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1、、绝对值,、绝对值不等式的,绝对值不等式,三角,不等式,解法,1,2,1,、绝对值,三角,不等式,在数轴上，,a,的,几何意义,表示点,A,到原点的距离,a,?,b,的,几何意义,表示数轴上,A,B,两点之间的距离,a,?,b,的,几何意义,表示数轴上,A,-B,两点之间的距离,a,0,A,a,x,a,?,b,-B,-b,A,a,a,?,b,O,b,B,x,探,究,设,a,b,为实数，,你能比较,a,?,b,与,a,?,b,之,间的大小关系吗？,ab0,时，,a,?,b,?,a,?,b,ab0,时，,a,?,b,?,a,?,b,ab=0,时，,a,?,b,?,a,?,b,a,?,b,?,a,?
2、,b,当,当,当,定理,1,如果,a,b,是实数，则,a,?,b,?,a,?,b,当且仅当,ab,?,0,时，等号成立。,把实数,a,，,b,换成相量,a,，,b,，你能得出什么结果？,你能解释它的,几何意义,吗？,当向量,a,?,b,?,不共线时，,a,?,?,b,?,?,a,?,?,b,?,当向量,a,?,b,?,共线时，,同向：,a,?,?,b,?,?,a,?,?,b,?,反向：,a,?,?,b,?,?,a,?,?,b,?,y,a,?,?,b,?,?,b,?,O,a,x,a,?,?,b,?,?,a,?,?,b,?,定理,1,如果,a,b,是实数，则,a,?,b,?,a,?,b,定理,1,
3、的完善,a,?,b,a,?,b,绝对值三角不等,式,?,a,?,b,?,a,?,b,a,?,b,?,a,?,b,?,定理,1,的推广,如果,a,b,，,c,是实数，则,(,1,).,(,2,).,a,?,b,?,c,?,a,?,b,?,c,a,?,c,?,a,?,b,?,b,?,c,定理,2,1,、求证：（,1,）,a,?,b,?,a,?,b,?,2,a,（,2,）,a,?,b,?,a,?,b,?,2,b,2,、求证：（,1,）,x,?,a,?,x,?,b,?,a,?,b,（,2,）,x,?,a,?,x,?,b,?,a,?,b,1.,求,x,?,3,?,x,?,9,的最大值,2.,求,x,?,
4、3,?,x,?,9,的最小值,3.,若变为,|x+1|+|x-2|k,恒成立，则,k,的取值范围是,4.,若变为不等式,|x-1|+|x-3|k,的解集为空集，则,k,的,取值范围是,3,、已知,?,?,0,x,?,a,?,?,y,?,b,?,?,求证,2,x,?,3,y,?,2,a,?,3,b,5,?,?,绝对值不等式的解法（一）,2017,年,12,月,18,日星期一,一、复习回顾,a,a0,1.,绝对值的定义：,|a|=,0,a=0,a,a0,2.,绝对值的几何意义：,实数,a,绝对值,|a|,表示,|a|,数轴上坐标为,A,的点,A,到原点的距离,.,0,a,|a,b|,A,a,B,b
5、,实数,a,b,之差的绝对值,|a-b|,表示它们在数轴上,对应的,A,B,之间的距离,.,3.,绝对值的运算性质：,a,?,a,2,a,|,a,|,ab,?,a,b,，,|,|,?,b,|,b,|,提出问题,:,你能看出下面两个不等式的解集吗,?,x,?,1,x,?,1,主要方法有,:,法一,:,利用绝对值的几何意义观察；,法二,:,利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论,;,法三,:,两边同时平方去掉绝对值符号,;,法四,:,利用函数图象观察,.,这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路,.,探索：不等式,|,x,|1,的解集,.,方法一：,利用绝对值的几何意义观察,不等式,|,x,
6、|1,的解集表示到原点的距离小于,1,的点的集合,.,-1,0,1,不等式,|,x,|1,的解集为,x,|-1,x,1,方法二,:,利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论,当,x,0时，原不等式可化为,x,1,0,x,1,当,x,0,时，原不等式可化为,x,1,，即,x,1,1,x,0,综合得，原不等式的解集为,x,|,1,x,1,探索：不等式,|,x,|1,的解集,.,方法三：,两边同时平方去掉绝对值符号,.,对原不等式两边平方得,x,2,1,即,(x+1)(x-1)0,1,x,1,不等式,|,x,|1,的解集为,x,|-1,x,1.,利用函数图象观察,从函数观点看,不等式,|,x,|
7、1,的解集,是函,数,y=|x|,的图象位于函数,y=1,的图象下方的部,分对应的,x,的取值范围,.,y,不等式,|x|1,的解集为,1,y,=1,x|-1x1,1,o,1,x,方法四：,一般结论,:,形如,|x|a,和,|x|a(a0),的不等式的解集,:,不等式,|x|a,的解集为,x|-axa,-,a,0,a,不等式,|x|a,的解集为,x|x-a,或,xa,-,a,0,a,想一想,:,如果,a,0,以上不等式的解集是什么？,例,1.,解不等式,|,3,?,2,x,|,?,7.,解,:,原不等式,?,2,x,?,3,?,7,?,2,x,?,3,?,?,7,或,2,x,?,3,?,?,x
8、,?,?,2,或,x,?,5,?,原不等式的解集为,x,|,x,?,?,2,或,x,?,5.,变,式,练,习,:,解不等式,|,3,x,?,2|,?,1,答案,:,(,?,0),?,(1,?,),7,例,2.,解不等式,|,x,?,5,x,|,?,6,2,?,?,x,?,5,x,?,?,6,2,解,:,原不等式,?,?,6,?,x,?,5,x,?,6,?,?,2,?,?,x,?,5,x,?,6,?,?,x,?,2,或,x,?,3,?,x,?,5,x,?,6,?,0,?,?,2,?,?,?,?,?,1,?,x,?,6,?,x,?,5,x,?,6,?,0,2,2,?,?,1,?,x,?,2,或,3
9、,?,x,?,6,?,原不等式的解集为,(,?,1,2),?,(3,6).,变,式,练习,:,解不等式,1,?,|,3,x,?,4|,?,6,10,5,2,答案,:,?,?,),?,(,?,1,3,3,3,解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含,绝对值符号的不等式,(,组,),常见的类型有：,(1),f,?,x,?,?,a,(,a,?,0),?,f,?,x,?,?,a,或,f,?,x,?,?,?,a,(2),f,?,x,?,?,a,(,a,?,0),?,?,a,?,f,?,x,?,?,a,(3),f,?,x,?,?,g,(,x,),?,f,?,x,?,?,g,(,x,),或,f,?,x,?,?
10、,?,g,(,x,),(4),f,?,x,?,?,g,(,x,),?,?,g,(,x,),?,f,?,x,?,?,g,(,x,),?,?,?,(5),f,?,x,?,?,g,?,x,?,?,?,f,x,?,g,x,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,例,3.,解不等式,|,x,?,3,x,?,4|,?,x,?,1.,?,?,?,x,?,3,x,?,4,?,0,?,x,?,3,x,?,4,?,0,解,1:,原不等式,?,?,2,或,?,2,?,?,x,?,3,x,?,4,?,x,?,1,?,?,?,(,x,?,3,x,?,4),?,x,?,1,?,x,?,4,或,x,?,?,1,?,?,1,
11、?,x,?,4,?,?,或,?,?,1,?,x,?,3,x,?,5,或,x,?,?,1,?,?,2,2,2,?,x,?,?,1,或,x,?,5,，或,?,1,?,x,?,3,?,原不等式的解集为,x,|,x,?,?,1,或,?,1,?,x,?,3,或,x,?,5.,例,3.,解不等式,|,x,?,3,x,?,4|,?,x,?,1.,解,2:,原不等式,?,x,?,3,x,?,4,?,?,(,x,?,1),或,x,?,3,x,?,4,?,x,?,1,2,2,2,?,x,?,2,x,?,3,?,0,或,x,?,4,x,?,5,?,0,?,(,x,?,1)(,x,?,3),?,0,或,(,x,?,1
12、)(,x,?,5),?,0,2,2,?,?,1,?,x,?,3,或,x,?,?,1,或,x,?,5,?,原不等式的解集为,x,|,x,?,?,1,或,?,1,?,x,?,3,或,x,?,5.,解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含,绝对值符号的不等式,(,组,),常见的类型有：,(1),f,?,x,?,?,a,(,a,?,0),?,f,?,x,?,?,a,或,f,?,x,?,?,?,a,(2),f,?,x,?,?,a,(,a,?,0),?,?,a,?,f,?,x,?,?,a,(3),f,?,x,?,?,g,(,x,),?,f,?,x,?,?,g,(,x,),或,f,?,x,?,?,?,g,(,
13、x,),(4),f,?,x,?,?,g,(,x,),?,?,g,(,x,),?,f,?,x,?,?,g,(,x,),?,?,?,(5),f,?,x,?,?,g,?,x,?,?,?,f,x,?,g,x,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,绝对值不等式的解法（二）,2017,年,12,月,18,日星期一,例,1.,解不等式,|x-,1|+|x+2|5,方法一,:,利用绝对值的几何意义,解,:,如图,数轴上,-2,1,对应的点分别为,A,B,，,-3,2,对应的点分别为,A,1,B,1,，,A,1,A,B,B,1,-3,-2,-1,0,1,2,这种方法体现了,数形结合的思想,|A,1,A|+|A
14、,1,B|=5,|B,1,A|+|B,1,B|=5,数轴上,点,A,1,和,B,1,之间的任何一点,到点,A,B,的距离之和都小于,5,而,A,1,的左边或,B,1,的右边的任何一点,到点,A,B,的距离之和都大于,5,原不等式的解集为x|x,-3,或,x2.,例,1.,解不等式,|x-,1|+|x+2|5,方法二,:,利用,|x-1|=0,|x+2|=0,的零点,分段讨论去绝对值,解,:,(1),当,x,?,?,2,时,这种解法体现了分类讨论的思想,x,?,?,2,?,?,x,?,?,2,?,?,?,x,?,?,3.,原不等式,?,?,(1,?,x,),?,(,x,?,2),?,5,?,x,
15、?,?,3,?,(2),当,?,2,?,x,?,1,时,(3),当,x,?,1,时,?,x,?,1,?,x,?,1,原不等式,?,?,?,?,?,x,?,2,?,(,x,?,1),?,(,x,?,2),?,5,?,x,?,2,原不等式的解集为x|x,-3,或,x2.,?,?,2,?,x,?,1,?,?,2,?,x,?,1,?,?,?,x,?,.,原不等式,?,?,3,?,5,(1,?,x,),?,(,x,?,2),?,5,?,?,例,1.,解不等式,|x-,1|+|x+2|5,方法三：,通过构造函数，利用函数的图象求解,解,:,原不等式化为,|,x,?,1|,?,|,x,?,2,|,?,5,?
16、,0,构造函数,y,?,|,x,?,1|,?,|,x,?,2,|,化简得,?,(1,?,x,),?,(,x,?,2),，,x,?,?,2,?,y,?,?,(1,?,x,),?,(,x,?,2),，,?,2,?,x,?,1,?,(,x,?,1),?,(,x,?,2),，,x,?,1,?,?,?,2,x,?,6,x,?,?,2,?,即,y,?,?,?,2,，,?,2,?,x,?,1,?,2,x,?,4,，,x,?,1,?,例,1.,解不等式,|x-,1|+|x+2|5,?,?,2,x,?,6,x,?,?,2,?,y,?,?,?,2,，,?,2,?,x,?,1,?,2,x,?,4,，,x,?,1,?
17、,y,-2,-3,1,-2,2,x,如图,作出函数的图象,函数的零点是,-3,2.,由图象可知,当,x,?,?,3,或,x,?,2,时,y,?,0,原不等式的解集为x|x,-3,或,x2.,这种方法体现了函数与方程的思想,例,1.,解不等式,|x-,1|+|x+2|5,思考一：,由以上解法可知，,|x-1|+|x+2|,有最,小,x,?,?,?,2,，,1,?,值,3,此时，,x,的取值范围是,思考二：,若变为,|x-1|+|x+2|,k,恒成立，则,k,的,取值范围是,k,?,3,思考三：,若变为存在,x,，使,|x-1|+|x+2|k,成立，,则,k,的取值范围是,k,?,3,思考四：,若
18、变为不等式,|x-1|+|x+2|k,的解集,为,?,，则,k,的取值范围是,k,?,3,练习,：解不等式,x,+1,x,21,?,x,|,x,?,1,?,作出,f,(,x,),?,x,+,1,x,2,的图像，,并思考,f,(,x,),的最大和最小值,x,+,1,x,2,?,k,恒成立，,k,的取值范围是,x,+,1,x,2,?,k,恒成立，,k,的取值范围是,例,2.,已知函数,.,（,I,）画出,（,II,）求不等式,?,?,x,?,4,，,x,?,1,?,3,?,f,?,x,?,?,?,3,x,?,2,，,?,1,?,x,?,2,?,3,?,4,?,x,，,x,?,?,2,的图像；,的解
19、集。,1,?,?,?,?,，,?,?,?,1,，,3,?,?,?,5,，,?,?,?,3,?,?,课堂练习,1.,对任意实数,x,，若不等式,|x+1|-|x-2|k,恒成立，则,k,的取值范围是,（,B,）,(A)k3(B)k-,3(C)k3(D)k,-3,2.,若不等式,|x-1|+|x-3|,a,的解集为空集,则,a,的,(,?,2,取值范围是,-,3.,解不等式,1|2,x,+1|3.,答案,:,(-2,-,1)(0,1),4.,解不等式,|x+3|+|x-3|8.,答案,:,x|x-4,或,x4.,5.,解不等式：,|x-1|x-3|.,答案,:,x|x2.,6.,解不等式,|5,x-,6|6-x.,答案,:,(0,2),课堂小结,:,1.,解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号,转化为一般不等式来处理。,2.,主要方法有：,同解变形法,:,运用解法公式直接转化；,分类讨论去绝对值符号；,数形结合,(,运用绝对值的几何意义,);,利用函数图象来分析,.,
