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1、第3章 向量与矩阵,矩阵理论是线性代数中最重要的一个部分，向量与矩阵是数学中重要且应用广泛的工具。本章介绍向量及相关知识、介绍矩阵及其相关的概念。研究矩阵的运算，着重讨论方阵的运算，方阵的逆矩阵。,第 1 节 向量基本知识,1.二维向量和三维向量二维向量（平面向量）三维向量（空间向量）2.n维向量n维向量的概念n维向量的线性运算n维向量空间 内积,返回,二维向量定义1 在平面直角坐标系中，取一个固定点O为始点（一般称为原点），取另一点A为终点作一线段OA，该线段既有大小又有方向，这样的线段称为平面向量，记作 或.,若向量的终点A与始点O重合，则该向量称为零向量，记作，其大小为零，方向任意.,1
2、.二维向量和三维向量,与向量大小相等，方向相反的向量称为 的负向量，即-=-.,二维向量与三维向量示意,平面向量,a,a,空间向量,二维(平面)向量的线性运算,规定：当两个同起点向量的终点重合时，称这两个向量相等.,定义2平面向量的加法和数乘运算统称线性运算.,定义3(1)向量加法 设，为两个平面向量，称+为这两个向量的和，-为两个向量的差.,(2)数乘向量 称k为数k与向量的数乘.k是大小为的k倍 的向量，当k0时方向与相同；当k0时方向与相反;当k=0时为零向量,其方向任意.,二维(平面)向量线性运算示意,向量的加减法,向量与数的乘法,二维（平面）向量及线性运算的坐标表示,平面解析几何中，
3、引进了坐标（或分量）的概念.即在平面直角坐标系中，一个平面向量唯一对应着一个二维有序数组（a1，a2），称a1，a2为该向量的坐标。,线性运算可以归结为坐标之间的运算,二维向量空间,图示,三维（空间）向量,三维向量定义4 在空间直角坐标系中，取一个固定点O为始点（一般称为原点），取另一点A为终点作一线段OA，该线段既有大小又有方向，这样的线段称为空间向量，记作 或.,三维（空间）向量及线性运算,向量模的坐标表示,三维向量（空间向量）的模和单位向量,例题,例1,例2,三维（空间）向量的数量积,定义5,例3,三维（空间）向量的正交,定义6,例4,三维向量空间,其中第i个数ai称为向量的第i个分量.
4、向量一般用,等表示.,2.n 维向量,定义6 n个数a1,a2,an组成的一个有序数组(a1,a2,an)称为n维向量.,注意:(1)本书中n维向量一般指实数域R上n维向量.(2)当需要区分时，称为列向量，称T为行向量.,定义7 零向量:0=(0,0,0)负向量:-=(-a1,-a2,-an)向量相等:设=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn),称=,若ai=bi(i=1,2,n),定义8(线性运算)设=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn),向量加法+=(a1+b1,a2+b2,an+bn);向量减法-=(a1-b1,a2-b2,an-bn);向量数乘 k=(ka1,ka2,ka
5、n).,n 维向量及其运算,设,0为n维向量,k,l为数域F中的数,则1.+=+(加法交换律)2.+(+)=(+)+(加法结合律)3.+0=4.+(-)=05.k(+)=k+k(数乘分配律)6.(k+l)=k+l(数乘分配律)7.(kl)=k(l)(数乘结合律)8.1=,线性运算性质,n维向量空间定义,例3 某仓库储存4种货物，A、B、C、D.存储情况见下表.,负号表示调出货物.设,则现存货物量,300,150,500,450,例4 已知n维向量,解,称向量组1,2,，n为基本单位向量组，称向量为基本单位向量组1,2,，n的线性组合.,一般地，我们称由线性运算组合成的式子,为s个向量1,2,s
6、的线性组合，i为n维向量，ki(i=1，2，,s)为实数.,例5 已知向量,解,注 这里行向量和列向量没有严格区分。,练习,n维向量的内积、长度,1.n维向量的内积,定义,为向量与内积.,内积的性质,2.长度（范数）,(),(),(),(),当且仅当=0时，,=0.,称之为向量的长度(范数).,注：长度为1的向量,即为单位向量.,定义,3.正交,定义 若，=0，称向量与正交.,1.判断下列向量组是否正交？(1)(2,0),(1,1);(2)(2,0,0),(0,1,-1)；,不正交,正交,正交,第2节 矩阵及其运算,1.矩阵概念 2.线性运算 3.矩阵乘法 4.矩阵转置 5.矩阵的初等变换,返
7、回,1.矩阵概念,注 矩阵一般用大写字母A、B，,表示.,由定义知，确定一个矩阵的两个要素是维数mn及元素.,例1,解,例2 牛仔裤具有不同的品牌和型号，某专卖店现库存W牌牛仔裤23条：,腰围（英寸）数量（条）,28 330 1132 634 3,库存的其它牌号可按照牛仔裤的型号从小到大排列如下：,牌子 数量（条）,L 5，5，3，4CF 1，7，0，0BO 6，2，2，2BA 3，0，0，3,试通过矩阵将上面的信息表示出来.,W L CF BO BA,28 30 32 34,每条线上的数字表示连接该两城市的不同通路总数.该图提供的通路信息,试用矩阵形式表示(称之为通路矩阵).,4,1,3,2
8、,2,例3（通路矩阵）,3,例4 试写出游戏“石头、剪子、布”的二人零和对策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分，平手各得零分.,甲方,乙方,例5,一个公司有5家零售店，第一家有10台电视t，15个立体电唱机s，9个磁带架d，12个录音机r；第二家有20t，14s，8d，5r；第三家有16t，8s，15d，6r；第四家有25t，15s，7d，16r；第五家有5t，12s，20d，18r.试用矩阵表示各家零售店的存货.,用行表示商品,用列表示零售店,那么下面矩阵表示各家零售店的存货.,这是一个54矩阵,2.矩阵的线性运算,矩阵相等矩阵加法矩阵减法数乘矩阵,则称矩阵A和B相等.记作A=B,
9、矩阵相等必须满足:行列对应相等且元素对应相等.,矩阵的相等,定义 设有两个mn矩阵,称为矩阵A与B的和.记作,注：只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.,矩阵的加法,定义 设有两个mn矩阵,接例5,已知公司的5家零售店关于商品电视t，立体电唱机s，磁带架d，录音机r存货用矩阵表示如下:,若公司又给它的各个零售店发货，数量为D，新的存货量分别是多少？,则现存货量用矩阵表示为,如果该日各个零售店各个商品销售数量为M,则各个零售店当天各种商品 剩余数量如何求出?(思考),(i)A+B=B+A,(ii)(A+B)+C=A+(B+C),(iii)A+O=O+A=A,(iv)A-A=A+(-A)=O,其中A
10、、B、C和零矩阵O是同型矩阵.,例1,矩阵的加法满足下列运算规律,解,数与矩阵的乘法,定义 数k与矩阵A的乘积记作kA或 A k，简称数乘，规定为,数乘矩阵运算规律：,(i)k(A+B)=kA+kB,(ii)(k+h)A=kA+h A,(iii)k(h A)=(k h)A,(iv)1A=A,其中A、B为m n 矩阵；k、h为数.,(续)若公司要求各个零售店年底对现存四种商品打折10%处理，设打折前的存货价值矩阵是V,打折后各个零售店四种商品的存货价值是多少呢？,利用数乘矩阵可得,例2,解,例3,解,引例,矩阵的乘法,由已知得,某服装商店一天的销售量如下表：且知每条W牌牛仔裤的利润是15元；每条
11、L 牌牛仔裤的利润是17.5元；CF牌是20元、BO牌是12.5元、BA牌是20元.,问题 1.在这一周之内.，最小号牛仔裤的销售利润总和是多少？,问题 2.30号牛仔裤的利润总和是多少？,问题 3.所有牛仔裤的销售利润总和是多少？,设为A,总利润862.5元,问题 2.30号牛仔裤的利润总和是多少？,问题 3.所有牛仔裤的销售利润总和是多少？,矩阵A与B的乘积是一个mn矩阵,矩阵乘法定义,注 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.,注 按此定义，一个1 s矩阵与一个s 1矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数.如前例中求得携手销售各个型号牛仔裤利
12、润总和.,这表明乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和.,例4,解,由该例可知，在一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，即 ABBA.且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.,例5,解,(AB)C=A(BC);A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(iii)k(AB)=(kA)B=A(k B),(其中k为数).,矩阵的乘法不满足交换律，,如果AB=BA 时,称 A,B为可交换矩阵.,矩阵的乘法运算规律（假设运算都是可行的）,注意,矩阵的转置,定义 把矩阵A的行列互换得到一个nm矩阵，称为A 的转置,记作AT.,例如,(i)(AT)T=A(ii)(
13、A+B)T=AT+BT,证明(iv),记,由矩阵的乘法定义，(AB)T的 一般项为,运算规律（假设运算都是可行的）,(iii)(kA)T=k AT(iv)(AB)T=BTAT,设,对于多个矩阵相乘，有,解法1,解法2,例6,综合练习,综合练习,矩阵的初等变换,定义 对mn矩阵施以以下变换均称为矩阵的初等变换：,(ii)以非零数k乘某行的所有元素；,(iii)把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去.,初等行变换：,注将上述定义中“行”改为“列”即为初等列变换定义.,(i)对调两行；,(i)对调两列；,(ii)以非零数k乘某列的所有元素；,(iii)把某一列的所有元素的k倍加到另一列对应
14、的元素上去.,初等列变换,注 初等行（列）变换统称初等变换.教材重点讨论初等行变换.,例如,等价矩阵,(i)反身性，AA；(ii)对称性，若AB则BA；(iii)传递性，若AB，BC则AC.,定义 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，称矩阵A、B等价.,注（1）等价作为一种关系满足以上三个性质.（2）等价也可以应用于线性方程组或向量组，例如线性方程组与其同解方程等价等等.,矩阵等价关系满足以下性质：,行阶梯形矩阵与行最简形矩阵,经列初等变换,一般地,继续行初等变换,也称为行最简形矩阵特点：各阶第一个非零元都是1，所在列其余元素均为0.,称为标准形矩阵特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0
15、.,一般标准形矩阵矩阵A经过初等变换总可以化为这种标准形；该标准形由 m、n、r 完全确定.,用例说明：,矩阵的高斯消元法,任何一个mn矩阵A都可以经过行初等变换化为行阶梯形.对行阶梯形继续行初等变换可以化为行最简形.化简时使用以下矩阵的高斯消元法.,矩阵高斯消元法的步骤：,（3）对除去第一行以外的行重复以上作法，则将矩阵化为行阶梯形；（4）将最后一个非零行中的首个非零元，通过乘以某常数化为1，并将其所在列该非零元上面的元素都消为零，依此，由下向上递推，最后将A化为行最简形.,（1）取矩阵中元素a110为主元，如果a11=0为零，通过行交换将第一列上元素不为零的某行换到第一行；（2）用主元a1
16、1将第一列中a11以下的其他元素消为零；,例1,解,例2,继续行初等变换，,标准形,例3,此题建议学生完成.,解,第3节 n阶方阵,1.方阵概念2.几种特殊的矩阵(方阵)3.线性变换4.方阵的运算方阵的其他运算5.初等矩阵,返回,定义1.3.1 由n2个数排成的nn矩阵,称为n阶方阵.记作A=,定义1.3.2 由方阵左上角元素到右下角元素表示的位置称为方阵的主对角线，主对角线元素的和即称为方阵的迹，记作:,i，j=1，2，n,1.方阵概念,所有n2个元素全为零的矩阵称为n阶零阵，记作,(1)零阵,2.几种特殊的矩阵(方阵),在方阵运算中起数字“0”作用，零阵的迹等于0.,例如,(1)对角矩阵,
17、定义 所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为 对角矩阵.,是一个四阶对角矩阵.,2.几种特殊的矩阵(方阵),当对角线元素都相等时有：,定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等，则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵.,当a=1时,对角元全为 1，其他元素都是零 的对角阵称为单位矩阵.,(2)数量矩阵,视作数乘单位阵,定义 如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零，则称此矩阵为上三角矩阵.,如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，则称此矩阵为下三角矩阵.,A为n阶上三角矩阵；B为n阶下三角矩阵.,(3)三角形矩阵,在下列矩阵中,指出三角阵、对角阵、数量阵、单位阵：,练习,定义 如果n阶矩阵A满
18、足A=AT，则称矩阵A为 对称矩阵.,对称矩阵A=（aI j）中的元素满足aij=aji，i，j=1，2，n即A中元素关于主对角线为对称.,性质（1）对称矩阵A与B的和也是对称矩阵（2）数乘对称矩阵仍为对称矩阵.,(4)对称矩阵,定义 如果n阶矩阵A满足AAT ATAE，则称矩阵A为 正交矩阵.,性质（1）若A为正交矩阵,则AT也是正交矩阵;（2）正交矩阵A与B的乘积也是正交矩阵.,(5)正交矩阵,3.线性变换,称此矩阵为线性变换的系数矩阵.,线性变换与矩阵存在着一一对应关系.,例如,称此矩阵为上述线性变换的系数矩阵.,显然该矩阵即为前面提及正交矩阵.,其它三种常见的线性变换,恒等变换,单位阵
19、,线性变换,对角矩阵,三角矩阵,对应下(上)三角矩阵的线性变换,例2,解,3.方阵的运算,方阵作为行数与列数相等的一类矩阵，同样可以进行第1.2节中定义的各种运算，并满足相应的运算律，方阵的和，差，数乘，乘积及转置矩阵仍为方阵.,例1,例题,例2,注 一般情况下，两个n阶方阵相乘不满足交换律，ABBA。但是 其乘积仍为n阶方阵。,例3,解,定义 设A是一个n阶方阵，k为正整数,称为A的k次幂.,注 A k就是k个A连乘.显然只有方阵的幂才有意义.规定:A0=E.,(i)A k Al=A k+1(ii)(A k)l=A k l,其中k、l为正整数.,（1）n阶方阵的幂,运算律,例如,方阵的其他运
20、算,因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n 阶方阵A与B，(AB)k 一般不等于A k B k.即,如果Ak=O，不一定有A=O.例如取,注,例1,解,例2,（n为自然数）,解,（2）矩阵多项式,定义1.3.3 设（*）为x的多项式，A为n阶矩阵，E为n阶单位阵，称（*）为关于A的矩阵多项式.,解,例1,课堂练习,定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为 初等矩阵（初等方阵）.,三种初等变换对应着三种初等矩阵，以3阶单位阵为例予以说明.,(i)互换E的i、j 两行（或i、j两列),记E i,j,5.初等矩阵,例如,(ii)E的第i行（或第i列）乘以不等于零的数k，得,(iii)把
21、E的第j行的k倍加到第i行上(或第i列的k倍加到第j列上)，得,例如,例如,矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系.,初等矩阵性质和有关定理,性质 初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵.,定理1.3.2 设A是m行n列矩阵，则(1)对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种m阶初等 矩阵左乘A.(2)对A施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同种n阶初等 矩阵右乘A.,例如,例1,注 该矩阵仅经过一系列行变换，即 可化为标准形矩阵；该化简过程可以用连续左乘初等矩阵进行表示；该化简结果说明方阵A 与单位阵等价.,解,例2,注 化简过程表明，某些矩阵仅经过一系列行变换，即 可化为标准形矩阵；如果
22、设P8P7P6P5P4P3P2P1=P，那么PA=E.由等价矩阵定义知：A与单位阵E等价,即AE.,解,这里Pi代表施行的初等变换,也代表对应的初等矩阵.,第4节 可逆矩阵,1.逆矩阵概念2.逆矩阵性质3.求逆矩阵方法4.逆矩阵应用,返回,1.逆矩阵概念,定义 对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E，则方阵A称为可逆矩阵，简称A可 逆.方阵B称为A的逆矩阵.记为A-1.,证(2)设B、C都是A的逆矩阵，则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.唯一性得证.,结论(1)这时矩阵B亦可逆,B的逆阵为A.即B-1=A.,注 可逆矩阵也称为非退化阵,也常被称为非奇异阵;不可
23、逆矩阵称为退化阵,也常被称为奇异阵.,(2)如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.,先给出一个例子.,例1,注 这是二阶方阵求逆阵的一种简便方法.,解,一般地,答案,练习,性质1 若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A.,证,性质2 若A可逆，数k不为零，则kA可逆，且(kA)-1=k-1A-1.,证,2.逆矩阵的性质,由AA-1=E,得A-1也可逆，且(A-1)-1=A.,根据AA-1=E，由(kA)(k-1A-1)=k k-1AA-1=E，即 kA可逆，且(kA)-1=k-1A-1.,证,性质3 若A可逆，则AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T.,证,性质4 A、B为同阶方阵且
24、均可逆，则AB也可逆，且(AB)-1=B-1A-1.,2.逆矩阵的性质,例2,证,例3,证,答案,练习,定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.,复习初等矩阵相关知识,前节定理1.3.2 设A是m行n列矩阵，则(1)对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种m阶初等矩阵左乘A.(2)对A施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘A.,初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是初等矩阵,且,例如,矩阵的初等变换与初等矩阵的关系.,前节例2,注 化简过程表明，某些矩阵仅经过一系列行变换，即 可化为标准形矩阵；如果设P8P7P6P5P4P3P2P1=P，那么P一定是可逆
25、阵；由矩阵定义：AB=BA=E知，P是A的逆阵.,解,例2,分析,结论：只需将单位阵E经过同样的行初等变换，即可得A-1从而给出一种新的求逆阵方法初等变换法.,利用行初等变换求矩阵A的逆矩阵：(i)构造n2n矩阵（A|E）；(ii)对于（A|E）连续施以行变换把A化为E,同时对E施以完全相同的初等行变换，这时 E就化为A 的逆阵A-1.,即,3.求逆矩阵方法,例3,解,继续进行初等变换，,注 这是一种很重要的求逆及其相关运算的方法.,(1)解形如AX=B的矩阵方程,4.逆矩阵的应用,(2)解形如Ax=b 的二，三元线性方程组,(1)解形如AX=B的矩阵方程,例1,可以验证AX=B,方法1,利用
26、初等变换法解AX=B,其中A可逆.,分析,即,解 利用矩阵的初等变换法.由,例1(续)解矩阵方程AX=B，其中,方法2,如果先求出A的逆阵，再利用矩阵乘法结果相同.,例1(续)解矩阵方程AX=B，其中,解,方法3,分析,例2,继续行初等变换，,继续行初等变换，,例3,方法1,解,方法2,若A-1，B-1存在，则由A-1左乘上式，B-1右乘 上式，有 A-1AXBB-1=A-1CB-1,（A-1A）X（BB-1）=A-1CB-1,即 X=A-1CB-1.,注,首先求出A、B逆阵（学生完成）,例4,求矩阵 X 使满足 AXB=C.,解,于是,求出A、B逆阵为,练习,需要指出：,注：处理矩阵问题，也
27、可以利用列初等变换，但一般用行变换作为常用方法.,(2)解形如Ax=b 的二，三元线性方程组,将线性方程组看作矩阵方程AX=B的特殊情形即将b看作列矩阵，那么上述方法都可以应用到解线性方程组中来,包括:,（I）应用矩阵乘法解线性方程组（适合低阶情形）,（II）利用初等变换法解Ax=b,（这是解方程组的重要方法）.,（III）利用逆阵解AX=B,要求A可逆.,(3)线性方程组的矩阵形式,线性方程组,例题,解三元线性方程组：,（1）用初等变换解这个三元线性方程组,解,（2）利用逆阵解这个三元线性方程组：,解,求得,于是有,答案,练习,第5节 数学实验,1.命令A+B、k A、A.B用以计算矩阵的和
28、、数乘、乘法；2.命令TransposeA用以计算矩阵的转置；3.命令DetA用以计算方阵A的行列式；4.命令MatrixPowerA,m用以计算方阵A的m次幂；5.命令InverseA用以求出矩阵A的逆矩阵；6.命令RowReduceA用以将矩阵A化为行最简形，从而求出A的秩.,注:进行矩阵运算时，结果会以向量形式显示矩阵运算结果，如果在运算命令最后加上“/MatrixForm”，则会给出运算结果的矩阵.,返回,矩阵运算,第2步:键入2 A-3 B/MatrixForm A.TransposeB/MatrixForm 第3步：按“Shift+Enter”键，便得计算结果.,例 1,解 第1步：打开Mathematica 4.0窗口，键入,第2步:键入DetA MatrixPowerA,10/MatrixForm InverseA/MatrixForm,例 2,解 第1步：打开Mathematica 4.0窗口，键入,第3步：按“Shift+Enter”键，便得计算结果.,第2步:键入InverseA.B.InverseA/MatrixForm 第3步：按“Shift+Enter”键，便得计算结果.,例 3,解 第1步：打开Mathematica 4.0窗口，键入,
