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1、函数复习内容：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用一常见函数（基本初等函数）：1 23 45幂函数：（包括前四个函数）6指数函数：7对数函数：8三角函数：，由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如：，试着分析以上函数的构成。二定义域：1“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。2求定义域：例1求下列函数定义域：（1） （2）例2设，则的定义域为_变式练习：，求的定义域。三值域：1 2 3 ； 4 ； 5 已知直角三角形的三边之和为2，求此三角形面积的最大值。 6函数的定义域和值域都是(b1),求b的值。练习：已知
2、二次函数 满足且方程有等根。（1）求的解析式；（2）问是否存在实数使的定义域为，值域为。如存在，求出的值，若不存在说明理由。答案：(1)，（2）m=-2,n=07已知函数（b0）的值域为1，3，求实数b，c的值。8（07浙江理）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）CAB C D9已知 ，求函数的最值。小结：函数值域的计算能力要求高、考查频率高，应该分类归纳，各个击破。难度的的变化会随着参数的引入而改变如T6、T7。四单调性：1单调性的证明：（1）定义法：例 判断函数的单调性，并用定义证明。练习：已知函数，点在的反函数图像上。（1）求的反函数；（2）证明在定义域内是减函数。答案：（1）2单
3、调性的简单应用：例 （1）函数的单调增区间是_（2）已知在是减函数，则的取值范围是_练习：若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是_高考真题：已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）（A） （B） （C）（D）解：依题意，有0a1且3a10，解得0a，又当x7a1，当x1时，logax0，所以7a10解得x故选C例 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）DA B C D例 设函数，给出下述命题：有最小值；当时，的值域为；当时，在区间上有反函数；若在区间上单调递增，则实数的取值范围是则其中正确的命题是_（要求：把正确命题的序号都填上）例 函
4、数对任意的，都有，并且当时， 求证：在上是增函数； 若，解不等式 五函数的奇偶性：常用性质：1是既奇又偶函数； 2奇函数若在处有定义，则必有； 3偶函数满足； 4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；5除外的所有函数奇偶性满足：奇函数奇函数=奇函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数6任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。例 设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数【解析】A中则，即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性
5、不确定，C中，即函数为奇函数，D中，即函数为偶函数，故选择答案D。例 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则 当时， .解：当x(0,+) 时，有-x(-,0)，注意到函数f(x) 是定义在 (-,+)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 从而应填-x-x4例 已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析：（）因为是奇函数，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （）解法一：由（）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式练习：已知函数，若为奇函数
6、，则_。解析：函数若为奇函数，则，即，a=.例 已知在（1，1）上有定义，且满足证明：在（1，1）上为奇函数；例 若奇函数满足，则_六函数的周期性：（一）要点：1（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是的周期（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期2若定义在R上的函数的图象关于直线和对称，则是周期函数，是它的一个周期（推论）若定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期3 若定义在R上的函数的图象关于点和点对称，则是周期函数，是它的一个周期（推论）若定义在R上的奇函数的图象关于点 对称，则是周期函数，是它的一个周期4若定义在R上的函数的图象关于直线和点对称，
7、则是周期函数，是它的一个周期（推论）若定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期5若；则是周期函数，2是它的一个周期（二）例题讲解：例1 函数对于任意实数满足条件，若则_。解：由得，所以，则。例2 是定义在R上的偶函数，图象关于对称，对任意，有，且求；证明：是周期函数；例3 是定义在R上的奇函数，且对一切，恒有求证：是周期函数；若，求的值。例4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）0，又f（x4）f（x2）f（x），故函数，f（x）的周期为
8、4，所以f（6）f（2）f（0）0，选B 例5 若存在常数，使得函数满足()，则的一个正周期为_例6 已知定义在R上，最小正周期为5的函数满足，且，则在区间内，方程的解的个数至少为_个例7 定义在R上的偶函数，满足，在区间-2,0上单调递减，设，则的大小顺序为_例8 定义在R上的函数满足，则当的最小值是_例9 已知函数是一个以4为最小正周期的奇函数，则（ ）A0B4C4D不能确定例10 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且则f (2005)= .例 已知是(-)上的奇函数，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=_例11 设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时求证：是周期函数；
9、当时，求的解析式；计算：例12 设是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函数，则时，_例13 定义在R上的函数为周期函数，最小正周期为T，若函数，时有反函数，则函数，的反函数为（ ）ABCD例14已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）（B）（C）（D）解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，0，选D.七反函数：例 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则A B C D解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即=， ，选D.例 设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过（A） （B） （C） （D）解：当x时，2x10，即yf（x）的图象过点（0，1），所以的图像
10、必过（1，0）故选C。例 函数 的反函数是AB CD解：有关分段函数的反函数的求法，选C。也可用特殊点排除法，原函数上有（1，2）和（-1，-1）两点，反函数上有（2，1）和（-1，-1），检验知C。例 函数y=1+ax(0a1)的反函数的图象大致是 （A） （B） （C） （D）解：函数y=1+ax(0a0且a1)有解，则m的取值范围是_例4 设二次函数，方程的两根，满足，（1）当时，求证：；（2）设函数的图象关于直线对称，证明：。分析：作差，韦达定理例6 设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像
11、的上方.解：（1） （2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此. 由于. （3）解法一 当时，. ， . 又， 当，即时，取， . ， 则. 当，即时，取， . 由 、可知，当时，. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 解法二 当时，.由 得， 令 ，解得 或， 在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 例7 设f(x)=3ax,f(0)0，f(1)0，求证：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）内
12、有两个实根. 解析：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分14分。证明：（I）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.（II）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.例8 若，恒成立，求的取值范围。练习：方程有两个不等实数解，求实数的取值范围。例9 （04上海理）已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 证明:当a3时,关于x的方程f(x)
13、= f(a) 有三个实数解.【解】(1)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, f1(x)= x2. 设f2(x)=(k0),它的图象与直线y=x的交点分别为 A(,)B(,) 由=8,得k=8,. f2(x)=.故f(x)=x2+. (2) 【证法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即=x2+a2+. 在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)= x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)的图象是以(0, a2+)为顶点,开口向下的抛物线. 因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即
14、f(x)=f(a)有一个负数解. 又f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+ 当a3时,. f3(2)f2(2)= a2+80, 当a3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2)在f2(x)图象的上方. f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解. 【证法二】由f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即(xa)(x+a)=0,得方程的一个解x1=a. 方程x+a=0化为ax2+a2x8=0, 由a3,=a4+32a0,得 x2=, x3=, x20, x1 x2,且x2 x3. 若x1= x3,
15、即a=,则3a2=, a4=4a, 得a=0或a=,这与a3矛盾, x1 x3. 故原方程有三个实数解.例10 设二次函数满足条件：时，且；当时，；在R上的最小值是0。求的解析式答案：例11 已知，函数。（1）当b0时，若对任意都有，证明：；（2）当b1时，证明：对任意的，的充要条件是；（3）当时，讨论：对任意的，的充要条件。2函数方程例 已知定义域为R的函数满足 （I）若，求;又若，求; （II）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式 例 对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
16、A和B，即，.(1). 求证：AB；(2).若，且，求实数a的取值范围.证明(1).若A=，则AB 显然成立；若A，设tA，则f(t)=t,f(f(t)=f(t)=t,即tB,从而 AB. 解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即的实根. 由 A，知 a=0 或 即 B中元素是方程 即 的实根由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为 因此，要A=B，即要方程 要么没有实根，要么实根是方程 的根.若没有实根，则，由此解得 若有实根且的实根是的实根，则由有 ，代入有 2ax+1=0.由此解得 ,再代入得 由此解得 .故 a的取值范围是 例 定义在集合A上的函数f(x)满足：对任意的x1, x2A都有,则我们称函数是A上的凹函数.（1）试判断=3x2+x是否是R上的凹函数？（2）若函数=ax2+x是R上的凹函数，求实数a的取值范围.解：（1）2分 f(x)=3x2+x是R上的凹函数6分. （2）（文科）f(x)=ax2+x是R上的凹函数，.即恒成立8分.恒成立. a0.12分.
