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1、8.2 单位脉冲函数及广义傅氏变换,在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲,冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会,函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电,学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作,用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受,产生我们要介绍的单位脉冲函数.,在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.,如果我们形式地计算这个导数,则得,这表明在通常意义下的函数类中找不到一
2、个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数,简单记成d-函数:,有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.,（在极限与积分可交换意义下）,工程上将d-函数称为单位脉冲函数。,可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.,d-函数有筛选性质：,可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。,因为d 函数是广义函数,所以其Fourier变换不,是通常意义下的F
3、ourier 变换.根据Fourier 变换的,定义,以及d 函数的性质,可 得,通常,没有意义.然而由,在广义函数意义下,证法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆变换可得,例1 证明：1和2pd(w)构成傅氏变换对.,证法1：,由上面两个函数的变换可得,例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(w)构成一个傅氏变换对.,在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件,例3 求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换。,例4 证明：,证：,例5 计算 和,根据d 函数Fourier变换的,可得,例6 计算,利用,可得,因为d(x)是d 逼近函数 的弱极限,所以由,也可以理解为,(1)d 函数Fourier变换的时移和频移性质,d-函数的傅氏变换为:,于是d(t)与常数1构成了一傅氏变换对.,根据Fourier变换的定义以及d 函数的性质,即,(2)d 函数Fourier变换的微分性质,根据Fourier变换的定义,以及d 函数的性质,又因为,所以,
