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1、1,第二部分 积分变换,傅立叶积分变换 （傅氏变换）,拉普拉斯积分变换 （拉氏变换）,2,积分变换简介,1、何为积分变换？,所谓积分变换，实际上就是通过积分算，把一个函数变成另一个函数的一种变换.,3,2、积分变换的产生,数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解.,4,如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；,再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况.,基于这种思想，便产生了积分变换.,其主要体现在：,数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积
2、之间的互相转化.,工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.,5,第八章 傅立叶变换,主要内容：,1、 傅立叶积分公式,2、傅立叶变换及其性质,3、卷积,6,1 傅立叶级数与积分,1、傅立叶级数的指数形式,在高等数学中有下列定理：,7,8,注意：,于是,9,则,（2）式称为傅立叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义.,10,2、傅立叶积分,任何一个非周期函数 f (t), 都可看成是由某个周期函数 fT (t) 当T+时转化而来的.,11,于是,12,从而按照积分的定义，（4）可以写为：,或者,13,公式（5）称为函数 f(t) 的傅氏积分公式.,则（5）在 f(t) 的连续点成立
3、.,上述定理称为傅氏积分定理.,14,事实上,根据欧拉公式,有,15,所以由(7),得到,于是(6)成立.,16,2 傅立叶变换,1、傅立叶变换的概念,上一节介绍了：当 f(t) 满足一定条件（？）时，在 f(t) 的连续点处有：,17,还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .,18,t,f (t),o,19,解:根据定义, 有,这就是指数衰减函数的傅氏变换.,20,根据积分表达式的定义,有,注意到,化简整理,21,-钟形脉冲函数.,解:根据定义, 有,22,化简整理,如何计算？,这里利用了以下 结果：,23,2、傅立叶变换的物理意义,如果仔细分析周期函数和非周期函
4、数的傅氏积分表达式,24,由此引出以下术语：,在频谱分析中, 傅氏变换F(w)又称为 f(t) 的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于w是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱.,显然，振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数, 即,25,显然,相角频谱argF(w)是w的奇函数.,26,例3 求单个矩形脉冲函数,的频谱图.,解：,27,请画出其频谱图.,频谱为,以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！,28,本讲小结：,1. 掌握傅氏积分定理的条件和结论；
5、,2. 掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念；,3. 了解傅氏变换的物理意义.,29,3 单位脉冲函数,2、 单位脉冲函数,1、 单位脉动函数,在物理和工程技术中, 有许多物理现象具有脉冲性质. 例如断电以后的突然来电等; 在力学中, 机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.物理学家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技术中被广泛地采用.,30,在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则,由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即,所以, 当t0时, i(t
6、)=0, 由于q(t)不连续, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.,31,如果我们形式地计算这个导数, 得,这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为此, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷，点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.,广义函数，没有普通意义下的函数值.,32,2.1 单位脉冲函数的定义,2.2 单位脉冲函数的性质,(1) 积分性质,证明：,33,一些工程书中，-函数常用一个长度等于1的有向线段来
7、表示.,t,O,d(t),1,(2) 筛选性质,对于无穷次可微的函数 f(t)，有,一般地,34,这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用.,例1 求单位脉冲函数的傅氏变换.,解：,可见, 单位脉冲函数d (t)与常数1构成了一傅氏变换对； 同理, d(t-t0)和 亦构成了一个傅氏变换对.,35,需要指出的是，此处的广义积分是按(1)式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换.,根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即,实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点.如,36,如此以来，较
8、强的条件使得傅立叶变换的应用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我们通常用傅氏逆变换来推证.,比较典型的有： u(t)（单位阶跃函数）, sin t, cost.,同样可以说, 象函数F(w)和象原函数 f(t)亦构成一个傅氏变换对.,37,例2,称为单位跃阶函数.,证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换.,我们用考察逆变换的方法证明.,38,当 t0 时,有,39,同理当 t0 时，有,综上所述，根据(*), 有,证毕.,40,解：由定义，有,特别地,故 得到,41,于是，有,例4 求正弦函数 f(t
9、)=sinw0 t 的傅氏变换.,解：,42,同理，可得,即,注：我们介绍-函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性.,43,4 傅立叶变换的性质,为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握.,为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.,1、 线性性质,则,F,逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质.,44,2、位移性质,证明：根据定义，得,45,显而易见，位移公式的作用是：知道了一个函数的变换，便可由此求出其位移函数的变换！,同理可得,推论,提示：利用
10、欧拉公式和位移性质容易证明.,46,3、微分性质,证明：根据定义，得,如果 f(t) 在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则,47,类似地可推得象函数的导数公式：,一般地，如果 在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, 有,则,48,例如，设,思考题：,49,4、积分性质,证明：,50,例1 求解微分积分方程,其中 t+, a, b, c均为常数.,解：设,则,从而,51,运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微（积）分方程转化为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到原方程的解. 另外, 傅氏变换还可以用来求解一些数学物理方程.,5、对称性质,证明：根据定义，有,52,特别地，若 f(t) 偶函数，则,思考题：,6、相似性质,特别地，若,-翻转性质.,53,本讲小结,1、掌握单位脉冲函数的定义,2、了解单位脉冲函数的性质,3、熟悉傅氏变换的性质,4、会求常见函数的傅氏变换和逆变换,
