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1、圆锥曲线的参数方程,椭圆的参数方程,复习,圆的参数方程,1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:,2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程:,3.椭圆的标准方程：,它的参数方程是什么样的？,M,如图,以原点为圆心,分别以a, b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作ANOx,垂足为N,过点B作BMAN,垂足为M,A,N,B,设以Ox为始边，OA为终边的角为，,点M的坐标是(x, y)。,那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。,由于点A, B均在角的终边上，由三角函数的定义有:,yNM,xON,这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。,常数a、b分别是
2、椭圆的长半轴长和短半轴长。,在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为,|OA|cosacos，,|OB|sinbsin,椭圆的标准方程:,椭圆的参数方程中参数的几何意义:,圆的标准方程:,圆的参数方程:,x2+y2=r2,的几何意义是,AOP=,椭圆的参数方程:,是AOX=,不是MOX=.,称为点M的离心角,小 结,椭圆的标准方程：,椭圆的参数方程：,离心角,一般地：,在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长. ab,练习 把下列普通方程化为参数方程.,(1),(2),(3),(4),把下列参数方程化为普通方程,练习 O是坐标原点，P是椭圆 上离心角为-/6所对应的点，
3、那么直线OP的倾角的正切值是 .,可得P点坐标,所以直线OP的倾角的正切值是:,解：因为椭圆的参数方程为,所以可设点M的坐标为,由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为,例1、如图，在椭圆 上求一点M，使M到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.,例1、如图，在椭圆 上求一点M，(1)使M到直线 l ：x+2y-10=0的距离最小.,例2、已知椭圆 有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。,双曲线的参数方程,M,以原点O为圆心, a, b(a0, b0)为半径分别作同心圆C1,C2.,设A为圆C1上任一点, 作直线OA,过A作圆C1的切线AA与x交于点A,过圆C2与x轴的交点B作
4、圆C2的切线BB与直线OA交于点B。,过点A, B分别作y轴, x轴的平行线AM, BM交于点M,设OA与OX所成角为(0, 2),/2,3/2),求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。,b,a,o,x,y,),M,B,A,事实上,(t 是参数, t 0),化为普通方程, 画出方程的曲线.,练习:,4,不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线MA的方程为,解得点A的横坐标为,平行四边形MAOB的面积为,由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，,与点M在双曲线上的位置无关,说明：, 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同., 双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而
5、得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.,例3,例4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。,证明：设双曲线方程为,取顶点A2(a, 0), 弦AB Ox，,弦AB对A1张直角，,同理对A2也张直角,例5 已知双曲线， A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P ,求证：,，,解：设A，B坐标分别为,则中点为M,于是线段AB中垂线方程为,将 代入上式,(A，B相异)，,例6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。,抛物线的参数方程,前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程:,对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？,以抛物线的普
6、通方程,为例，其中p为焦点到准线的距离。,设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作,显然，当在 内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取为参数来探求抛物线的参数方程.,因为点M在的终边上，根据三角函数定义可得,由方程,(为参数),这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.,如果令,(为参数),当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当 时，,（t为参数）,就表示整条抛物线参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,C,练习,例1 如图，O为原点，A,B为抛物线 上异于顶点的
7、两动点，且OAOB，OMAB于M，求点M的轨迹方程,当点A,B在何位置时,AOB面积最小？最小值是多少？,练习 已知椭圆C1: 及抛物线C2: y2=6(x-3/2)；若C1C2，求m的取值范围。,代入得 cos2+4cos +2m-1=0,所以 t2+4t+2m-1=0 在-1, 1内有解；,3 已知A, B, C是抛物线 y2=2px(p0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.,练习,4 经过抛物线y2=2px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。,解：
8、直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为,由y2=2px和y=kx，得,A点坐标为,同理B点坐标(2pk2,-2pk),5 已知椭圆 上任意一点M，(除短轴端点外)与短轴端点B1, B2的连线分别与x轴交于P, Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|为定值。,当直线与曲线恒有公共点时，必满足,直线的参数方程,请同学们回忆:,我们学过的直线的普通方程都有哪些?,两点式:,点斜式:,一般式:,温故知新,问题情景,M0(x0，y0),M(x,y),解：在直线上任取一点M(x，y)，则,探究思考,| t | = | M0M |,M0,M,所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点
9、M0的距离.,这就是 t 的几何意义，要牢记,分析:,3.点M是否在直线上,1.用普通方程去解还是用参数方程去解；,2.分别如何解.,A,B,M(-1，2),x,y,O,解：因为把点M的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所以点M在直线上.,探究思考,B,B,5. 动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别是3cm/s和4cm/s，直角坐标系的长度单位是1cm，点M的起始位置在点M0(2，1)处，求点M的轨迹的参数方程.,辨析:,例: 动点M作等速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向分速度分别为 9，12，运动开始时，点 M 位于A(1，1)，求点 M 的轨迹的参数方程.,请思考: 此
10、时的t有没有明确的几何意义?,没有,重要结论:,直线的参数方程可以写成这样的形式:,例3 当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动. 已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?,思考：在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250km，并以10km/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？,小结:,1. 直线参数方程,2. 利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，简化求直线上两点间的距离.,3.注意向量工具的使用.,探究:直线的参数方程形式是不是唯一的,| t | = | M0M |,
