(3, 4)，c( 1,3),求a(bc),自我反思目标检测,自我反思目标检测,
