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1、第 三 章 刚体力学基础,什么因素影响物体转动的状态？,与物体本身结构有关,与物体所处状态有关,3.1 刚体运动的描述,3.1.1 刚体(rigid body),特点： 任意两点间的距离始终保持不变.,组成刚体的每个质点称为刚体的一个质量元. (element mass).每个质量元都服从质点力学规律.,刚体在外力作用下不产生形变的物体.,可视为无数个连续分布的质点组成的质点系.,理想模型,3.1.2.刚体自由度,确定物体的位置所需要的独立坐标数., 物体的自由度数,第3章 刚体力学基础,当刚体受到某些限制 自由度减少,3.1.2.刚体自由度,确定物体的位置所需要的独立坐标数., 物体的自由度
2、数,3.1.3 刚体运动的几种形式,转动(特例:定轴转动)平动 平动转动,刚体的运动,1. 平动(translation) 刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行.,2.定轴转动( fixed-axis rotation) 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动.这种运动称为刚体的转动.这条直线称为转轴.自由度为1,定轴转动：转轴固定不动的转动.,3.1.3 刚体运动的几种形式,转动(特例:定轴转动)平动 平动转动,刚体的运动,3.平面平行运动(plane-parallel motion) 刚体在运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动.自由度为3.,4.定点转动(ro
3、tation around a fixed point) 当刚体上某一点固定时，刚体只能绕该点转动.自由度为3.,5.一般运动刚体的一般运动可以看成是随刚体上某一点（如质心）的移动和绕该点的转动的组合自由度为6.,3.平面平行运动(plane-parallel motion) 刚体在运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动.自由度为3.,用角量描述定轴转动,转动平面：定轴转动刚体上各质点的运动面.,3.1.4 刚体定轴转动的描述,刚体定轴转动的特点：,(1) 转动平面垂直于转轴.,1. 基本物理量,角速度的大小：,单位：弧度/秒（rad/s）,转动平面：定轴转动刚体上各质点的运
4、动面,(2) 转动平面上各点均做圆周运动，角量相同，线量不同.,线速度与角速度之间的关系：,角加速度矢量：,1. 基本物理量,角速度的大小：,单位：弧度/秒（rad/s）,加速度：,2. 定轴转动中的基本关系式,注意：、是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不变，故用正、负表示其方向.,单位：Nm,在垂直于转轴的平面内，外力 与力线到转轴的距离d 的乘积定义为对转轴的力矩.,大小:,方向:,右手螺旋,3.2 刚体定轴转动定律 角动量守恒定律,3.2.1 力矩(moment),力矩的方向由右螺旋法则确定,3.2.2 定轴转动定律 转动惯量,1. 定轴转动定律 转动惯量,3.2.2 定轴转动定律 转动惯
5、量,把刚体看作一个特殊质点系,1. 定轴转动定律 转动惯量,定轴转动,对于参考点O（定点）质元mi 的角动量为,Li 在 z 轴上的分量为,对刚体,令,转动惯量,故,Li 在 z 轴上的分量为,转动惯量,令,刚体定轴转动的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.,刚体定轴转动定律(law of rotation)：,M 的符号：使刚体向规定的 正方向转动的力矩为正,(3) 为瞬时关系,(1) 与 方向相同,说明,(4) 转动中 与 平动中 地位相同,转动惯量(moment of inertia),刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和.,(2
6、) 物理意义 描述物体转动惯性的大小.,(3) 计算,质量有关,质量分布有关,转轴位置有关,(4)转动惯量与,讨论,（1）,（2）,（3） =常量,刚体定轴转动定律：,2.转动惯量的计算,（2）若质量连续分布,质量有关,质量分布有关,转轴位置有关,(4)转动惯量与,转动惯量,（1）质点系,例3-1.由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量.,解：由定义式,思考：A点移至质量为2m的杆中心处 J=?,(2) 轴过一端端点,例3-2. 一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量.,解：(1) 轴过中点,在杆上任取dm,
7、例3-3. 求质量 m ,半径 R 的圆环对中心垂直轴的转动惯量.,解: 圆环上取 微元dm,思考1. 环上加一质量为m1 的质点, J1 =?,思考2. 环上有一个x的缺口， J2=?,例3-4. 求质量 m , 半径 R 的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量.,解: 圆盘上取半径为r宽度dr的圆环作为质量元dm,注意: 对同轴的转动惯量才 具有可加减性.,平行轴定理: 若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d 的平行轴z的转动惯量Jz是,正交轴定理,对平面刚体,例3-4. 求质量 m , 半径 R 的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量.,解: 圆盘上取半径为r宽度dr的圆环作为质
8、量元dm,几种常见刚体转动惯量,几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实验测定.,例3-5. 质量为M =16kg的实心滑轮，半径为R =0.15m.一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m=8kg的物体.设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，求： (1) 由静止开始1秒钟后，物体下降的距离. (2) 绳子的张力.,解：对轮、物受力分析如图,M,由转动定律,由牛顿定律,3. 刚体定轴转动定律的应用,拓展：,例3-6. 一质量为m，长为l 的均质细杆，可绕垂直于水平面、穿过O点的转轴转动，转轴距A 端l/3.今使棒从静止开始由水平位置绕 O点转动，求：(1) 水平位置的角速度和角加速度.(2) 垂直位置时的
9、角速度和角加速度.,(1),解：已知,由平行轴定理,由转动定律,(2),垂直时，力矩为零.故,设棒在任意时刻位置如图,由转动定律,例3-7. 一半径为R、质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上.若它的初速度为0，绕中心O旋转，问经过多长时间圆盘才停止.(设摩擦系数为),解：考察半径为r宽度为dr的圆环,摩擦力矩为:,由转动定律,刚体对z轴的总角动量为,-角动量定理的微分形式.,称为冲量矩又称角冲量,刚体的角动量定理：刚体在t1t2时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量.,3.2.3 刚体定轴转动的角动量和角动量定理,3.2.4 定轴转动刚体角动量守恒定律,角动量守恒定律：刚体
10、所受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变.,3.2.4 定轴转动刚体角动量守恒定律,角动量守恒定律：刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变.,对有几个物体或质点构成的系统，若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零，则整个物体系对该转轴的总角动量守恒.,下面看几个角动量守恒实例,猫尾巴的功能,猫掉下，四脚朝天，脊背朝地会摔死.,注意：猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击.,中国跳水运动员郭晶晶,例3-8. 一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动, 质量为m 的人站在转台边缘，最初人和转台都静止.若人沿转台边缘跑一周(不计阻力
11、)，相对于地面，人和台各转了多少角度？,轴对转盘的摩擦力矩可忽略,解：选地面为参考系，设对转轴,人：J , ; 台：J , ,系统对转轴角动量守恒,其中,得,人对转台的角速度为：,人沿转台边缘跑一周,人相对地面转过的角度:,台相对地面转过的角度:,1. 刚体定轴转动的动能,(1) 质元动能：,(2) 刚体的总动能：,3-3 刚体的能量,m 是物体平动惯性的量度J 是物体转动惯性的量度,转动动能是刚体上所有质点元的动能之和.,3.3.1 刚体定轴转动的动能和动能定理,2.刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于它对该轴的转动动能的增量.,3.3.2 刚体的重力势能,刚
12、体的重力势能,所有质元的重力势能之和,结论：刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势能,2. 刚体的机械能,2.刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于它对该轴的转动动能的增量.,例3-9. 一质量为M、半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为m的物体.设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体由静止下落高度h时其速度为多大？,解：受力分析如图所示,解得,对圆盘：由动能定理,对物体：由动能定理,例3-10. 如图，已知滑轮的质量为m0, 半径为R.斜面的倾角为,斜面上物体的质量为m, 物体与斜面间光滑；弹簧的劲度系数为k.现将物体从静止释放，释放时弹簧无形变.设细
13、绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩，求物体沿斜面下滑 x 时的速度.,解：选取 m、m0、k 和地球为系统,设 m 未释放时为初态，此时重力势能为零.,重力和弹性力均为系统保守内力，其它外力和非保守内力均不做功，系统机械能守恒.,设滑轮的重力势能为,初态能量：,终态能量：,根据机械能守恒定律：,式(1)=(2),又已知,解得,例3-11. 质量为M、长为2l的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动.开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上.设碰撞为弹性碰撞，求碰后小球的回跳速度以及棒的角速度.,解：由系统角动量守恒,机械能守恒定律,解得,解法二,取向上为y正方
14、向,设碰撞时间为t,由动量定理：,角动量原理：,消去t,由机械能守恒定律,解得,解：角动量守恒,机械能守恒,例3-12. 一长为l、质量为M的杆可绕支点O自由转动.一质量为m、速度为v 的子弹射入距支点为a的棒内.若棒偏转角为 30o , 问子弹的初速度是多少？,O,v,l a,o,30,解得,请点击观看轮子的运动,3-4 陀螺的运动 进动,进动(precession)：高速自转的物体其自身对称轴绕竖直轴做回旋运动.,陀螺(top)运动,设陀螺质量为m，以角速度自转,重力对固定点O的力矩：,方向沿c点切向,绕自身轴转动的角动量：,角动量定理的微分式：,陀螺(top)运动分析：,进动角速度,结论：进动现象是自旋(spin)的物体在外力距作用下，沿外力矩方向不断改变其自旋角动量方向的结果.,
