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1、八年级数学下册(人教版),17.1 勾股定理（1）,学习目标 1、知识与技能 掌握勾股定理反映的数量关系；会用拼图法、面积法证明勾股定理；在生活实践中学会使用勾股定理。 2、过程与方法 通过 “观察猜想归纳验证” 过程理解勾股定理；学会从特殊到一般的数学思考方法。 3、情感态度、价值观 通过实验、猜想、拼图、证明等了解数学知识的发生发展过程，学会合作交流，体验探究乐趣，增强探索意识；感受勾股定理的悠久历史，激发学习热情。,除地球外，别的星球上有没有生命呢？ 自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别是近年来不断出现的UFO事件，更让人们相信有外星人的说法，如果真的有，那我们怎么和他们交流呢？ 我
2、国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”，也必定认识这种图形.,一、创设情境,那么这到底是一种什么样的图形呢？它真的有那么大的魅力吗？,下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。,毕达哥拉斯(公元前572-前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系,我们也来观察右图的地面，你能发现A、B、C面积之间有什么数量关系吗？,SA+SB=SC,每块
3、砖都是等腰直角三角形哦,（图中每个小方格是1个单位面积）,探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有什么数量关系吗？,二、实验探究,（1）观察图1-1 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积。,正方形B的面积是 个单位面积。,正方形C的面积是 个单位面积。,9,9,9,18,1,2,3,（2）（3）,分“割” 成几个直角边为整数的三角形,（单位面积）,返回,（单位面积）,还可以把C“补” 成边长为6的正方形面积的一半,返回,SA+SB=SC,4,4,8,两直角边的平方和等于斜边的平方,2、回顾填填你能发现图1图2中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？,即：两条直角边
4、上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积,探究二：SA+SB=SC 在图2中还成立吗？,结论：仍然成立。,A的面积是 个单位面积,B的面积是 个单位面积,C的面积是 个单位面积,25,16,9,你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流,（图中每个小方格是1个单位面积）,分“割” 成几个直角边为整数的三角形,（面积单位）,幻灯片 7,（1）观察图1-3、图1-4，并填写右表：,A的面积（单位面积）,B的面积（单位面积）,C的面积（单位面积）,图1-3,图1-4,16,9,25,4,9,13,做一做,幻灯片 9,（2）得出结论： 三个正方形A，B，C的面积之间有的关系？,SA+SB=SC,
5、即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积,幻灯片 7,A,B,C,问题2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?,问题4:那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是:,至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC,a2 + b2 = c2,a2 + b2 = c2,问题1:去掉网格结论会改变吗？,问题3:去掉正方形结论会改变吗？,命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.,我们猜想：,是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻
6、底搞清楚。 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的,三、拼图证明,以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子。你能做到吗？试试看。,赵爽拼图证明法：,小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.,b a,M,N,P,剪、拼过程展示：,用赵爽弦图证明,=,“赵爽弦图”,“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，当 2002年第24届国际数学家大会在北京召开时， “赵爽弦图”被选作大会会徽。,现在
7、，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以命题1在我国叫做勾股定理。,勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2,即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。,勾股世界,我国是最早了解勾股定理的国家之一。三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三股四弦五”的说法。,为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为“勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所
8、以叫做勾股定理。,国外又叫毕达哥拉斯定理,勾,股,勾2 + 股2 = 弦2,勾股定理的各种表达式：,在RTABC中，C=90, A 、B、 C的对边分别为a 、b 、c ,则:,c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2,c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,c=,a=,b=,其他证明方法,用四个全等三角形拼图证明。,勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种。,问题： 你会用四个全等的直角
9、三角形拼成哪些图形？,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,勾股定理的证明,勾股定理的证明方法很多，这里重点的介绍面积证法。,勾股定理的证法（一）,a2+b2=c2,( a+b)2=c2+4 ab,勾股定理的证法（二）,4 ab=,a2+b2=c2,C, c2=,=b2-2ab+a2+ 2ab,=a2+b2,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为,c2,该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作勾股圆方图。,证明1：,这是2002年国际数学家大会会标,赵爽弦图, ab4+(b-a)=c,a+b =c,2ab+（b-2ab+a）
10、=c, (a+b)2 =,a2+2ab+b2 = 2ab +c2,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为,(a+b)2,证明2：,1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”,证明3：,你能只用这两个直角三角形说明a2+b2=c2吗？,拼一拼 试一试,验证勾股定理的正确性,例题：求出下列直角三角形中未知边的长度.,解：（1）在RtABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2,X2 =36+64,x2 =100,x2=62+82,x0,y2+52=132,y2=132-52,y2=144,
11、 y=12,（2）在RtABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,y0,X=10,四、实践应用,方法总结：利用勾股定理建立方程.,练习1：图中已知数据表示面积，求表示边的未知数x、y的值.,看谁算得快,如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后“119”迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？,议一议：,9m,24m,练习2：已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 , 求S5 、S6 、S7的值.,看谁算得快,美丽的勾股树,1、求下列图中字母所表示的正方形的面积.,=625,=144,五
12、、反馈评价,2、如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？,3、求下列直角三角形中未知边的长.,竞技场！,1) 在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为c，则c2=_,a2+b2,2) 在RTABC中C=90,若a=4,b=3,则c=_ 若c=13,b=5,则a=_ 若 c=17,a=8,则b=_,5,12,15,一 填空题：,活动4、基础巩固,（3 ） 等边三角形的边长为12，则它的高为_,（4) 在直角三角形中,如果有两边 为3,4,那么另一边为_,5或,一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5，那么它的宽是（ ） A B C
13、 D ,二 选择题：,如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ，那么直角三角形的其它两边长是（ ）A 1， B 1 ，3 C 1， D 1 ,5,如图，在RTABC中，C=90,B=45,AC=1,则AB=( ) A 2, B 1, C , D,A,C,B,A,B,C,、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( ),A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米,C,C,B,A,.基础练习之出谋划策,一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位mm),求两孔中心A、B之间的距离.,C,解： 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则,ACB=9
14、0，,AC=90-40=50（mm）,BC=160-40=120（mm),由勾股定理有：,AB2=AC2+BC2=502+1202 =16900（mm2),AB0,AB=130(mm),答：两孔中心A，B的距离为130mm.,4.应用知识之学海无涯,1、本节课我们学到了什么？,通过学习,我们知道了著名的勾股定理，掌握了从特殊到一般的探索方法，还学会到了拼图证明的方法。,2、学了本节课后我们有什么感想？,我们发现有些数学结论就存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现。,六、感悟收获,1.必做题：课本第70页，习题18.1 第2、3、4题.2.选做题：（1）课本第71页“阅读与思考”，了解勾股定理的多种证法.（2）上网查阅了解勾股定理的有关知识并写一篇小论文.,七、课后作业,说不定你也可以创造一种新的证明方法呢！,祝同学们学习进步！再见！,只要我们细心观察、认真思考，就可以在生活中发现数学的奇妙，让我们在奇妙的数学世界里，不懈探索、自由翱翔，享受数学带给我们的乐趣吧！,
