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1、习题课函数单调性与奇偶性的综合应用,.-.,函 数,知识点、函数的单调性与奇偶性 1.填空.(1)函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判定函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.(2)在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(nZ)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(nZ)型函数及常数函数都是偶函数.(3)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,则它们在公共定义域上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇奇=偶,奇偶=奇,偶偶=偶.,(4)若f(x)为奇函数,且在区间a,b(ab)上是增(减)函数,则f(x)在区间-b,-a上是增(减)函数;若f
2、(x)为偶函数,且在区间a,b(ab)上是增(减)函数,则f(x)在区间-b,-a上是减(增)函数,即奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;而偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).,2.做一做(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)()A.在1,7上是增函数B.在-7,2上是增函数C.在-5,-3上是增函数D.在-3,3上是增函数(2)若奇函数f(x)满足f(3)f(1)C.f(-2)f(3)D.f(-3)f(5)(3)定义在
3、R上的偶函数f(x),对任意x1,x20,+)(x1x2),都有 0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为 .,解析:(1)因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1.所以f(x)=-x2+2,结合函数f(x)可知选C.(2)因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)f(-1).(3)由已知条件可知f(x)在0,+)内单调递减,f(3)f(2)f(1).再由偶函数性质得f(3)f(-2)f(1).答案:(1)C(2)A(3)f(3)f(-2)f(1),探究一,探究二,思想方法,利用函数的奇偶性求解析式例1
4、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1,求:(1)f(0);(2)当x0时,f(x)的解析式;(3)f(x)在R上的解析式.分析:(1)利用奇函数的定义求f(0);,探究一,探究二,思想方法,解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.(2)当x0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x0.(3)函数f(x)在R上的解析式为,反思感悟利用函数奇偶性求解析式的注意事项1.在哪个区间求解析式,就把“x”设在
5、哪个区间;2.利用已知区间的解析式进行代入;3.利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);4.定义域为R的奇函数满足f(0)=0.,探究一,探究二,思想方法,变式训练1本例中若把“奇函数”换成“偶函数”,求x0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.f(x)是偶函数,f(-x)=f(x).f(x)=-2x2-3x+1,x0.,探究一,探究二,思想方法,应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小例2设偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是()A.f()f(-3)f(-2)
6、B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3)解析:f(x)在R上是偶函数,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).而23,且f(x)在0,+)内为增函数,f(2)f(3)f().f(-2)f(-3)f().故选A.答案:A,探究一,探究二,思想方法,反思感悟利用函数性质比较大小的常用方法在应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.,探究一,探究二,思想方法,变式训练2若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(),f(-3)的
7、大小关系如何?解:因为当x0,+)时,f(x)是减函数,所以有f(2)f(3)f().又f(x)是R上的偶函数,故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f().,探究一,探究二,思想方法,化归思想在解抽象不等式中的应用典例 已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:f(x)为奇函数;f(x)在定义域上单调递减;f(1-a)+f(1-a2)0,求实数a的取值范围.思路点拨:要由不等式f(1-a)+f(1-a2)0求实数a的取值范围,应利用函数f(x)的奇偶性与单调性去掉“f”,建立关于a的不等式组求解.解:f(x)是奇函数,f(1-a2)=-f(a2
8、-1).f(1-a)+f(1-a2)0f(1-a)-f(1-a2)f(1-a)f(a2-1).f(x)在定义域(-1,1)内是单调递减的,a的取值范围为(0,1).,探究一,探究二,思想方法,方法点睛1.本题的解答充分体现了化归思想的作用,将抽象不等式借助函数的性质转化成为具体不等式,问题从而解决.2.当然本题中还要注意以下化归与计算等细节易错问题:(1)由函数f(x)为奇函数,将不等式f(1-a)+f(1-a2)0等价变形时出错;(2)利用函数f(x)单调递减去掉“f”,建立关于a的不等式组时,因忽略函数f(x)的定义域出错;(3)解错不等式(组)或表示a的取值范围出错.,探究一,探究二,思
9、想方法,变式训练设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-,0)内是减函数,实数a满足不等式f(3a2+a-3)3a2-2a,解得a1,即实数a的取值范围为(1,+).,1.设f(x)是定义在-6,6上的偶函数,且f(4)f(1),则下列各式一定成立的是()A.f(0)f(3)C.f(2)f(0)D.f(-1)f(1),f(4)f(-1).答案:D,2.已知x0时,f(x)=x-2 019,且知f(x)在定义域R上是奇函数,则当x0,所以f(-x)=-x-2 019.又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 019.故选A.答案:A,3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)= .解析:f(-2)=(-2)5+a(-2)3+b(-2)-8=10,25+a23+2b=-18.f(2)=25+a23+2b-8=-26.答案:-26,5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)2a-4.a6,即a的取值范围为(6,+).,
