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1、*三、二重积分的换元法,第二节,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算,二 极坐标下二重积分的计算,(一)极坐标知识回顾,1定义:,在平面取一点O称为原点,称为极轴.,O,平面上任意点P,向量O P与极轴为夹角为,则点P由数组,唯一确定,称数组,是点P的极坐标.,P,从原点出发作一条射线,与原点距离为,曲线上点的极坐标满足的方程称为曲线的极坐标方程.,O,例: 如图半径为,与极轴相切,且圆心与原点连线垂直于极轴,求圆的极坐标方程.,P,对圆上任意一点,设其极坐标为,则三角形,是直角三角形,且,故,故圆的极坐标方程为,O,P,若平面上极坐标系与直角坐标系,
2、关系如图.,对平面上的点,P,设其极坐标与直角坐标,分别是,和,则它们有关系,以下假设平面有极坐标系与直角坐标系且关系如上,2 极坐标与直角坐标的关系,法一:根据曲线的几何特征及,与,几何含义建立方程,O,P,法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立,圆的直角坐标方程为,圆的极坐标方程为,如图,圆的极坐标方程为,3 曲线的极坐标方程的求法,例 如图,P,法一,法二:,圆的直角坐标方程为,故,即,故圆的极坐标方程为,例 如图,P,法一,法二:,圆的直角坐标方程为,故圆的极坐标方程为,例 如图,直线,P,法一,法二:,由直线直角坐标方程为,得,故直线极坐标方程为,记为,(二)极坐标下的,
3、型简单区域,定义: 若区域D在极坐标下是由,及,其中,围成.,则称D为极坐标下的,型简单区域,特征,若区域D的,的取值为,对,从原点出发以,为角做射线与区域边界交点至多两个:,为什么引用极坐标计算二重积分,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例.,其中D 为,解:,将,转化为二次积分,D,D1,D2,D3,D4,分割D 为,又如计算,其中,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角坐标计算.,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本题解法见后面例题8
4、,还可举例,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,利用极坐标计算二重积分,i,i,i +i,I =,ri,r,.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用坐标线: =常数；r =常数 分割区域 D,怎样利用极坐标计算二重积分(1),1.极点不在区域 D 的内部,0,A,B,F,E,D,D:,r,r,0,A,B,F,E,D,D:,.,1.极点不在区域 D 的内部,r,0,A,B,F,E,D,D:,.,步骤：1 从D的图形找出 r, 上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；3 面积元素dxdy化为rdrd,.,1.极点不在区域 D 的内部,r
5、,2.极点位于区域 D 的内部,0,D,r,D:,怎样利用极坐标计算二重积分(2),r,机动 目录 上页 下页 返回 结束,D:,D,0,.,2.极点位于区域 D 的内部,r,机动 目录 上页 下页 返回 结束,D:,.,D,0,步骤：1 从D的图形找出 r, 上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；3 面积元素dxdy化为rdrd,.,2.极点位于区域 D 的内部,r,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2a,.,.,解,例1.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（第一象限部分）,(极点不在区域 D 的内部),此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！,2,1,D,D:,变换到极坐标系,.,.
6、,例2.,计算,D: =1和 =2 围成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2续,其中D 为,计算,D,D1,D2,D3,D4,解:,在极坐标系下,故,2R,区域边界：,x = 0,.,即 r =2Rsin,r =2Rsin,例3.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,2,y =x,D,.,.,例4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,r = 4 cos,r = 8 cos,8,D,1,2,例5.,计算,y = 2x,x = y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,0,y,x,r = 8 cos,D,4,8,.,r = 4 cos,2,1,例5.,.,计算,I =,机动 目录
7、 上页 下页 返回 结束,例6 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 将积分化为极坐标形式,y = R x,D1,D2,.,.,R,D,.,.,.,arctanR,.,I =,I =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,r =R,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(极点位于区域 D 的内部),例:判断下列区域是否是简单,区域,若是请表示出来.,例8.计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,
8、的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角坐标计算.,由于,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:,利用例8可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例8的结果, 得,故式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常用D到D的转换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极坐标下的二次积分注释,作业,P138-139 2 ; 3; 4 (2), (4); 5 (2), (4); 6,第三节 目录 上页 下页 返回
9、结束,定积分换元法,三*、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理得,当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,机动 目录 上
10、页 下页 返回 结束,例21. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例22. 计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S .,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例23. 试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
11、(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,原式,备用题,1. 给定,改变积分的次序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
