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1、二项式定理题型荟萃,二项式定理,二项式展开的通项,复习旧知,第 项,性质复习,性质1在二项展开式中，与首末两端等 距离的任意两项的二项式系数相等.,性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系 数最大；,性质3：,性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和.,题型一 利用 的二项展开式解题,解法1,例1 求 的展开式,直接用二项式定理展开,题型一 利用 的二项展开式解题,例1 求 的展开式,解法2,化简后再展开,解:,所以 为奇数 故选(A),思考 能用特殊值法吗?,A,熟记二项式定理,是解答
2、与二项式定理有关问题的前提条件,对比较复杂的二项式,有时先化简再展开更便于计算.,例题点评,题型二利用通项求符合要求的项或项的系数,例3 求 展开式中的有理项,解:,令,原式的有理项为:,解: 设第 项为所求,的系数为,分析：第 k+1 项的二项式系数 - 第 k+1 项的系数-具体数值的积。,解：,求二项展开式的某一项,或者求满足某种条件的项,或者求某种性质的项,如含有x 项的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别. (2) 表示第 项.,3,例题点评,题型3 二项式定理的逆用,例6 计算并求值,解(1):将原式变形,题型3 二项式定理的逆用,
3、例7 计算并求值,解:(2)原式,例题点评逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用,题型4 求多项式的展开式中特定的项(系数),解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系 数是,解法2,运用等比数列求和公式得,在 的展开式中,含有 项的系数为,所以 的系数为-20,例9求 展开式中 的系数。,解:可逐项求得 的系数,的展开式通项为,当 时,系数为,的展开式通项为,当 时,系数为,所以 展开式中的系数为,的展开式通项为,当 时,系数为-4,求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简,可以减小
4、计算量,例题点评,题型5 求乘积二项式展开式中特定的项(特 定项的系数),例题10:求 的展开式中 项 的系数.,解,的通项是,的通项是,的通项是,由题意知,解得,所以 的系数为:,例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算,（题型6）求展开式中各项系数和,解：设,展开式各项系数和为,1,例题点评求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为1,上式是恒等式，所以当且仅当x=1时， (2-1)n=, =（2-1）n=1,例11. 的展开式的各项系数和为_,题型7：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和,(1),(2),题型7：求奇数(次)项偶数(次)项系数的和,所以
5、,（3）,例题点评,求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值,题型8 三项式转化为二项式,解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式,再利用二项式定理逐项分析常数项得,=1107,_,解：,原式化为,其通项公式为,240,题型9 求展开式中系数最大(小)的项,解:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第11项,即,所以它们的比是,例16 在 的展开式中，系数绝对值最大的项,解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则,所以当 时，系数绝对值最大的项为,例17求 的展开式中数值最大的项,解：设第 项是是数值最大的项,展开式中数值最
6、大的项是,解决系数最大问题，通常设第 项是系数最大的项，则有,由此确定r的取值,例题点评,题型10 整除或余数问题,例18,解:,前面各项均能被100整除.只有 不能被100整除,整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数,例题点评,题型11 证明恒等式,析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 由此分析求解,两式相加,例题点评,利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种最常见的方法,证明等式常用下面的等式,例20证明：,证明,通项,所以,题型12 证明不等式,例题点
7、评,利用二项式定理证明不等式,将展开式进行合理放缩,题型13 近似计算,例21.某公司的股票今天的指数为2,以后每天的指 数都比上一天的指数增加0.2%,则100天后这 公司的股票股票指数为_(精确到0.001),解:,依题意有2(1+0.2%),100,所以100天后这家公司的股票指数约为2.44,点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项,巩固练习,一选择题,1(04福建)已知 展开式的常数项是1120, 其中实数 是常数,则展开式中各项系数的和 是( ),C,B,3 被4除所得的系数为（ ） A0 B1 C2 D3,A,展开式中 的系数是_,2 被22除所得的余数为 。,1,35,3 已知 展开式中的 系数是56，则实数 的值是_,或,二填空题,4.设 二项式展开式的各项系数的和为P； 二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式 的常数项为_,108,1 求 展开式中含 一次幂的项。,45x,3 在 的展开式中，求：,（1） 二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项,三计算题,
