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1、每当人们去求解任何一道数学问题，或力图攀登一个数学高峰，都被誉为摘取科学皇冠上的明珠!,徐安福,2绝对值不等式的解法,1.含绝对值的不等式|x|a的解集.,x|-axa,x|xa或x-a,xR|x0,R,2.|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法.(1)|ax+b|c_.(2)|ax+b|c_.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,1.不等式|x1|2的解集是_.【解析】由|x1|2得2x12，解得1x3.答案：(1,3),2.不等式|43x|2的解集是_.【解析】|43x|2|3x4|23x42或3x42，解得 或x2.答案：,解含绝对值不等式的核心任务解含绝对值
2、不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.,类型 一简单绝对值不等式的解法 1.不等式 的解集是_.2不等式 的解集为_.,【解析】1. 解得2x6.,答案： 2,6,【拓展提升】绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|a(aR)型不等式.此类不等式的简单解法是等价转化法，即当a0时，|f(x)|af(x)a或f(x)af(x)0.,当aaf(x)有意义即可.,(2)形如|f(x)|g(x)|型不等式.此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2f(x)+g(
3、x)f(x)-g(x)0.,(3)形如|f(x)|g(x)型不等式.此类不等式的简单解法是等价转化法，即|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x)(其中g(x)可正也可负).若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.,(4)形如aa0)型不等式.此类问题的简单解法是利用等价转化法，即af(x)型不等式.此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)f(x)0.,类型 二含多个绝对值不等式的解法 【典型例题】1.不等式|x1|x2|的解集为_.2.不等式|x+1|+|x-1|3的解集为_.【解题探究】1.题1中如何去掉绝对值号？2.解决题2的关键是什么？,【变式练习
4、】若将题1中的不等式改为求它的解集.,探究提示：1.题1中可采用不等式两边同时平方的方式去掉绝对值符号.2.解决题2的关键是理解绝对值的几何意义.【解析】1.|x1|x2|(x1)2(x2)2所以原不等式的解集为答案：,2.方法一：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点间的距离为2,因此区间-1,1上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x.所以-1-x+1-x=3,得同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x,所以x-1+x-(-1)=3.所以,从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之
5、和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是,方法二：当x-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)3,解得当-1x1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)3,即23.不成立,无解.当x1时,原不等式可以化为x+1+x-13.所以综上,可知原不等式的解集为,方法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-30.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即作出函数的图象(如图).函数的零点是,从图象可知当 或 时,y0.即|x+1|+|x-1|-30.所以原不等式的解集为答案：,3.|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的
6、解法.(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的_性，进而去掉绝对值符号.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.正确求出函数的_并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键.,正、负,零点,【互动探究】若将题1中的不等式改为求它的解集.【解析】 又2x0，所以x2.所以原不等式的解集为【误区警示】本题易忽视隐含条件2-x0而致误.,【拓展提升】|x-a|+|x-b|c,|x-a
7、|+|x-b|c(c0)型不等式的解法(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式有三种解法：分区间(分类)讨论法,图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.,(2)分区间(分类)讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,即 也即xR.x为非负数时,x为x;x为负数时,x为-x,即x的相反数.,(3)x-a+x-bc,x-a+x-bc(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)=x-a+x-b-c的图象是密切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式.不妨设ab,于是这种图象法的关键
8、是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.,其他类型的绝对值不等式【典型例题】1.不等式2x-33x+1的解集是_.2.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,如果对任意xR,f(x)2,则a的取值范围是_.3.解不等式：|x23|2x.,【解析】1.|2x-3|0,原不等式转化为-(3x+1)2x-33x+1.以上不等式等价于所以原不等式的解集为答案：,2.若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.若a1,则 f(x)的最小值为a-1.综上可知，所求a的取值范围是(-,-13,+).答案：(-,-13,+),3. 因为|x23|2x，
9、所以x0，所以|x23|2x2xx232x解不等式组得,【拓展提升】含参数的不等式问题分类及解题策略(1)一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论，而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集.(2)解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有以下几种：形如f(x)g(x)或f(x)g(x)的求解方法：()根据实数的绝对值的意义分类讨论，,即()根据公式：|x|0);f(x)axa或xg(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x).()根据|a|2=a2(aR)，若不等式两边非负,可在不等式两边同时平方,如f
10、(x)g(x)f2(x)g2(x).,【规范解答】含参数的绝对值不等式的解法【规范解答】因为aR,故分以下两种情况讨论：(1)当a+10,即a-1时，,原不等式无解，即不等式的解集为.4分,(2)当a+10,即a-1时，6分原不等式可变为-a-1-1时，原不等式的解集为 当a-1时，原不等式的解集为. 12分,【防范措施】含参数的绝对值不等式解含参数的绝对值不等式的题型，容易忽略对参数的符号进行讨论，如本例需对a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结果.,1.解关于x的不等式：|x2-a|0时，原不等式等价于-a0时，原不等式的解集为,2.若不等式|ax+2|6的解集为(1,2)，则实数a=_.,【类题试解】,2.若不等式|ax+2|6的解集为(1,2)，则实数a=_.【解析】由|ax+2|6得8ax4,当a0时， 因为不等式的解集为(1,2)，所以 解得 两值相矛盾.当a0时， 则 解得a=4.综上得，a=4.答案：4,
