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1、4.1.1数系的扩充与复数的引入,4.1 数系的扩充和复数的概念,2、数的发展过程,自然数,分数,有理数,无理数,实数,虚数,复数,复数集,实数集,虚数集,纯虚数集,http:/,、虚数的引入数系的扩充,为了解决x2这个方程在实数系无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2的根，即i.i=-1引入的这个数i显然不是实数系中的数，那么我们引入i以后，还希望它能与实数之间像实数系那样进行加法和乘法运算，并满足加法、乘法交换律、结合律，以及乘法对加法分配律。,依照以上设想，实数a,b与i加法和乘法进行运算如下： a+i; b.i a+bi,实数集,产生了一个新的数集,http:/,新的数集a
2、+bi|a, b R,、新数系中元素的特点,i=1.i ; a=0时，比如2i,3i,-5i等；a=0且 b=0时，比如2+3i,4+i,-3+2i,5-2i等；b=0时, 规定0i=0,则，,对实数a,b进行讨论：,在新数集中我们完全可以把a+bi（a,b R）看作元素的代表,http:/,、复数的相关概念,、我们把集合=a+bi|a,b R中的数，即形如a+bi（a,b R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合C叫做复数集。,、复数常用字母z表示，即z=a+bi,以后不作特殊说明，都有a,b R，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部。,、规定a+bi=c+di a=c且c=
3、d,4、对于a+bi当且仅当a=时，它是实数；当且仅当a=0且b=0时，它是实数；当b=0时，叫做虚数，当b=0且a=0时，叫纯虚数。,http:/,实数集,虚数集,纯虚数集,复数集,、复数集与实数集的关系,2、复数z=a+bi分类,复数z,实数（b=0),虚数（b=0)，当a=0时为纯虚数。,、区分下列几个数分别是什么数？ 5i, 2+i, -3i, -1+6i, 0i, 9, 0.,、熟悉应用,例实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（）实数？（）虚数？（）纯虚数？,3.1.2复数的几何意义,我们知道实数是客观存在的数，它可以用数轴上点直观表示。,a,实数与数轴上的点一一对应,h
4、ttp:/,复数的几何意义（一）,：a+bi,a,b,x,y,实轴,虚轴,复数z=a+bi 复平面内的点z(a,b),一一对应,复平面,http:/,复数的几何意义（二 ）,：a+bi,a,b,x,y,实轴,虚轴,复平面,a+bi|= r= a2+b2,http:/,、熟悉应用,例实数m取什么值时，复平面内表示复数（m2_8m+15)+(m2-5m-14)i的点（）位于第四象限？（）位于第一、三象限？（）位于直线y=x上？,http:/,、熟悉应用,例在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2+i。（）如果点关于实轴的对称点为,求向量OB对应的复数；（）如果（）中点B关于虚轴的对称点,求点对应的
5、复数。,http:/,3.1自我评价试题一、选择题（每题3分，共30分） 1、若复数z=2m2-3m-2+(m2-3m+2)i是纯虚数，则实数m的值为（ ） A 1或2 B -1/2或2 C -1/2 D 2 2、复数i2+1的实部和虚部分别是（ ） A 1和i B i或1 C 1和-1 D 0和0 3、若a2-a+(a3-2a2-a+2)i是纯虚数，则a的值为（ ） A 1 B 0或1 C 0 D -1，1，2 4、若z=m-1+(m1-1)i是虚数，则（ ） A m1 B m1或m-1 C m1且m-1 D m-1 5、若a是任意实数，则复数z=a2-2a+4+(a2-a+4)i所对应的点
6、一定于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6、在复平面上，P到复数-1/3+3i的对应点F的距离与到直线l:3x+1=0的距离相等，则点P的轨迹是（ ） A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 直线 7、复数-5+6i的实部是 ，虚部是 。 8、若（x-2y）+(2x+3y)i=3-2i，其中x,y属于R，则x= ,y= . 9、下列复数：2+3，0.618，i2，5i+2，i2，其中实数有 10、若cos+(m-sin-cos)i不可能是实数，则m的取值范围是 。,3.2.1复数代数形式的四则运算,1、规定复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两
7、个复数，那么 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I (a,b) +(c,d) =(a+c , b+d),2、复数加法交换律、结合律：对任意复数z1,z2,z3有 Z1+z2= z2+Z1 (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3),复数加法,复数减法,3、规定复数的减法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,4、从向量的角度来认识复数加法,z1,z2,z3,z1,z2,z3,特别提醒：一般两个复数不能比较大小，若有大小之分时，一定都是实数，即虚部为0.,例1计算 (5-6i)+(-2-i)-(3+4
8、i),解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)I=-11i,例2 若z+(3-2i)=5i,求复数z的模,例3、若a是任意实数，则复数z=a2 (1+i)-a(2+i)+4+i所对应的点一定于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限,例3,如图的向量oz对应的复数是z,在图中作出运算结果对应的向量.,0,x,y,z,作出z+(-2+i),3.2复数的加减法,例4,如图在平行四边形OABC中，顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,求：（1）AO所表示的复数，BC所表示的复数。（2）对角线AC所表示的复数；（3）对角线OB所表示
9、的复数及OB的长度。,0,A,B,C,X,Y,3.2复数的加减法,学生练习；已知复平面内三点A，B，C,其中A点对应的复数为2+i，向量BA对应的复数为1+2i，向量BC对应的复数为3-i，求点C对应的复数。,复数乘法,3.2复数的乘除法,一、规定复数的乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi) (c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i,1、两个复数相乘类似两个多项式相乘，只是在所得结果中将i2 换成-1,且把实部与虚部分别合并即可。2、两个复数的积是一个确定的复数3、两个虚数的积一定是虚数吗？,复数乘法,3.2复数
10、的乘法满足的运算律,1、对于任意z1,z2,z3 C，有 z1.z2=z2.z1 (z1.z2)z3=z1(z2.z3) Z1(z2+z3)=z1z2+z1.z3,2、例题(1)、计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)(2)、(3+4i)(3-4i)(3)、(1+i)2 (4)、（2+3i)(4-6i),3、 分解因式（1）、x2-4 (2)、 a4-b4,4、Z2=8+6i,试求z,例5、已知x 为纯虚数，且x2+(t2-t+2tx)i=0，求实数t的值。,解:令x=bi(bR,b0),则 (bi)2+t2-t+2t(bi)=0即 (-b2-2bt)+(t2-t)i=0 -b2-2bt t
11、2-t解得t=1或t=0(舍)故 t=1,复数乘法,3.2复数的乘除法,一、共轭复数1、这两个复数3+4i与3-4i称为共轭复数2、一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。3、虚部不等于0的共轭复数也叫做共轭虚数(如i与-i,2i与-2i等）。,0,x,y,Z1: a+bi,Z2: a-bi,思考、两个共轭复数的乘积一定是实数吗？乘积是实数的两个复数一定是共轭复数吗？,（2+3i)(4-6i),(3+4i)(3-4i),复数乘法,3.2复数的乘除法,思考：我们知道 i.i=-1,（-i)(-i)=-1,那么,若 x2=-1, 则此方程和根有几个呢？是什么呢？
12、,思考：试在复数范围内求方程的解 X2-x+1=0,两个重要结论：1、如果a+bi是实系数一元n次方程的根，那么它的共轭复数a-bi也是它的根，这叫虚根成对；2、实系数一元二次方程在复数系C内根为x1,x2,同样满足韦达定理，即根与系数关系。,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)0时，方程有二实根0时，方程有二虚根,已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值。两种方法求解,复数除法,3.2复数的乘除法,一、规定复数的除法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么这两个复数相除步骤:1、写成类似分式形式； 2、类似分母有理化，将分子分母都乘以
13、分母的共轭复数，将分母实数化； 3、分子按复数乘法法则算，最后写成两部分。,复数除法,3.2复数的乘除法,例题1、 计算（1）、（1+2i)(3-4i) (2)、（1+i)(1-i) (3)、1 i (4)、(-1+i)(3+i) (-i),复数除法,3.2复数的乘除法,例题4、计算,例题3、 计算（1）、（1+i)2 (2)、,复数除法,3.2复数的乘除法,1、说出下列各式的值 i (4n+1) , i(4n+2) , i(4n+3) , i(4n+4) (n N)。,2、试求i1,i2,i3,i4,i5,i6 的值，并推测i n (n N),的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来。,1、已知关于x的方程（1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解，求a的值。2、已知关于x,y的方程组，（2 x-1)+i=y-(3-y)i (2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i 有实数解，求a,b的值。,已知关于x的方程x2+(2+i)x+4ab+(2a-b)i=0，当方程有实数根时，求点(a,b)的轨迹。,复数除法,3.2复数的乘除法,1、说出下列各式的值 i (4n+1) , i(4n+2) , i(4n+3) , i(4n+4) (n N)。,2、试求i1,i2,i3,i4,i5,i6 的值，并推测i n (n N),的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来。,
