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1、1,高等数学,第十二讲,2,第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,方向导数与梯度,3,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,在一些实际问题中，需要研究函数,在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数。,4,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,故,5,对于二元函数,向角为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,6,对于二元函数,的方向导数存在，,而,不存在,而偏导数不一定存在。,例如：,
2、在点 (0,0)处沿x轴的正向到点(1,0)处。,7,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,8,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,例2. 函数,提示:,则,9,例3. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,10,解,由方向导数的计算公式知,例4 求函数,11,故,12,例5. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,13,二
3、、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,一个函数,在点,沿着不同的方向,的方向导数上不同的，,14,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,15,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,称为函数 f 的等值线 .,则L*上点P 处的法向量为,同样, 对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,指向函数增大的方向.,2. 梯度的几何意义,16,等
4、高线的画法,播放,17,例如,18,3. 梯度的基本运算公式,19,例1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,20,例2： 求函数,在点M（1，0，1）,处的最大方向导数。,解：,在点M（1，0，1）,处的最大方向导数为：,同理;,21,解,由梯度计算公式得,故,例3 求函数,22,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,例4 已知函数,23,曲线,1. (1),在点,解答提示:,M (1,1,1) 处切线的方向向量,在点M (1,1,1) 处,24,25,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,26,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,27,P108 2，5，6，8，10,作业,28,解,例2 求函数,29,2. P131 题 16,
