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1、第六章曲线拟合的最小二乘法,6.1 引言6.2 线性代数方程组的最小二乘解6.3 曲线最小二乘拟合,如果实际问题要求解在a,b区间的每一点都“很好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，势必使插值结果更加不准确。 如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值多项式的次数过高而效果不理想。,1 引言,从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本
2、章介绍用最小二乘法求拟合曲线。,曲线拟合问题的关键：,选择合适的曲线类型：根据问题的物理规律或数据特点，选择合适函数空间，则拟合曲线可以表示为,在曲线类型中选择“最好”曲线：即确定拟合曲线的系数。其误差的度量形式很多，选用使最小做为确定参数的方法称为最小二乘法。,2 线性代数方程组的最小二乘解,设线性方程组,或写为,其矩阵形式为,当方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩不相等时，方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于rankAn（A的秩为n）的矛盾方程组（Nn），我们寻求其最小二乘意义下的解。,1.最小二乘原则,由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。,令,称
3、 为偏差。,达到最小值，这一条件称为最小二乘原则。,工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组，实际中需要寻求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的绝对值之和 尽可能地小。为了便于分析计算和应用，常采用使偏差的平方和,按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,xn的一组取值的方法称为求解矛盾方程组的最小二乘法。符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。,把Q看成是n个自变量x1,x2,xn的二次函数，记为Qf(x1,x2,xn)，因此，求矛盾方程组的最小二乘解就是求二次函数Qf(x1,x2,xn)的最小值点。,问题：二次函数Qf(x1,x2,xn)是否存在最小值？若最小值存在，如何求出该最小值点？
4、,2.最小二乘解的存在唯一性,引理1：设n元实函数f(x1,x2,xn)在点P0(a1,a2,an)的某个邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数，如果,(1),(2)矩阵,是正（负）定矩阵，则f(a1,a2,an)是n元实函数f(x1,x2,xn)的极小（大）值。,引理2：设非齐次线性方程组 的系数矩阵A=(aij)Nn，若rankA=n，则,(1)矩阵ATA是对称正定矩阵；,(2)n阶线性方程组 有唯一的解。,证明：（1）矩阵ATA显然是对称矩阵。,设齐次线性方程组,因为rankA=n，故齐次方程组有唯一零解。因此，对于任意的 ，有 ，从而,故矩阵ATA是对称正定矩阵。,(2)因为矩阵ATA
5、是正定矩阵，故rank(ATA)=n，从而线性方程组 有唯一的解。,证毕,定理：设矛盾方程组的系数矩阵的秩为n，则二次函数,一定存在最小值，且最小值点为方程组的解。,引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组Ax=b是否有解,构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有唯一解。,Remark1：线性方程组 称为正则方程组。,3.最小二乘法解矛盾方程组,计算步骤：,（1）判断方程组的秩是否满足rankA=n？,（2）写出正则方程组；,（3）求解正则方程组，其解就是矛盾方程组的最小二乘解。,设曲线拟合模型为,3 曲线最小二乘拟合,如果试图插值，即则得到关于未知数 的线性方程组,明显该方程组无解，
6、是矛盾方程组，可以寻求其在最小二乘意义下的解。对应的正规方程组为,Remark,1.同一问题可以有不同的拟合曲线，通常根据均方误差 和最大偏差 的大小来衡量拟合曲线的优劣。均方误差和最大偏差较小的拟合曲线为较优的拟合曲线。,2.在解决实际问题时，有时通过观察选择多个函数类型进行计算、分析、比较，最终获得较好的数学模型；有时把经验公式作为数学模型，只是用最小二乘法来确定公式中的待定常数。,Remark,3.当拟合曲线(x)中的待定常数是线性形式时，可直接根据矛盾方程组得到正则方程组而求解。当待定常数不是线性形式时，则应该先将待定常数线性化，再根据矛盾方程组写出正则方程组而求解。,例1：,例2：,则矛盾方程组为：,得正则方程组为：,解得：,则：,则拟合方程为：,例2：为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：,解,如图，在坐标纸上画出这些点，经观察可以认为,y=f (t)服从线性关系。,建立法方程组,计算系数,代入方程组得,解此方程组，得到,这样便得到所求拟合曲线为,由上式算出的函数值 与实测 的有一定的偏差.现列表比较如下：,
