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1、初等模型,1 公平的席位分配2 双层玻璃窗的功效3 汽车刹车距离4 划艇比赛的成绩5 核军备竞赛6 量纲分析与无量纲化7 动物体重模型,1 公平的席位分配,问题,三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。,现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席如何分配。,若增加为21席，又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1=p2/n2 时，分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n
2、2=10,p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2，对 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案应使 rA,rB 尽量小,设A,B已分别有n1,n2 席，若增加1席，问应分给A,还是B,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对A不公平,对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2，定义,1）
3、若 p1/(n1+1)p2/n2，,则这席应给 A,2）若 p1/(n1+1)p2/n2，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1,n2),应计算rA(n1,n2+1),若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给,应讨论以下几种情况,初始 p1/n1 p2/n2,问：,p1/n1p2/(n2+1)是否会出现？,A,否!,若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给 B,当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给A,该席给A,否则,该席给B,推广到m方分配席位,该席给Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21个席位
4、,按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21席给丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗？,Q1最大，第20席给甲系,进一步的讨论,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？,席位分配的理想化准则,已知:m方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数为 P=p1+p2+pm,待分配的总席位为N。,设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,nm(自然应有n1+n2+nm=N)，,记qi=Npi/P,i=1,2,m,ni 应是
5、 N和 p1,pm 的函数，即ni=ni(N,p1,pm),若qi 均为整数，显然应 ni=qi,qi=Npi/P不全为整数时，ni 应满足的准则：,记 qi=floor(qi)向 qi方向取整；qi+=ceil(qi)向 qi方向取整.,1)qi ni qi+(i=1,2,m),2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)(i=1,2,m),即ni 必取qi,qi+之一,即当总席位增加时，ni不应减少,“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）,Q值方法满足 2）,但不满足 1）。令人遗憾！,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失,假设,热量传播只有传导，没
6、有对流,T1,T2不变，热传导过程处于稳态,材料均匀，热传导系数为常数,建模,热传导定律,Q 单位时间单位面积传导的热量,T温差,d材料厚度,k热传导系数,2 双层玻璃窗的功效,Ta,Tb,记双层玻璃窗传导的热量Q1,Ta内层玻璃的外侧温度,Tb外层玻璃的内侧温度,建模,记单层玻璃窗传导的热量Q2,双层与单层窗传导的热量之比,k1=410-3 8 10-3,k2=2.510-4,k1/k2=16 32,对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，,取k1/k2=16,建模,模型应用,取 h=l/d=4,则 Q1/Q2=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。,结果分
7、析,Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2,而这要求空气非常干燥、不流通。,房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。,双层窗的功效不会如此之大,4 汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：,背景与问题,正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。,实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：,后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何,判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；,建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。,问题分析,常识：刹车距离与车速有关,10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)
8、,车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,假 设 与 建 模,1.刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和,2.反应距离 d1与车速 v成正比,3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;,F d2=m v2/2,F m,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比,反应时间 t1的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“
9、2秒准则”应修正为“t 秒准则”,模 型,4 划艇比赛的成绩,对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,准备,调查赛艇的尺寸和重量,问题分析,前进阻力 浸没部分与水的摩擦力,前进动力 浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,模型假设,1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比,2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比,符号：艇速 v,浸没面积 s,浸没体积 A,空艇重 w0,阻力 f,浆手数
10、 n,浆手功率 p,浆手体重 w,艇重 W,艇的静态特性,艇的动态特性,3）w相同，p不变，p与w成正比,浆手的特征,模型建立,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A W(=w0+nw)n,np fv,模型检验,利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/9 进行检验,与模型巧合！,5 核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。,
11、估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。,背景,以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样的核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；,乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。,模型假设,图的模型,y=f(x)甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数,x=g(y)乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数,当 x=0时 y=y0，y0
12、乙方的威慑值,y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,P(xm,ym),乙安全区,甲安全区,双方安全区,P平衡点(双方最少导弹数),乙安全线,精细模型,乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。,sx个基地未摧毁，yx个基地未攻击。,xy,甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,y0=sx+yx,x=y,y0=sy,乙的xy个被攻击2次，s2(xy)个未摧毁；y(xy)=2y x个被攻击1次，s(2y x)个未摧毁,y0=s2(xy)+s(2y x),x=2y,y0=s2y,yx2y,a交换比(甲乙导弹数量比),x=a y,精
13、细模型,x=y,y=y0/s,x=2y,y=y0/s2,y0威慑值,s残存率,y是一条上凸的曲线,y0变大，曲线上移、变陡,s变大，y减小，曲线变平,a变大，y增加，曲线变陡,xy,y=y0+(1-s)x,yx2y,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标,乙方威慑值 y0变大,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。,（其它因素不变）,乙安全线 y=f(x)上移,模型解释,平衡点PP,甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架,乙安全线y=f(x)不变,甲方残存率变大,威慑值x 0和交换比不变,x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近,模型解释,甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少,PP,双方发
14、展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标,(x,y仍为双方核导弹的数量),双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加,y0减小 y下移且变平,a 变大 y增加且变陡,双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析,模型解释,乙安全线 y=f(x),帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向,简化问题,海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，,8 启帆远航,6 量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度 l 的量纲记 L=l,质量 m的量纲记 M=m,时间 t 的量纲记 T=t,动力学中基本量纲 L,M,T,速度 v 的量纲 v=LT-1,导出量纲,加速度 a 的量纲
15、 a=LT-2,力 f 的量纲 f=LMT-2,引力常数 k 的量纲 k,对无量纲量，=1(=L0M0T0),9.1 量纲齐次原则,=fl2m-2=L3M-1T-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例：单摆运动,求摆动周期 t 的表达式,设物理量 t,m,l,g 之间有关系式,1,2,3 为待定系数，为无量纲量,(1)的量纲表达式,对比,对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2),为什么假设这种形式,设p=f(x,y,z),x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍,单摆运
16、动中 t,m,l,g 的一般表达式,设 f(q1,q2,qm)=0,ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-r,F(1,2,m-r)=0 与 f(q1,q2,qm)=0 等价,F未定,Pi定理(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是基本量纲,nm,q1,q2,qm 的量纲可表为,量纲矩阵记作,g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1,s=L2,f=LMT-2,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v,船体尺寸l,浸没面积 s,海水密度,重力加速度g。,m=6,n=3,Ay=0 有m-r=3个基本解,rank A=3,rank
17、A=r,Ay=0 有m-r个基本解,ys=(ys1,ys2,ysm)T s=1,2,m-r,F(1,2,3)=0与(g,l,v,s,f)=0 等价,为得到阻力 f 的显式表达式,F=0,未定,F(1,2,m-r)=0 与 f(q1,q2,qm)=0 等价,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,()=0中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数n;选哪些基本量纲,有目的地构造 Ay=0 的基本解,方法的普适性,函数F和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,9.2 量纲分析在物理模拟中的应用,例:航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数(
18、均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数(f1未知，其他已知),注意：二者的相同,按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 物理模拟,9.3 无量纲化,例：火箭发射,星球表面竖直发射。初速v,星球半径r,表面重力加速度g,研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律,t=0 时 x=0,火箭质量m1,星球质量m2,牛顿第二定律，万有引力定律,3个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc,tc（特征尺度）,无量纲变量,如,令,xc,tc的不同构造,1）令,为无量纲量,3）令,2）令,1）2）3）的共同点,重要差别
19、,考察无量纲量,在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？,1),无解,2),3),原问题,是原问题的近似解,为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1)2)不能?,3）令,火箭到达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,大体上具有单位尺度,7 动物体重模型（比例与函数建模）,动物体重问题:某生猪收购站，需要研究如何根据生猪的体长（不包括头尾）估计其体重？,模型假设：将四足动物的躯干（不含头尾）视为质量为m的圆柱体，长度为,截面面积s,直径为d,如下图 所示,把圆柱体的躯干看作一根支撑在四肢上的弹性梁，动物在体重f作用下的最大下垂为，即梁的最大弯曲，根据弹性力学弯曲度理论，有:,以生物进化学的角度，
20、可认为动物的相对下垂度已达到一个最合适的数值，也即 为常数。,模型建立,因此生猪的体重与体长的四次方成正比，在实际工作中，工作人员可由实际经验及统计数据找出常数K，则可近似地由生猪的体长估计它的体重。,习题 与思考题一,1、某校有1000名学生，235人住在A宿舍楼，333人住在B宿舍楼，432住在C宿舍楼，全体学生要组织一个10人委员会，试用下列办法建立数学模型分配各个宿舍楼的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分的委员数。（2）请用Q值模型进行分配。（3）dHondt 方法：将A、B、C各宿舍楼的人数用正整数n=1,2,相除，其商数如下表：,将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下面标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍楼分配的席位，你能解释这种方法的道理吗？（4）如果委员会从10人增加至15人，请用以上三种方法再分配名额，并将三种方法分配的结果进行比较。（5）你能提出其它的合理分配模型吗？,2、请用微积分的方法建立录像机的计数模型。3.若单层玻璃窗的玻璃厚度也是d，结果将如何？4.怎样讨论三层玻璃的功效？5.怎样讨论双层玻璃的隔音效果？,
