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1、第四章 原子的精细结构：电子的自旋,主要内容：,2、史特恩-盖拉赫实验,4、碱金属双线,5、塞曼效应,1、电子轨道运动的磁矩,3、电子自旋的假设,重 点：,1、一个假设：电子自旋,2、三个实验：碱金属双线、塞曼效应、史-盖实验,4、氢原子光谱的五步进展,3、四个量子数：n、l、 、,如果用分辨率足够高的摄谱仪观察，可以发现原子光谱中每条谱线并不是简单的一条线，而是由多条谱线组成。,谱线的这种细微结构称为光谱的精细结构。,例如，氢原子的 线并不是单线，而是由七条谱线组成;常见的钠原子黄光是由 和 两条很靠近的谱线组成的，其波长差约为0.6nm。,Na,4.1、原子中电子轨道运动的磁矩,1、电偶极
2、矩,有关电磁学知识,环形电流的磁矩,2、磁矩,均匀磁场中：,3、力和力矩,力是引起动量变化的原因：,力矩是引起角动量变化的原因：,一、经典表示式,电子轨道运动的闭合电流为：,“-”表示电流方向与电子运动方向相反,面积：,一个周期扫过的面积：,磁力矩为,力矩将引起角动量的变化,则,或者, 拉莫尔进动,在外磁场B中，一个高速旋转的磁矩并不向B方向靠拢，而是以一定的角速度 绕B作进动， 的方向与B一致。, 旋磁比,因此,磁矩元,则,即,因此， 称为磁矩绕磁场方向进动的角速度。,考虑磁矩 的进动,由于原子在磁场中附加了拉莫尔进动，会使其能量发生变化。进动角动量叠加到L在磁场方向的分量上，将使系统能量增
3、加（L和B方向一致或具有同向的分量）（图a），或使系统能量减少（L和B方向相反或具有反向的分量）（图b） 。,二、量子表示式,量子力学中角动量L是取量子化的, 轨道角量子数,因此磁矩为,在z方向的投影为,即,其中, 玻尔磁子,磁相互作用比电相互作用小两个数量级！,三、角动量取向量子化,磁矩及其z分量的量子化来源于角动量空间取向的量子化,4.2、史特恩-盖拉赫实验,前面已经讨论了，原子中电子轨道的大小、形状和电子运动的角动量，以及原子的内部能量都是量子化的。本节要再从实验的角度讨论，在磁场和电场中，原子角动量取向的量子化。,1921年史特恩（Stern）和盖拉赫（Gerlach）从实验中首次直接
4、观察到了原子在外磁场中的取向量子化。,The Nobel Prize in Physics 1943,在电炉O内使银蒸发。银原子通过狭缝S1和S2后，形成细束，经过一个不均匀的磁场区域，在磁场的垂直方向行进。最后撞在相片P上，银原子经过的区域是抽成真空的。当时在显像后的相片上看到两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时已分成两束。,不均匀的磁场是由不对称的磁极产生的。,实验的主要目的是要观察 在磁场中取向情况。用不均匀的磁场是要把不同的 值的原子分出来。磁场对原子的力是垂直于它的前进方向的，这样，原子的路径会偏转。,原子在纵向是作匀速直线运动，其速度根据热平衡关系得到,而原子在横向受到磁场力
5、的作用，将作加速运动，距离为,则原子在磁场中运行的时间为,则在屏上偏离的距离为,其中，D为P离磁场区中心的距离。,在相片上出现了两条黑斑，表示有两个z2，即原子束分为两条。在上式中，除了 外，其他都是常数，因此，说明有两个 。,也就是说有两个 值，即原子在磁场中有两个空间取向。这就有力地证明了原子在空间的取向是量子化的。,如果测得相片上两黑斑的距离，再把式中其他数值代入，就可以计算出 ，取 值分别为 和 ，就得到 ，这样求得的 值正是一个玻尔磁子的理论值。,偶数的出现，说明对原子的描述仍然不完整。,4.3、电子自旋的假设,一、乌伦贝克和古兹米特提出电子自旋假设,要使2l+1为偶数，只有角动量为
6、半整数，而轨道角动量是不可能给出半整数的。,而且为了试图说明碱金属原子能级的双层结构以及后面要提到的反常塞曼效应，在1925年，两位年轻的荷兰研究生乌楞贝克（Uhlenbenck）和古德史密特（Goudsmit）提出了关于电子自旋的大胆假设并解决了上述问题。,他们认为，电子不是一个质点，除了轨道运动之外，还存在着一种内禀运动，称为自旋。与轨道运动相联系，存在轨道角动量L。与自旋运动相联系也存在一种角动量，称为自旋角动量S，它是保持不变的，是电子的属性之一，所以也称为电子的固有矩。,S的值与自旋量子数s有关，即,价电子绕原子实运动时，在固定于电子上的一个坐标系中，就是相对于电子来说，带正电的原子
7、实是绕电子运动的。电子会感受到一个磁场的存在。这个磁场的方向就是原子实绕电子的角动量方向，因而也就是电子轨道运动角动量的方向。电子既然感受到了这个磁场，它的自旋取向就要量子化。,如果设自旋量子数为s，按照关于轨道角动量取向的考虑，自旋角动量的取向也应该有2s+1个。实验观察到的能级是双层的，所以自旋取向只有两个，2s+1=2，因此，s=1/2。,它在z方向的分量只有两个,即自旋量子数在z方向的分量只能取,洛仑兹的质疑,可以估计出电子的赤道速度,代入电子的经典半径公式,就有,违反狭义相对论！,正确的理解：电子确实具有 大小的自旋角动量，电子自旋是一种量子效应，把自旋看成电子的经典转动是不恰当的，
8、它是电子的一种内禀属性，没有经典对应。,电子自旋是一个新的自由度，与其空间运动完全无关！,根据量子力学，这些角动量的大小和相应的量子数有如下关系：,式中j是总角动量量子数，它决定着总角动量J的大小。量子数j的取值由l和s决定,轨道角动量：,自旋角动量：,总角动量：,电子的运动=轨道运动+自旋运动,在无外磁场存在时，总角动量J应该守恒，它的方向不变，S与L都绕它进动。进动时应该保持L与S的夹角不变。,在电子不受外力矩作用时，其处于某一状态的总角动量J是守恒的。,自旋角动量应绕由轨道运动产生的磁场进动；同样，轨道角动量也应绕自旋运动产生的磁场进动。,总之，电子自旋与轨道运动及绕J的附加运动会产生附
9、加能量，造成能级精细分裂。,根据j的取值，相邻的j均相差1，由于s=1/2，所以对某一确定的 ， 。,即当 时，j只有两个取值 ；当 时，j只有一个值1/2。,例1、求p电子的L，S和J的大小，并画出矢量图。,解：p电子对应的量子数为,所以,和 不是平行或反平行，而是有一定的夹角。,二、朗德g因子,单电子原子的总磁矩,原子内部封闭壳层的总轨道角动量和总自旋角动量均为零，对原子磁矩没有贡献，只须考虑外层价电子。,电子作轨道运动时伴随有轨道磁矩,电子具有自旋磁矩,原子的总角动量为J=L+S，总磁矩为 ，由于 ，因此 不与J反平行。孤立原子的总角动量J是守恒量，而轨道角动量L，自旋角动量S和总磁矩
10、不是守恒量，它们绕J进动，不断改变方向。 在- J方向的分量 是守恒量，因此一般将 定义为总磁矩。,要计算 ，只需把 和 在J延长线上的分量相加就可以了,由余弦定理可得,由此可得,又,因此,代入总磁矩表达式, 朗德g因子,于是,朗德g因子随不同的耦合类型有两种计算法,（1）对LS耦合,这里的J，L，S是各电子耦合后的数值。,（2）对jj耦合,例2、求下列原子态的g因子：,解：,（1） ： ， ， ，,（2） ： ， ， ，,（3） ： ， ， ，,四、史特恩 - 盖拉赫实验的解释,考虑电子的自旋后，原子的总磁矩是由轨道磁矩和自旋磁矩两部分合成的，于是,可表示为,即对应一个J，有2J+1个 值，
11、即有2J+1条黑斑。,因此，根据上式，我们就可以解释史特恩-盖拉赫实验的结果。,由实验测得黑线条数可以推得未知状态原子的J值。例如，当有两条黑线时，J=1/2；三条黑线时，J=1；五条黑线时，J=2等等。测出了S的大小，并推断出J值后，由上式就可以求出原子的朗德因子g，从而得到有关原子态的信息。,对基态银原子，测得黑线条数为2，可以知道其J=1/2。由于轨道角动量量子数是整数，此时必然有L=0，因此也必有J=S=1/2，所以银原子的基态为,可见磁场中基态银原子束的分裂，完全是由于电子自旋运动引起的。实验结果证明了自旋量子数为1/2的正确性，因此该实验是电子存在自旋运动的有力证明。,外场方向投影
12、：,共两个 偶数,与实验结果相符。,1928年，Dirac从量子力学的基本方程出发，很自然地导出了电子自旋的性质，为这个假设提供了理论依据。,原子的磁矩=电子轨道运动的磁矩+电子自旋运动磁矩+核磁矩。,史特恩-盖拉赫实验在历史上有重要意义,证明了空间量子化的事实,证明电子自旋假设的正确，而且s=1/2,证明电子自旋磁矩数值的正确， ，,他们同时也提出了一个重要的实验方法，其装置可以做成粒子磁能态选择器。例如，在磁铁后面适当位置上安放狭缝，可以选择处于某一能态的粒子通过，这类技术后来被广泛应用。,Na,H,Li,为什么会这样？其所反映出的本质是什么？,Question:,4.4、碱金属双线,一、
13、碱金属谱线的精细结构：定性考虑,锂原子能级跃迁图,主线系和第二辅线系 双线,例如，著名的钠原子黄光是由 和 两条很靠近的谱线组成的，其波长差为0.6nm。,1、碱金属光谱的精细结构,第一辅线系和柏格曼系 三线,主要规律：,谱线的这种细微结构称为光谱的精细结构。,主线系双线的间隔随波数的增加而逐渐减小，最后并入一个线系限。,第二辅线系双线的间隔随波数的增加不变。,第一辅线系的三线结构，最外两条线的间隔同第二辅线系双线间隔相同，而三线结构中波数较小的两条线的间隔随波数的增加而减小，最后并入一个线系限。,从光谱的实验事实，推出能级的结构,由主线系的特点，双线的间隔随波数的增加而逐渐减少，我们可以得到
14、，p能级是双层结构，其间隔随着量子数n的增加而减小的。,2、碱金属能级的精细结构,对第二辅线系，它的双线间隔相同，应该是同一个原因造成的，即跃迁下能级的双层结构。,对于第一辅线系的三线结构，我们可以设想它是在两个双层结构之间进行跃迁。,其中，各个跃迁中有一条谱线没有出现，是由于其它的原因（选择定则）造成的。,碱金属原子除了l=0的s能级外其余p、d、f等能级都是由两个很靠近的能级所组成，或者说，这些能级都分裂为两个靠近的能级。,对同一个l值，双层能级间隔随量子数n增加而减小； 对同一个n值，双层能级间隔随l值的增加而减小；例如n=4，4d的双层间隔小于4p的，而4f的又小于4d的。,总之，碱金
15、属原子的能级是一个双层结构的能级，只有这样才能说明碱金属原子光谱的精细结构。,碱金属原子能级特点,二、自旋-轨道相互作用：精细结构的定量考虑,原子中除了静电相互作用外，还有磁相互作用。,由于磁相互作用而产生的能量变化,按照毕奥-萨伐尔定律，电子感受到的磁场为,所以,其中,因此,r是一个变量，用平均值代替：,代入整理，并考虑坐标变换的相对论效应得,对每一对双层能级，n和l是相同的，s=1/2，只有j不同，j=l+1/2，j=l-1/2，把这两个j值分别代入能量公式中，得到,于是，双层能级的能量差为,用波数表示，就是,即在n相同l不同的诸能级中，l值越大的，双层能级间隔越小；在l相同n不同的诸能级
16、中，n值越大的双层能级间隔越小，当 时，双层能级并为单层。,三、讨论,1、能级由n，j，l三个量子数决定,当 时， ，能级不分裂；,当 时， ，能级分裂为双层。,2、能级分裂的间隔由n，l决定,3、双层能级中，j值较大的能级较高,当n一定时， 大， 小，即,当 一定时， 大， 小，即,5、碱金属原子态符号,例如,4、单电子辐射跃迁的选择定则,可见，产生辐射的跃迁是有选择性的。上述选择定则是经验性的，在量子力学中有理论的推导。,四、对碱金属光谱精细结构的解释（以锂原子为例）,1、主线系：,2、第二辅线系：,3、第一辅线系：,4、基线系：,思考,问题解决,碱金属的双线是由于电子自旋-轨道相互作用造
17、成的！,4.5、塞曼效应,1896年，荷兰物理学家塞曼发现：若把光源放入磁场中，则一条谱线就会分裂成几条，这种现象称为塞曼效应。,The Nobel Prize in Physics 1902,发现塞曼效应,谱线的分裂，表明能级发生了分裂。,反常塞曼效应：相应于非单态谱线在外磁场中的分裂。,正常塞曼效应：相应于单态谱线在外磁场中的分裂称为正常塞曼效应。,帕邢-贝克效应：如果外磁场足够强，自旋与轨道耦合将被破坏，磁量子数 ， 对应的简并能级被外磁场消除。,镉（Cd）的643.847nm谱线的塞曼效应,钠的黄色双线的塞曼效应,一、正常塞曼效应,1、原子的磁矩,原子磁性问题的关键是原子的磁矩。原子内
18、部原子实的总轨道角动量和总自旋角动量均为零，对原子磁矩没有贡献，只须考虑外层价电子。,轨道运动：,自旋运动：,原子的磁矩电子的轨道磁矩+电子的自旋磁矩,（1）原子的总磁矩,L-S耦合,总轨道角动量：,总轨道磁矩：,总自旋角动量：,总自旋磁矩：,总角动量：,总磁矩：,（2）原子的有效磁矩,守恒； 绕 旋进，不守恒。,将 分解成两个分量,：与 反平行，沿 的反向延长线。,：与 垂直，一个周期内的平均值为0。,所以,比较：,得：,具有磁矩为 的体系，在外磁场B中的附加能量为,其中：,为总角动量在外场方向的分量，是量子化的。,因此,考虑一个原子的两个能级 ， 之间的跃迁，无外磁场时，跃迁的能量为,在外
19、磁场中，两个能级的能量分别为,因此每一个能级都分裂为2J+1个。,跃迁的能量为,体系的总自旋为0时,则,再根据选择定则,产生 线。,只能有三条谱线，即,表明，一条谱线在外磁场的作用下分裂成三条，彼此间隔都相等，都为 。,用波数表示则有,式中L为洛仑兹单位，洛仑兹用经典理论算出了这个量，解释了正常塞曼效应。为此，他与塞曼一起分享了1902年的诺贝尔物理学奖。,镉（Cd）643.8nm谱线的塞曼效应,经研究知道，这条谱线是 跃迁的结果。,现在进行光谱线在磁场中频率改变的计算。为了计算方便，多采用德国人格罗春（Grotrain）设计的格罗春图。,其方法是将 和 分别依次等间距地放置在上下能级上。对
20、的跃迁，上下相对的mg值相减；而对于 斜角值列在下一列，这些数值乘以洛仑兹单位，就是裂开后每一谱线同原谱线的波数差。,计算如下,2 1 0 -1 -2,2 1 0 -1 -2,1 0 -1,-1 -1 -1,所以,0 0 0,1 1 1,上述镉谱线的塞曼效应及有关能级和跃迁如图所示。这里有九条跃迁，但只有三种能量差值，所以出现三条分支谱线，每条包含三种跃迁，中间那条谱线仍在原谱线位置，左右两条同中间一条的波数差等于一个洛仑兹单位，结论同实验完全一致。,三、反常塞曼效应,总自旋不为零的原子能级和光谱线在磁场中的分裂。,在弱磁场中，原子光谱线具有更复杂的分裂现象，谱线分裂为偶数条。这种现象称为反常
21、塞曼效应。,大多数原子谱线的塞曼分裂比上述的三线结构复杂，都属于这一类情况。如果两个在零磁场中发生量子跃迁的能级，在外磁场中每个原子态能级分裂的子能级间隔不等，例如， ，虽然选择定则仍然是 ，但是可以出现多于三种的不同能量差，因而零磁场中的一条谱线可能分裂成多条谱线。,钠（Na）589.0nm和589.6nm谱线的塞曼效应,另一种情况，虽然一条谱线在外磁场中分裂为三条，而且频率间隔相等，但是不等于洛仑兹单位，此时跃迁前后两个原子态的总自旋必定不为零，也属于反常塞曼效应。,这两条谱线是从 跃迁的结果。,3/2 1/2 -1/2 -3/2,6/3 2/3 -2/3 -6/3,1 -1,3/3 3/
22、5,所以,-1/3 1/3,-3/5 -3/3,1/2 -1/2,1/3 -1/3,1 -1,4/3,所以,-2/3 2/3,-4/3,这里589.0nm那一条裂为六条，两邻近线波数相差都是（2/3）L，589.6nm那一条裂为四条，两边二邻近线波数相差是（2/3）L，而中间两条差（4/3）L。分裂后，原谱线位置上不再出现谱线，与书上P179图22.5比较，可知理论与实验一致。,四、帕邢-贝克效应,当外磁场足够强时，原子内部自旋轨道耦合被破坏，使自旋磁矩和轨道磁矩分别独立地与外磁场耦合，从而能级分裂与电子的量子数 和 有关，而与 无关。这样，在足够强的外磁场中的能量修正为,可见能级分裂的条数是
23、由 的个数来定。与前面正常塞曼效应的公式相比较，发现只要把前面公式中的 换成 就可以了。,得到波数的间隔为,根据跃迁的选择定则,因此,此时，呈现出三线结构，回到了正常塞曼效应的结果。这一现象是1912年德国物理学家帕邢（Paschen）和贝克（Back）发现的，所以称为帕邢-贝克效应。,必须指出的是，外磁场的强弱完全是一个相对的概念，因为自旋-轨道相互作用的强弱随元素和量子数n而变。,帕邢-贝克效应是在略去LS耦合的情况下得到的，但各个电子的轨道角动量仍然会合成总轨道角动量L，各个自旋角动量仍然会合成总自旋角动量S。若进一步增强外场，使得各个电子之间的耦合都被破坏，即每个电子的轨道角动量l和自
24、旋角动量s将分别绕外磁场进动，则会出现不同于上面的情况，称为完全帕邢-贝克效应。,五、塞曼效应的物理意义,塞曼效应是考虑到电子具有自旋，原子具有磁矩，角动量耦合及空间量子化前提下成立。理论和实验的一致反过来证实了原子的确具有磁矩，电子具有自旋，且自旋量子数为1/2。因此，该效应是近代物理最重要的实验之一。,塞曼效应反映了原子所处的状态。通过分析实验数据，可推断出原子能级及分布情况。,由正常塞曼效应的谱线频率间隔为洛仑兹单位，很容易测得电子的荷质比。塞曼分裂子能级间的跃迁则是各种磁共振技术的理论依据。,八、结语,三个重要的实验有力地证明了电子自旋假设的正确性。,电子的自旋 “内禀角动量”，是微观粒子内部的属性，与运动状态毫无关系，它的性质与角动量有些类似，但不能用经典的理论来解释。,电子反常磁矩的发现,电子的自能 需要靠量子电动力学来解释。,小 结,1、一个假设2、三个实验3、四个量子数,作业：P210 4-2，4-4，4-7，4-10,
